廣東省廣州市第十六中學(510080) 溫伙其

極值點偏移是近兩年全國高考和各地模擬試題的熱點和重點考查知識,常作為解答壓軸題出現(xiàn),但學生大多不能理解掌握,教師也感到束手無策.本文從極值點偏移的定義出發(fā),對極值點偏移的情況分類,歸納此問題處理的三大途徑五種常見解題方向,供同行借鑒:

一.極值點偏移的定義

極值點偏移,是指對于單極值函數(shù),由于函數(shù)極值點左右的增減速度不同,使得函數(shù)圖象沒有對稱性.若函數(shù)f(x)在x=x0處取得極值,且函數(shù)y=f(x)與直線y=b交于A(x1,b),B(x2,b)兩點,則AB的中點為,即,極值點在兩根的正中間,就說極值點沒有偏移;而往往,極值點不在兩根的正中間,則此時稱為極值點偏移,如下圖所示.

二.極值點偏移的分類情況

對于可導函數(shù)y=f(x),在區(qū)間(a,b)上只有一個極大 (小)值點x0,方程f(x)=0的解分別為x1,x2,且a＜x1＜x2＜b,

(2)證明過程同上,略.

根據(jù)極值點左右兩邊的變化快慢程度,又可把極值點偏移分以下四種情況:

三.極值點偏移的解決策略

例題已知函數(shù)f(x)=xe?x(x∈R).

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;

(2)若存在實數(shù)x1,x2,使得f(x1)=f(x2)成立,證明:x1+x2＞2.

此題改編自2010年天津理科高考試題第21題,條件通俗易懂,結(jié)論簡潔且可變化無窮,方法靈活多樣.

解決策略一構(gòu)造極值對稱差函數(shù)f(x0+x)?f(x0?x)或f(x)?f(2x0?x)(x0為f(x)的極值點),研究極值對稱差函數(shù)的最值,進而證明不等式.

圖6

解(1)因為f′(x)=(1?x)e?x,易得f(x)在(?∞,1)上單調(diào)遞增,在 (1,+∞)上單調(diào)遞減,x→?∞時,f(x)→?∞,f(0)=0,x→+∞時,f(x)→0,函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值f(1),且,如圖6所示.

(2)方法一由f(x1)=f(x2),x1?=x2,不妨設x1＜x2,則有0＜x1＜1＜x2,構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(1+x)?f(1?x),x∈(0,1],則g′(x)=f′(1+x)?f′(1?x)=,所以g(x)在x∈(0,1]上單調(diào)遞增,g(x)＞g(0)=0,也即f(1+x)＞f(1?x)對x∈(0,1]恒成立.由0＜x1＜1＜x2,則1?x1∈(0,1],所以f(1+(1?x1))=f(2?x1)＞f(1?(1?x1))=f(x1)=f(x2),即f(2?x1)＞f(x2),又因為2?x1,x2∈(1,+∞),且f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,所以2?x1＜x2,即證x1+x2＞2.

(2)方法二要證x1+x2＞2,只需證x2＞2?x1,因為2?x1＞1,且f(x)在 (1,+∞)單調(diào)遞減,所以只需證f(x2)＜f(2?x1),因為f(x1)=f(x2),所以只需證f(x1)＜f(2?x1),構(gòu)造對稱差函數(shù)g(x)=f(x)?f(2?x)(0＜x＜1),所以g′(x)=f′(x)?f′(2?x)=,由0＜x＜1,可得1?x＞0,e2?2x?1＞0,所以g′(x)＞0,得到g(x)在(0,1)單調(diào)遞增,所以g(x)＜g(1)=0,即x1+x2＞2成立.

解題分析構(gòu)造極值對稱差函數(shù),研究其最值解決極值點偏移的思路,是解決極值點偏移的通性解法.它把自變量的大小問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)值的大小,再把函數(shù)值的大小化歸為函數(shù)的單調(diào)性.若結(jié)論證明形式為x1x2＞b2,則可構(gòu)造極值對稱差函數(shù)(b為f(x)的極值點),研究極值函數(shù)的最值.

解題分析這種解題思路,技巧性較強,關(guān)鍵是湊出對數(shù)平均值不等式的結(jié)構(gòu)特征,能起到事半功倍的效果.解題步驟一般為:由f(x1)=f(x2)建立等式,然后含參數(shù)則消參,如果等式中含指數(shù)式則兩邊取對數(shù),最后恒等變形轉(zhuǎn)化為對數(shù)平均值不等式.

解決策略三消元,構(gòu)造一元函數(shù),轉(zhuǎn)化為新函數(shù)的最值,進而解決不等式成立問題.

構(gòu)造函數(shù)G(t)=2t+(t?2)(et?1),(t＞0),則G′(t)=(t?1)et+1,G′′(t)=tet＞0,故G′(t)在t∈(0,+∞)上單調(diào)遞增,G′(t)＞G′(0)=0,從而也G(t)在t∈(0,+∞)上單調(diào)遞增,G(t)＞G(0)=0,所以[2]式成立,即原不等式x1+x2＞2成立.

解題分析函數(shù)的極值點偏移問題,其本質(zhì)還是化歸導數(shù)應用,涉及函數(shù)的雙零點,是一個多元數(shù)學問題,不管待證的是兩個變量的不等式,還是導函數(shù)的值的不等式,解題的策略都是把雙變量的等式或不等式轉(zhuǎn)化為一元變量問題求解,途徑都是構(gòu)造一元函數(shù).

四.考題鏈接

1.(2016年新課標I卷理科第21題)已知函數(shù)f(x)=(x?2)ex+a(x?1)2有兩個零點.

(I)求a的取值范圍;

(II)設x1,x2是f(x)的兩個零點,證明:x1+x2＜2.

2.(2018年全國一模理科第21題)已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=x+m.

(1)若f(x)≤g(x)恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;

(2)若x1,x2是函數(shù)F(x)=f(x)?g(x)的兩個零點,且x1＜x2,求證:x1x2＜1.

3.(2011年遼寧理科第21題)已知函數(shù)f(x)=lnx?ax2+(2?a)x.

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)設a＞0,證明:當時,

(3)若函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交于A,B兩點,線段AB中點的橫坐標為x0,證明:f′(x0)＜0.

4.已知f(x)=lnx?ax有兩個零點x1,x2,求證:x1x2＞e2.

上述題目的解決,都可用上本文探討的極值點偏移的三個解題方向,多種方法完成,過程略.綜上,極值點偏移問題解決,關(guān)鍵是將雙變變量的不等式轉(zhuǎn)化為單變量不等式,回歸其函數(shù)與方程數(shù)學本質(zhì),即可迎刃而解.