楊蕓丞, 孫雪麗, 鐘兆根, 劉 軍

(1. 海軍航空大學(xué)，山東煙臺 264001; 2.66135部隊(duì)，北京 100144)

0 引 言

現(xiàn)代信息化戰(zhàn)爭中，跳頻通信由于其低截獲概率、組網(wǎng)方式靈活、信道衰減緩慢等優(yōu)點(diǎn)，在軍事通信、指揮、控制和情報(bào)系統(tǒng)均得到了廣泛應(yīng)用[1]。然而對于信號監(jiān)聽一方而言，如何在不具備一切先驗(yàn)條件的情況下，從混合信號中將多個跳頻網(wǎng)臺的信號分選出來，仍然是跳頻通信偵察中具有挑戰(zhàn)性的問題[2]。

傳統(tǒng)的跳頻網(wǎng)臺分選方法多依據(jù)所截獲跳頻信號的紋理特征進(jìn)行分選[3]。文獻(xiàn)[4]引用模式識別的方法，搭建了稀疏貝葉斯模型進(jìn)行分選，文獻(xiàn)[5～10]等通過對跳頻信號的跳周期、跳時(shí)、來波方位、功率等參數(shù)的準(zhǔn)確估計(jì)聚類分選；文獻(xiàn)[11]通過跳頻信號駐留時(shí)間和起跳時(shí)間，建立分選的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分選；文獻(xiàn)[12]基于功率放大瞬態(tài)響應(yīng)過程實(shí)現(xiàn)跳頻網(wǎng)臺分選。但在戰(zhàn)場環(huán)境中，跳頻信號的先驗(yàn)條件往往未知，且上述方法耗時(shí)較長，導(dǎo)致了這些方法的局限性，不能實(shí)時(shí)有效的達(dá)到戰(zhàn)術(shù)戰(zhàn)略目的。文獻(xiàn)[13～15]將獨(dú)立分量分析(Independent Component Analysis, ICA)引入跳頻網(wǎng)臺分選中，在未知跳頻信號參數(shù)特征的情況下，實(shí)現(xiàn)了跳頻信號網(wǎng)臺的盲分選。但以往的獨(dú)立分量分析方法未考慮跳頻信號瞬時(shí)變化快、時(shí)頻分析復(fù)雜等特點(diǎn)，選用的非線性函數(shù)不利于硬件實(shí)現(xiàn)，這就導(dǎo)致了上述算法魯棒性能低，收斂速度慢，運(yùn)算時(shí)間相對較長。

針對上述方法存在的不足以及跳頻信號的特點(diǎn)，本文在快速獨(dú)立分量算法[16]的基礎(chǔ)上，提出了一種適用于跳頻信號分選的改進(jìn)的快速獨(dú)立分量分析算法。該算法首先對傳統(tǒng)的非線性多項(xiàng)式函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)，建立一個基于負(fù)熵最大化的目標(biāo)函數(shù)；其次將固定點(diǎn)算法的牛頓迭代[17]由二階收斂轉(zhuǎn)換為五階收斂；最后以負(fù)熵最大[18]作為一個搜尋方向，順序地提取了獨(dú)立源，完成了對混疊跳頻信號的分離。仿真結(jié)果驗(yàn)證了本文算法在不同信噪比、不同野值數(shù)目的適應(yīng)情況，并與快速獨(dú)立分量分析算法在相關(guān)系數(shù)、性能指標(biāo)(Performance Index，PI)、輸出信噪比指數(shù)、迭代次數(shù)、運(yùn)算時(shí)間等參數(shù)做出性能比較[19～20]。

1 快速ICA算法

獨(dú)立分量分析模型包括含噪線性模型和無噪線性模型[21]，本文主要使用含噪聲線性模型。觀測信號為含噪聲的源信號的瞬時(shí)線性組合，則待處理的觀測信號可表示為：

x(t)=As(t)+n(t)

(1)

其中s(t)為n維統(tǒng)計(jì)上相互獨(dú)立的源信號矢量，s(t)=[s1(t),s2(t),…,sn(t)]T，x(t)為m(n≤m)維的觀測信號矢量，x(t)=[x1(t),x2(t),…,xm(t)]T，n(t)為m維的噪聲矢量，A為m×n維隨機(jī)矩陣。ICA的目的就是尋找一個解混矩陣W，使得：

y(t)=Wx(t)=WAs(t)

(2)

式(2)中，y(t)是s(t)的估計(jì)矢量，當(dāng)解混矩陣W是A的逆矩陣時(shí)，即WA=I，在未加噪聲的前提下，由觀測信號x(t)恢復(fù)成統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的源信號s(t)。

在對觀測信號進(jìn)行盲源分解前，通常都需要進(jìn)行一些預(yù)處理，包括中心化和白化兩部分內(nèi)容。白化后觀測向量記作z(t)，白化使原來所求的解混合矩陣A退化成一個正交陣，這種預(yù)處理方法使自由度從N2降為N×(N-1)/2，且算法收斂性更好。

對白化后的信號的分離，其目標(biāo)函數(shù)采用一個經(jīng)典的近似公式：

J(y)={E[G(y)]-E[G(yGauss)]}2

(3)

其中，E[·]為均值運(yùn)算；G(·)為非線性函數(shù)，可取三個經(jīng)典的非線性函數(shù)，分別為：

G2(y)=-exp(-y2/2)

(5)

a通常取1。

為找到一個獨(dú)立分量或者投影追蹤的方向[22]，采用定點(diǎn)迭代的方法，在WTz的方差約束為1的條件下，令WTz具有最大的非高斯性，負(fù)熵最大化目標(biāo)函數(shù)如下:

J(y)={E[G(WTz)]-E[G(yGauss)]}2

(7)

根據(jù)Kuhn-Tucker條件，E{g(WTz)}的最優(yōu)值能在滿足下式的點(diǎn)上獲得：

E{zg(WTz)}+βW=0

(8)

g1(y)=tanh(a1y)

(9)

g2(y)=yexp(-y2/2)

(10)

g3(y)=y3

(11)

利用牛頓迭代法解方程。用F表示式(8)等式左邊的的函數(shù)，可得F的雅可比矩陣JF(W)如下：

JF(W)=E{zzTg′(WTz)}+βI

(12)

由于數(shù)據(jù)被白化，E{zzTg′(WTz)}≈E{zzT}·E{g′(WTz)}=E{g′(WTz)}I。因而雅可比矩陣變成了對角陣，得到下面的近似牛頓迭代公式：

(13)

其中，W*是W的新值，β=E{WTg(WTz)}，歸一化能提高解的穩(wěn)定性。簡化后得到FastICA算法的迭代公式：

(14)

2 改進(jìn)算法原理

2.1 非線性函數(shù)的改進(jìn)

為獲得E{g(WTz)}的最優(yōu)值，采用自適應(yīng)算法優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)時(shí)，應(yīng)滿足(8)式的條件。將式(8)兩端同乘WT，由于WTW=1，整理可得：

E{WTzg(WTz)}+β=0

(15)

由式(17)可以看出，WTzg(WTz)決定了算法的魯棒性強(qiáng)弱，非線性函數(shù)的導(dǎo)數(shù)g變化越慢，算法魯棒性能越穩(wěn)定。

對選取非線性函數(shù)的考量，一是要考慮所選函數(shù)的硬件實(shí)現(xiàn)難度，二是要考慮所選函數(shù)對算法魯棒性影響。前文提到的式(9)、(10)、(11)三個非線性函數(shù)，其中式(9)、(10)均為指數(shù)類函數(shù)，硬件實(shí)現(xiàn)較為復(fù)雜，運(yùn)算時(shí)間長。而式(11)魯棒性極差，一般不選用該函數(shù)。針對算法硬件實(shí)現(xiàn)難度和魯棒性兩方面考量，本文提出了一種新的非線性函數(shù)Tukey函數(shù)作為算法的目標(biāo)函數(shù)。

Tukey函數(shù)具體表達(dá)式如下：

(16)

圖1 四種非線性函數(shù)的導(dǎo)數(shù)圖

由圖1可以看出，非線性函數(shù)的導(dǎo)數(shù)g1(y)、g3(y)增長十分迅速，當(dāng)存在較大的野值點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值很難收斂。而g2(y)、g(y)增大到極大值點(diǎn)后又逐漸減小到零，當(dāng)存在較大的野值點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值趨向于零，這就很大程度上降低了野值對算法的影響，穩(wěn)定了算法的魯棒性。由于跳頻信號頻率跳變較快，對算法的魯棒性能要求較高；為達(dá)到實(shí)時(shí)有效的網(wǎng)臺分選，對硬件運(yùn)算的實(shí)時(shí)性也提出了較高要求。通過上述的理論分析，考量函數(shù)的硬件實(shí)現(xiàn)難度以及魯棒性能，應(yīng)用獨(dú)立分量分析的方法實(shí)現(xiàn)混疊跳頻信號的網(wǎng)臺分選，本文所提出的Tukey函數(shù)與傳統(tǒng)的非線性函數(shù)相比，有明顯的優(yōu)勢。

2.2 牛頓迭代法的改進(jìn)

傳統(tǒng)的固定點(diǎn)算法，是按照牛頓迭代公式所推導(dǎo)，得到快速獨(dú)立分量分析的關(guān)鍵步驟式(14)，牛頓迭代公式如下：

為了提高算法的收斂速度，減少算法的運(yùn)算時(shí)間，對快速獨(dú)立分量分析算法的迭代公式就要作出改進(jìn)，也就是要增加牛頓迭代公式的階數(shù)。文獻(xiàn)[17]給出了三種不同的三階修正牛頓收斂公式：

通過泰勒公式推導(dǎo)展開，利用式(18) 、(19) 、(20)分別得到三種五階收斂的牛頓迭代公式：

(21)

(22)

(23)

(24)

3 算法流程

按照上文改進(jìn)的快速獨(dú)立分量分析算法原理，具體的算法流程如下：

步驟一：對觀測信號x進(jìn)行中心化，使它的均值為0；再對中心化的數(shù)據(jù)白化處理得到z(t)。

步驟二：隨機(jī)選擇一個具有單位范數(shù)的初始權(quán)矢量Wp。

步驟三：設(shè)迭代次數(shù)p初始值為1，設(shè)需要估計(jì)的分量個數(shù)為n。

步驟四：將Wp代入式(26)，取G(y)=

步驟六：若Wp收斂，加上均值得到源信號；Wp不收斂，返回步驟四。

步驟七：令p=p+1，如果p≤n，返回步驟三，進(jìn)行下一個獨(dú)立分量的估計(jì)。

通過上述實(shí)現(xiàn)步驟，可以根據(jù)觀測信號估計(jì)出源信號。

4 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

實(shí)驗(yàn)一：本文算法的有效性驗(yàn)證

針對本文提出的改進(jìn)的獨(dú)立分量分析算法，對混疊跳頻信號進(jìn)行網(wǎng)臺分選實(shí)驗(yàn)。一般來說，分離過程中，采樣點(diǎn)越少，信號恢復(fù)的程度越差；源信號的差異性越小，分離越難實(shí)現(xiàn)。本文中信號源由三組不同頻率集的同步正交跳頻網(wǎng)臺產(chǎn)生，有效降低了異步非正交跳頻網(wǎng)臺的差異性。三組跳頻信號跳頻速率同為250 hop/s，采樣率同為10 kHz，抽取前320個點(diǎn)作為實(shí)驗(yàn)樣本。本文中的仿真跳頻系統(tǒng)可視作FH/8FSK調(diào)制跳頻系統(tǒng)。

三組歸一化跳頻頻率集分別為：

fk1=[0.10,0.45,0.30,0.05,0.20,0.40,0.25,0.15](kHz)

(25)

fk2=[0.32,0.12,0.21,0.36,0.14,0.23,0.17,0.42](kHz)

(26)

fk3=[0.22,0.33,0.44,0.18,0.06,0.31,0.41,0.08](kHz)

(27)

為仿真3個不同位置接收機(jī)的觀測信號，本文中隨機(jī)混合矩陣設(shè)置為：

(28)

仿真后，得到圖2所示的源信號圖，圖3所示的觀測信號圖。圖例中，F(xiàn)astICA-G1(y)、FastICA-G2(y)、FastICA-G3(y)分別代表基于非線性函數(shù)G1(y)、G2(y)、G3(y)的快速獨(dú)立分量分析算法。

圖2 跳頻信號源信號

圖3 觀測信號

分別根據(jù)本文算法及以式(4) 、(5)、(6)作為非線性函數(shù)的快速獨(dú)立分量分析算法對圖三中的觀測信號進(jìn)行處理。

上述方法分別實(shí)現(xiàn)了對跳頻混疊信號的分選。對上述方法進(jìn)行比較，一方面，本文算法分離的信號與源信號相比，恢復(fù)程度要好；另一方面，上述算法均存在采用獨(dú)立分量分析方法的兩種問題：一是分離信號的次序較源信號發(fā)生了變化；二是分離信號的幅度和相位發(fā)生了不同程度的變化。但這兩種問題并不影響對跳頻信號網(wǎng)臺的分選以及主要參數(shù)的識別。實(shí)際的跳頻信號比本文仿真實(shí)驗(yàn)產(chǎn)生的跳頻信號仍要復(fù)雜，對信號的恢復(fù)程度會有更高的要求，本文算法有效的提高了跳頻源信號的恢復(fù)程度。

實(shí)驗(yàn)二：本文算法對不同信噪比的源信號的適應(yīng)情況分析

通過實(shí)驗(yàn)一，我們可以將不同算法分離出的信號波形與源信號作對比，但這只能定性的分析不同算法分選性能的優(yōu)劣[23]。為了定量的檢驗(yàn)各獨(dú)立分量分析的性能，本文引入相關(guān)系數(shù)、性能指標(biāo)PI值、信噪比指數(shù)三個指標(biāo)作對照分析。

相關(guān)系數(shù)定義[16]如下：

(29)

其中，|ρij|越接近1時(shí)， 兩曲線越線性相關(guān)；|ρij|越接近零時(shí)，兩曲線越線性無關(guān)。本文中，進(jìn)行1 000次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)取平均值，通過比較各算法在不同信噪比條件下分離后的解混信號與源信號的相關(guān)系數(shù)，驗(yàn)證算法的優(yōu)劣程度，相關(guān)系數(shù)取三組信號相關(guān)系數(shù)中絕對值的最小值。

圖5給出了各算法不同信噪比下源信號與分離信號相關(guān)系數(shù)比較圖。通過圖5可以看出，本文提出的改進(jìn)的獨(dú)立分量算法相關(guān)系數(shù)在各信噪比條件下明顯優(yōu)于FastICA-G1(y)、FastICA-G2(y)、FastICA-G3(y)，且曲線更加平滑。

性能指標(biāo)PI值[20]定義如下：

式(30)中：混合分離矩陣C=WHBA=(cij)n×n。W是白化后的分離矩陣，B是白化信號，A是隨機(jī)混合矩陣。PI值越小，盲源分離的效果越好。本文中，進(jìn)行1 000次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)取平均值，通過比較各算法在不同信噪比條件下分離后的解混信號與源信號的性能指標(biāo)PI值，驗(yàn)證算法的優(yōu)劣程度。

圖6給出了各算法不同信噪比下源信號與分離信號性能指標(biāo)PI值比較圖。通過圖6可以看出，本文提出的改進(jìn)的獨(dú)立分量算法相關(guān)系數(shù)在各信噪比條件下PI值較低，故改進(jìn)的獨(dú)立分量分析算法性能明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的快速獨(dú)立分量分析算法。

圖4 不同算法分離的跳頻網(wǎng)臺分選圖比較

圖5 各算法不同信噪比下源信號與分離信號相關(guān)系數(shù)曲線

圖6 各算法不同信噪比下源信號與分離信號PI值曲線

信噪比指數(shù)定義[16]如下：

其中var代表對向量進(jìn)行方差計(jì)算，si為源信號矢量，sj為分離信號矢量。該參數(shù)越大，證明盲源分離效果越好，源信號與分離信號越接近。

圖7 各算法不同信噪比下源信號與分離信號輸出信噪比指數(shù)曲線

圖7給出了各算法不同信噪比下源信號與分離信號輸出信噪比指數(shù)比較圖。通過圖7可以看出，本文提出的改進(jìn)的獨(dú)立分量算法相關(guān)系數(shù)在各信噪比條件下輸出信噪比指數(shù)高于傳統(tǒng)的快速獨(dú)立分量分析算法。

綜合相關(guān)系數(shù)、性能指標(biāo)PI值、信噪比指數(shù)三個指標(biāo)作對照分析，本文算法均優(yōu)于FastICA-G1(y)、FastICA-G2(y)、FastICA-G3(y)。究其原因是，跳頻信號頻率變換迅速，需要很好的穩(wěn)定性，本文采用的Tukey 函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)g(·)超過閾值之后其輸出值逐漸減小，直到零為止，且一階導(dǎo)數(shù)變換速度較慢，從而算法性能穩(wěn)定；另一方面，牛頓迭代速度由二階變?yōu)槲咫A，算法迭代次數(shù)會明顯減少，這很大程度上加快了收斂速度。

實(shí)驗(yàn)三：本文算法的魯棒性分析

圖8給出了各算法野值數(shù)目與性能指標(biāo)PI值關(guān)系曲線圖，PI值計(jì)算公式如式(30)。通過比較各算法在不同野值數(shù)目的情況下，分離后的解混信號與源信號的性能指標(biāo)PI值，驗(yàn)證各算法的魯棒性能，圖中記錄的數(shù)值均為1000次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)后的平均值。實(shí)驗(yàn)中，選用的野值由 [0,3] 之間均勻分布的隨機(jī)變量產(chǎn)生。

圖8 各算法野值數(shù)目與性能指標(biāo)PI值的關(guān)系曲線圖Fig.8 The number of outliers and PI value of the relationship between the graph

通過圖8可以看出，一方面，在不同野值數(shù)目的條件下，本文算法均取得了最好的性能指標(biāo)；另一方面,本文算法的性能指標(biāo)的變換量也是最小的，這就進(jìn)一步驗(yàn)證了本文算法相比于其他算法有更好的魯棒性能。不得不提到的是，在實(shí)驗(yàn)中，基于FastICA-G2(y)的快速獨(dú)立分量分析算法也具備良好的魯棒性能，但是FastICA-G2(y)為指數(shù)類函數(shù)，硬件實(shí)現(xiàn)較為困難，也影響了算法的運(yùn)算速度、增加了網(wǎng)臺分選的分選時(shí)間，這一點(diǎn)在實(shí)驗(yàn)四中得以體現(xiàn)。

實(shí)驗(yàn)四：本文算法的計(jì)算復(fù)雜度分析

各算法迭代次數(shù)與分選時(shí)間的比較見表1。表中各數(shù)據(jù)均為1000次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)取平均值。

表1 各算法迭代次數(shù)與分選時(shí)間對照

分析四種算法的計(jì)算復(fù)雜度，將一次乘法或一次加法的計(jì)算復(fù)雜度記為1，四種算法在一次迭代時(shí)計(jì)算復(fù)雜度分別記作p1，p2，p3，p4，且p2>p1>p3>p4，源信號矢量的維數(shù)為n，L為采樣數(shù)目，k為迭代次數(shù)。在白化過程中，四種算法的計(jì)算復(fù)雜度均為4n2L；在固定點(diǎn)算法時(shí)，基于非線性函數(shù)G1(y)、G2(y)、G3(y)的快速獨(dú)立分量分析算法的計(jì)算復(fù)雜度主要集中于式(14)，分別為3nLkp1,3nLkp2,3nLkp3?；诒疚乃惴ǖ挠?jì)算復(fù)雜度主要集中于式(24)，計(jì)算復(fù)雜度為3nL(k+2)p4。

5 結(jié) 語

本文以跳頻網(wǎng)臺分選為研究對象，在推導(dǎo)傳統(tǒng)的快速獨(dú)立分量分析方法的基礎(chǔ)上，改進(jìn)了目標(biāo)函數(shù)的非線性函數(shù)，增加了固定點(diǎn)算法牛頓迭代的次數(shù)，提出了一種改進(jìn)獨(dú)立分量分析算法的跳頻網(wǎng)臺分選方法。仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了本文算法的性能。由本文的仿真實(shí)驗(yàn)分析得出：在不同信噪比條件下，本文算法的相關(guān)系數(shù)、性能指標(biāo)PI值、信噪比指數(shù)均優(yōu)于傳統(tǒng)的獨(dú)立分量分析算法；本文算法魯棒性能得到提高、收斂速度加快、運(yùn)算時(shí)間減少60%以上。相較于傳統(tǒng)的快速獨(dú)立分量分析方法，本文提出的改進(jìn)的獨(dú)立分量分析算法更適用于對混疊跳頻信號進(jìn)行網(wǎng)臺分選。本文算法可以在正定或者過定的條件下完成跳頻網(wǎng)臺的盲分選，今后的工作中，將結(jié)合ICA降維的方法，實(shí)現(xiàn)在欠定條件下的跳頻網(wǎng)臺盲分選。