廣東省廣州大學(xué)附屬中學(xué)(510050) 韓智明 陳經(jīng)緯

題目1(2018年高考新課標(biāo)卷I理科第21題)已知函數(shù)

(1)討論f(x)的單調(diào)性.

(2)若f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,證明:

分析我相信廣大考生看到此題,應(yīng)該有一種似曾相識(shí)的感覺(jué),感覺(jué)它就是不久前的一次邂逅和相識(shí),但回憶起來(lái)又是那么的模糊,特別是對(duì)第(2)問(wèn)大多數(shù)考生一動(dòng)起筆時(shí)總感覺(jué)缺少一種關(guān)聯(lián),總是出現(xiàn)思維鏈條的斷裂;還有一部分考生雖然按照分析法的解題思想處理成功,但是很多同學(xué)還是不明白其中的原理.

點(diǎn)評(píng)筆者認(rèn)為如上方法為本題的最佳解法.通過(guò)極值點(diǎn)找出兩根x1,x2的關(guān)系x1x2=1,再通過(guò)把要證明的不等式通過(guò)減少變量化為一元變量不等式,構(gòu)造函數(shù)然后證明不等式即可.考生只有經(jīng)過(guò)這種數(shù)學(xué)思維和方法的訓(xùn)練,才能想到這種方法,本題充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)邏輯推理的核心素養(yǎng).

無(wú)獨(dú)有偶,在以往的高考試題中也出現(xiàn)類(lèi)似的情況.

題目2(2011年全國(guó)高考湖南卷文科第21題)設(shè)函數(shù)

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,記過(guò)點(diǎn)A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))的直線的斜率為k,問(wèn):是否存在a,使得k=2?a.若存在,求出a的值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析此題雖然和題1題干有所不同,但究其本質(zhì)應(yīng)該是相同的,可見(jiàn)高考考查考生的數(shù)學(xué)思維的思想和本質(zhì)不變,具有較為穩(wěn)定的連續(xù)性.

點(diǎn)評(píng)題1和題2的解法相似,也是它們共同的最佳的解法,但針對(duì)不同形式但本質(zhì)相似的試題,我們?cè)诮虒W(xué)中可以探究此類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題的其它的具有共性的解決方法,也就是回歸此類(lèi)題目解法的本質(zhì).

本質(zhì)回歸當(dāng)大家看到題目1和題目2的解法以后,熟知其本質(zhì)就是充分挖掘題目隱含條件,變二元變量問(wèn)題為一元變量問(wèn)題,我們?cè)灸：母杏X(jué)應(yīng)該變得越來(lái)越清晰了,以往在平時(shí)的備考中眾多的“邂逅”一下子變得深刻,我們可以感受到函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的制題都有一個(gè)背景和平臺(tái),這個(gè)背景和平臺(tái)隱藏在平時(shí)的練習(xí)和教材中,它可以是教材中典型問(wèn)題的變式,或是經(jīng)典問(wèn)題的引申,這些已經(jīng)成為壓軸題命制的一個(gè)重要手段和特征,這些背景和平臺(tái)對(duì)于考生來(lái)說(shuō)可能是一次偶然的遇見(jiàn),或是多次沒(méi)有多少印象的邂逅,亦或從來(lái)都沒(méi)有見(jiàn)過(guò).理解和掌握這些背景知識(shí),無(wú)疑會(huì)有助于我們迅速找到解決問(wèn)題的切入口.

分析第(2)問(wèn)從問(wèn)題的形式上,所求證的不等式存在三個(gè)變量a,x1,x2,讓人難以入手,通過(guò)分析法思想經(jīng)過(guò)邏輯推理不等式成立所需要的條件,然后通過(guò)換元減少變量達(dá)到求解目的.

點(diǎn)評(píng)兩種解法對(duì)變量a處理的的方式稍有不同,但它們的思維起點(diǎn)一樣,通過(guò)邏輯推理變形化多元變量為一元變量,最終轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題解決,思維導(dǎo)向明確,極大地體現(xiàn)了學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、處理數(shù)學(xué)問(wèn)題等學(xué)科核心素養(yǎng).

在近幾年的高三模擬題中,時(shí)常出現(xiàn)一類(lèi)給出函數(shù)圖像上任意兩個(gè)不同點(diǎn)的坐標(biāo),考察過(guò)兩點(diǎn)的割線的斜率與圖像上某點(diǎn)處切線斜率之間大小關(guān)系的函數(shù)綜合問(wèn)題,這類(lèi)問(wèn)題由于含有多個(gè)變量,顯得非常復(fù)雜,同時(shí)還常有參數(shù)在內(nèi)攪局,更使問(wèn)題增添許多混亂.

題目4(2014年江西師大附中高三期中考試)已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2+x.

(1)若f(x)在(0,+∞)是增函數(shù),求a的取值范圍;

題目5(2018年黃岡中學(xué)模擬試題)已知函數(shù)f(x)=

(1)若直線x=t(t＞0)與曲線y=f(x)和曲線y=g(x)分別交于A,B兩點(diǎn),且曲線y=f(x)在A處的切線與y=g(x)在B處的切線相互平行,求a的取值范圍;

(2)設(shè)h(x)=f(x)?g(x)在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)x1,x2,且x1＞x2.已知λ＞0,若不等式恒成立,求λ的取值范圍.

分析第(2)問(wèn)中從給出的不等式中含有三個(gè)變量,通過(guò)對(duì)不等式e1+λ＜x1·xλ2兩邊取對(duì)數(shù)等價(jià)轉(zhuǎn)化為1+λ＜lnx1+λlnx2,消去變量a,得到含有變量x1,x2的不等式,然后通過(guò)變形換元將二元問(wèn)題化為一元問(wèn)題,轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題解決.

(2)若λ2＞1時(shí),當(dāng)t∈(1,λ2)時(shí),φ′(t)＜0;當(dāng)t∈(λ2,+∞)時(shí),φ′(t)＞0.所以φ(t)在 (1,λ2)上單調(diào)遞減,在(λ2,+∞)上單調(diào)遞增,又φ(1)=0,所以φ(x)在(1,+∞)上不能恒小于0,不符合題意,舍去.

綜合(1),(2)得,若不等式e1+λ ＜x1·xλ2恒成立,只須λ2≤1.又λ＞0,所以0＜λ≤1.

點(diǎn)評(píng)題4和題5都含有三個(gè)變量,其解法是解決此類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題的常規(guī)策略,其思路就是通過(guò)消元、換元不斷減少變量的個(gè)數(shù),使之轉(zhuǎn)化為我們熟知的一元函數(shù),最后利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,解題過(guò)程中所蘊(yùn)含的解題思想都是化多元變量為一元變量的本質(zhì)回歸.

初看2018年高考新課標(biāo)卷理科21題,也許會(huì)有人會(huì)提出該題作為壓軸題的質(zhì)疑,認(rèn)為它的難度和創(chuàng)新不夠,不符合大眾對(duì)壓軸題認(rèn)識(shí)的某種心理,然而筆者通過(guò)對(duì)該題的解法和命題背景分析來(lái)看,特別是在新高考改革即將實(shí)施的大背景下,越發(fā)感覺(jué)廣大的數(shù)學(xué)專(zhuān)家、教育專(zhuān)家及測(cè)評(píng)與評(píng)價(jià)專(zhuān)家通過(guò)對(duì)新課標(biāo)十年的論證和摸索已經(jīng)形成了自己的命題風(fēng)格:平和—表述簡(jiǎn)明,言簡(jiǎn)意賅;穩(wěn)定—平穩(wěn)過(guò)渡,風(fēng)采依舊;獨(dú)特—背景深刻,韻味無(wú)窮.

21題作為壓軸題難度的適當(dāng)降低顯然預(yù)示著已經(jīng)開(kāi)始為未來(lái)的文理高考合卷拉開(kāi)序幕,悄然指明今后高考備考的方向;通過(guò)本題的解法研究要求我們?cè)谡麄€(gè)復(fù)習(xí)備考中,特別是在教學(xué)活動(dòng)中,教師要加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的探究性教學(xué),重視變式訓(xùn)練,注重對(duì)同一個(gè)習(xí)題多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的改編、重組和變式,訓(xùn)練和優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì),不要就題論題,通過(guò)教學(xué)活動(dòng)讓學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行多角度、多層次(問(wèn)題正反面、問(wèn)題的縱橫向、問(wèn)題的特殊和一般)的拓展和探究,學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)能夠舉一反三,會(huì)思考、會(huì)拓展;樹(shù)立備考以提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為出發(fā)點(diǎn),全方位地培養(yǎng)學(xué)生的綜合處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力,落實(shí)在每一堂課里,滲透到每一個(gè)習(xí)題中,讓學(xué)生在教學(xué)活動(dòng)中體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),掌握數(shù)學(xué)本質(zhì),感受數(shù)學(xué)思想,學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考問(wèn)題,培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和深刻性;在解題活動(dòng)中要注重知識(shí)的梳理總結(jié),理解解題方法的本質(zhì),形成對(duì)一類(lèi)試題解題共性的本質(zhì)核心歸納和方法提升,加強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng),遠(yuǎn)離題海訓(xùn)練,用數(shù)學(xué)的眼光觀察、分析和解決問(wèn)題,高考呼喚數(shù)學(xué)本位的靈魂回歸,備考急需數(shù)學(xué)思想的本質(zhì)回歸,學(xué)生只要掌握理解了知識(shí)方法的本質(zhì)所在,哪怕是與相關(guān)試題的一次“邂逅”甚至沒(méi)有遇見(jiàn),也不會(huì)感到陌生.