云南省玉溪第一中學(xué)(653100) 武增明

三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理,文字表述簡潔,符號表述優(yōu)美,這個十分有趣、看起來很平凡的性質(zhì),有著廣泛的用途.不知出于何種原因,不知從何時起,在現(xiàn)行教材中消失了,已蹤影全無.對于以三角形內(nèi)角平分線為條件的題目,用代數(shù)方法求解往往會比較復(fù)雜,而巧妙利用三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理,能使計算簡化、思路簡捷,下面舉例說明.本文也旨在溫馨提醒同仁和同學(xué)加強此性質(zhì)的運用意識.

下面我們先看三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理.

定理三角形內(nèi)角平分線分對邊所得的兩條線段與這個三角形的兩邊對應(yīng)成比例.

如圖1,在△ABC中,AD平分∠BAC,AD交BC于D,則

圖1

圖2

證明過點B作BE//AC,交AD的延長線于E,如圖 2.因為 ∠CAD= ∠BED,又 ∠BAD= ∠CAD,所以∠BAD=∠BED,故AB=BE.因為△ADC∽△EDB,所以,即,從而.

1 簡求圓錐曲線的焦半徑的值

例1[2](2011年高考全國II卷理科第15題(文科16))已知F1,F2分別為雙曲線的左、右焦點,點A∈C,點M的坐標(biāo)為(2,0),AM為∠F1AF2的平分線,則|AF2|=____.

簡解根據(jù)雙曲線的方程知,F1(?6,0),F2(6,0),|MF1|=8,|MF2|=4,再根據(jù)三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理得,所以,|AF1|=2|AF2|,點A在雙曲線的右支上,|AF1|?|AF2|=6,所以,|AF2|=6.

評注(1)想到三角形的內(nèi)角平分線性質(zhì)定理,是破解此題的一個關(guān)鍵.(2)此題若用解析幾何的方法來解答,則難上加難,幾乎解不出來.

2 簡求向量的表達式

3 簡求三角函數(shù)值的比值

4 簡求角平分線所在的直線方程

例4[2](2010年高考安徽卷文科第17題)已知橢圓E經(jīng)過點A(2,3),對稱軸為坐標(biāo)軸,焦點F1,F2在x軸上,離心率.

(I)求橢圓E的方程;

(II)求∠F1AF2的角平分線所在直線l的方程.

簡解(I)解略,橢圓E的方程為

(II)由(I)知,F1(?2,0),F2(2,0),于是,|AF1|=5,|AF2|=3.設(shè)∠F1AF2的平分線與x軸交于點M.根據(jù)三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理可得所以,得,因此,k=2,所以AM所求直線方程為y=2x?1.

5 簡判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

圖3

例5[2](2015年高考福建卷文科第19題)如圖3,已知點F為拋物線E:y2=2px(p＞0)的焦點,點A(2,m)在拋物線E上,且|AF|=3.

(I)求拋物線E的方程;

(II)已知點G(?1,0),延長AF交拋物線E于點B,證明:以點F為圓心且與直線GA相切的圓,必與直線GB相切.

簡解(I)解略,拋物線E的方程為y2=4x.

6 簡求參數(shù)的取值范圍

圖4

例6[1](2013年高考山東卷理科第 22題)如圖 4,橢圓的左右焦點分別是F1,F2,離心率為,過F且垂直于x軸的1直線被橢圓截得的線段長為1.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點,連接PF1,PF2,設(shè)∠F1PF2的角平分線PM交C的長軸于點M(m,0),求m的取值范圍.

(3)略.