廣東省華南師范大學(xué)附屬中學(xué)汕尾學(xué)校(516600) 劉光明

2018年全國1卷理科數(shù)學(xué)第19題解析幾何試題雖說平淡但卻蘊(yùn)含著知識的本質(zhì),經(jīng)過試題的多解與拓展,從橢圓特殊情況到橫縱向的探究,發(fā)現(xiàn)對于一般的二次曲線同樣具有相似性質(zhì),并且它們的逆命題也是成立的.本文試圖通過8個(gè)結(jié)論的推理論證和闡述,挖掘其中的通性通法,最后因探究而引發(fā)了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)背景下圓錐曲線的一些教學(xué)思考.

1 試題呈現(xiàn)與多解

方法2(同一法):根據(jù)橢圓的對稱性,要證∠OMA=∠OMB,只需要證點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A′′在直線MB上即可,因此只需證明直線MA′′與直線AF的交點(diǎn)B在橢圓上即可.不妨設(shè)A(x0,y0)為第一象限點(diǎn),則點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A′′(x0,?y0),直線AF的方程為

圖1

評析試題在給定橢圓方程的基礎(chǔ)上,研究過焦點(diǎn)的直線與橢圓的位置關(guān)系,通過定點(diǎn)M、直線與橢圓的交點(diǎn),兩者建立關(guān)系,即可通過解析法將等角的幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程,也可以通過三角相似解決與橢圓有關(guān)的幾何問題,為不同基礎(chǔ)和能力的考生搭建思維平臺,也使解析幾何的思想方法在解答過程中得以展示.試題通過直線和橢圓的幾何性質(zhì)建立幾何元素之間的關(guān)系,營造數(shù)形結(jié)合的環(huán)境.

2 試題背景溯源

歷年來,全國卷的解析幾何問題都牽動(dòng)著一線數(shù)學(xué)教師的心,也是最容易受到狂熱挖掘的素材之一.2018年全國1卷文理解析幾何雖題目的呈現(xiàn)的曲線不同,但考查的核心知識點(diǎn)一致,細(xì)細(xì)查找不難發(fā)現(xiàn)其根源,具體摘抄如下:

背景1[1]人教A版選修4-4教材第34頁習(xí)題2.2第2題,摘抄如下:已知橢圓上點(diǎn)B,B′的連線垂直于長軸,橢圓上除了點(diǎn)B,B′外任意一點(diǎn),與B,B′連線分別與x軸交于P,Q兩點(diǎn),O橢圓中心,求證:|OP||OQ|為定值為a2.

背景2(2015年全國1卷理科第20題)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線與直線l:y=kx+a(a＞0)交于M,N兩點(diǎn).(1)當(dāng)k=0時(shí),分別求曲線C在點(diǎn)M和N處的切線方程;(2)y軸上是否存在點(diǎn)P,使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí),總有∠OPM=∠OPN?說明理由.

背景3(2013年陜西高考理科第20題)設(shè)拋物線C:y2=8x,若點(diǎn)B(?1,0),設(shè)不垂直于x軸的直線l與C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P,Q,若x軸是∠PBQ的角平分線,則l過定點(diǎn)(1,0),反之也成立.

背景4[2]文獻(xiàn)[2]中定理2指出:已知N(n,0),M(m,0)(mn=a2)是橢圓(a＞b＞0)的一對“伴侶點(diǎn)”.過M作與坐標(biāo)軸不平行的直線l與橢圓相交于A,B兩點(diǎn),則直線AN和直線BN與x軸成等角.

從上述的4個(gè)背景可以發(fā)現(xiàn)無論是期刊文章還是高考試題,更甚至是課本習(xí)題都對試題考查核心知識和思想方法進(jìn)行了深入的挖掘,因此在平時(shí)的教學(xué)過程中必須要重視課本之源,關(guān)注學(xué)科前沿領(lǐng)域之水.固本清源,水到渠成.

考題因探究而精彩,數(shù)學(xué)中的許多發(fā)現(xiàn)常常都是通過類比、歸納、猜想和證明的基本思路進(jìn)行.作為全國卷的考題更是匯聚我國數(shù)學(xué)工作者的智慧結(jié)晶,無論橫向探究還是縱向挖掘都值得用心雕琢.

3 縱向探究

下面主要證明結(jié)論1,結(jié)論2的證明可以仿造進(jìn)行,不再贅述.

證明根據(jù)已知,不妨設(shè)直線l的方程為x=my+t,消去x可得(b2m2+a2)y2+2b2mty+b2t2?a2b2=0,又N(t,0)為橢圓內(nèi)的點(diǎn),故直l線與橢圓必相交于兩個(gè)不同點(diǎn),由韋達(dá)定理可得

4 橫向探究

結(jié)論3如圖2,圓O的直徑DC所在射線上兩點(diǎn)M,N其中N在圓內(nèi),且滿足OC2=OM·ON,過點(diǎn)N的直線交圓O與A,B兩點(diǎn),則∠OMA= ∠OMB.

圖2

圖3

結(jié)論3可以經(jīng)過射影變換可以得到橢圓、拋物線和雙曲線中類似的性質(zhì).

結(jié)論4如圖3,設(shè)拋物線y2=2px,若點(diǎn)N(n,0),點(diǎn)M(?n,0).過N的直線與拋物線交與A,B,則∠OMA=∠OMB.

證明根據(jù)已知,不妨設(shè)直線l的方程為x=my+t,A(x1,y1),B(x2,y2),由消去x可得y2?2pty?2pn= 0,又N(t,0)為拋物線內(nèi)的點(diǎn),故直線l與拋物線必相交于兩個(gè)不同點(diǎn),由韋達(dá)定理可得y1+y2=2pt,y1y2=?2pn,又則代入整理可得,故k+k=MAMB,于是 ∠OMA=∠OMB.

結(jié)論5設(shè)雙曲線E:平面內(nèi)一點(diǎn)N(t,0)(t＞a),點(diǎn)M的坐標(biāo)為.過N的直線l與雙曲線右分支交與A,B,則∠OMA=∠OMB.

通過圓、拋物線的推理論證,可以運(yùn)用同樣的邏輯推理方法和通性通法得到雙曲線類似結(jié)論的證明,有興趣的讀者可以嘗試,在此不作過多論證.至此,二次曲線中相似性質(zhì)都得到了證明,故可總結(jié)得到更統(tǒng)一的結(jié)論6.

結(jié)論6設(shè)M是二次曲線Γ對稱軸上的一個(gè)定點(diǎn),A,B為該二次曲線Γ上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且滿足直線AB過定點(diǎn),則存在λ,μ,t∈R使得λ(kMA+kMB)+μkMAkMB=t.

結(jié)論6中,如果取特殊值λ=1,μ=t=0,則得到結(jié)論1、結(jié)論2、結(jié)論3、結(jié)論4和結(jié)論5等性質(zhì)成立.證明推理過程,請感興趣的讀者自行完成.

5 逆向探究

結(jié)論7已知橢圓C:,點(diǎn)直線MA,MB與橢圓分別相交于A,B兩點(diǎn),且滿足∠OMA=∠OMB,若直線AB斜率存在,則直線AB恒過定點(diǎn)

證明由已知,不妨設(shè)直線AB的方程為y=kx+t,A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y可得(b2+a2k2)x2+2a2ktx+a2t2?a2b2=0,根據(jù)已知直線MA,MB與橢圓分別相交于A,B兩點(diǎn),故直線AB必與橢圓相交,即 ?＞0,由韋達(dá)定理可得又,則k+k=MAMB因?yàn)?∠OMA= ∠OMB,所以kMA+kMB=0,于是有x2y1+x1y2?m(y1+y2)=2kx1x2+(t?mk)(x1+x2)?2mt=0,將根與系數(shù)關(guān)系代入整理得2k(a2t2?a2b2)?2kt(t?mk)a2?2mt(b2+a2k2)=0,所以?2ka2b2?2mtb2=0,又,因此ka2+mt=0,直線AB的方程為,于是直線AB恒過定點(diǎn)

依據(jù)類比可推理得到拋物線和雙曲線也是有類似結(jié)論7的結(jié)論,故可以概括得到結(jié)論8.

結(jié)論8設(shè)M是二次曲線Γ對稱軸上的一個(gè)定點(diǎn),A,B為該二次曲線Γ上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且滿足λ(kMA+kMB)+μkMAkMB=t(其中λ,μ,t為定值),若直線AB斜率存在,則直線AB過定點(diǎn).

6 教學(xué)與備考啟示

(1)深入挖掘課本教材,關(guān)注知識的通性通法.圓錐曲線教學(xué)過程中都會(huì)感覺到思維的方式還是比較統(tǒng)一,但學(xué)生的排斥和畏難心理會(huì)給學(xué)習(xí)帶來巨大的阻礙.因此,在圓錐曲線教學(xué)中需要深入挖掘教材,引入數(shù)學(xué)文化,讓課堂豐富精彩.解題教學(xué)中,需要舍得花時(shí)間引領(lǐng)學(xué)生審題,逐個(gè)條件“翻譯”成數(shù)學(xué)知識.滲透轉(zhuǎn)化思想,采取聯(lián)想和類比的方法,多角度引導(dǎo)學(xué)生去選取解法,深入挖掘課本習(xí)題,借助變式教學(xué)傳遞通性通法.

(2)深入思考,多維分析,培育運(yùn)算素養(yǎng).運(yùn)算能力的生成是學(xué)生個(gè)體的數(shù)學(xué)知識、思想、方法、解題經(jīng)驗(yàn)、情感意識自然內(nèi)化不斷升華的活動(dòng)過程,是建立在記憶能力、觀察能力、理解能力、表述能力等基礎(chǔ)上的,各種思維能力的聯(lián)系、比較是運(yùn)算能力生成的關(guān)鍵,更是確定解決問題的前提[3].在圓錐曲線甚至是每一節(jié)數(shù)學(xué)課中都大膽地給時(shí)間讓學(xué)生自主去經(jīng)歷和體驗(yàn)運(yùn)算程序,日積月累地突破計(jì)算難點(diǎn),培養(yǎng)計(jì)算自信心.當(dāng)然教師也要在課堂中做好良好的示范,耐心指導(dǎo)學(xué)生計(jì)算困難的解決辦法.通過課堂運(yùn)算,切實(shí)培養(yǎng)運(yùn)算素養(yǎng).

(3)基于建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論在教學(xué)中開展類比、猜想探究教學(xué),引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注“前概念”與“科學(xué)概念”之間的關(guān)系,通過推理論證培育學(xué)生合情推理和邏輯推理能力.圓錐曲線具備代數(shù)與幾何的雙重性質(zhì),是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想和思維靈活性的良好契機(jī),故此需要重視挖掘知識間的橫向和縱向聯(lián)系.