丁家滿 唐漸 王清心 杜奕

摘 要： 電網(wǎng)規(guī)劃決策中，忽略指標(biāo)間的相關(guān)性將影響整個(gè)電網(wǎng)規(guī)劃的可靠性和經(jīng)濟(jì)性，引起工程計(jì)算的誤差，進(jìn)而影響決策的準(zhǔn)確性。電網(wǎng)規(guī)劃指標(biāo)間不僅存在線性相關(guān)還存在非線性相關(guān)，單純以線性相關(guān)為基礎(chǔ)的分析研究不能完整精確地表達(dá)其相關(guān)性。為此，提出基于Copula函數(shù)的電網(wǎng)規(guī)劃指標(biāo)的相關(guān)性分析及建模方法，并引入了相關(guān)性測(cè)度。首先采用核密度估計(jì)法確定變量的邊緣分布及圖形觀測(cè)法選取Copula函數(shù)，并利用極大似然法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。然后以經(jīng)驗(yàn)Copula函數(shù)為基礎(chǔ)計(jì)算歐氏距離值，評(píng)價(jià)二元正態(tài)Copula和二元t?Copula兩模型的優(yōu)劣。最后，以某省電網(wǎng)規(guī)劃方案的數(shù)據(jù)為樣本進(jìn)行實(shí)例驗(yàn)證，結(jié)果表明所提方法構(gòu)造的Copula函數(shù)模型的有效性，不僅能有效刻畫指標(biāo)間的相關(guān)結(jié)構(gòu)和尾部相關(guān)性，而且能更好地反映指標(biāo)間的秩相關(guān)性。

關(guān)鍵詞： 相關(guān)性； 電網(wǎng)規(guī)劃； Copula函數(shù)； 核密度估計(jì)； 尾部相關(guān)性； 建模

中圖分類號(hào)： TN99?34 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 1004?373X（2018）17?0095?07

Abstract： The correlation between indexes will affect the reliability and economy of the whole power grid planning in the decision of power grid planning， which leads to the error of the engineering calculation， and misleads the accuracy of decision. The linear correlation and nonlinear correlation exist in the power grid planning indexes. The analysis and research only based on a linear correlation can′t express the correlation between indexes completely and precisely. Therefore， the correlation analysis and modeling method of power grid planning indexes based on Copula function is proposed， and the correlation measure is introduced. The kernel density estimation method is used to determine the marginal distribution of the variables. The graph observation method is used to select the Copula function， which is estimated with the maximum likelihood method. The empirical Copula function is adopted to calculate the Euclidean distance， and evaluate the merits of bivariate normal Copula and bivariate t?Copula models. The data of a certain provincial power grid planning scheme is taken as an example for instance verification. The results show that the proposed method is effective to construct the Copula function model， can not only depict the correlation structure and tail correlation between indexes effectively， but also better reflect the rank correlation between indexes.

Keywords： correlation； grid planning； Copula function； kernel density estimation； tail correlation； modeling

0 引 言

電網(wǎng)規(guī)劃是電網(wǎng)建設(shè)的重要環(huán)節(jié)。優(yōu)秀的電網(wǎng)規(guī)劃是保證電網(wǎng)安全、穩(wěn)定、經(jīng)濟(jì)運(yùn)行的基礎(chǔ)，同時(shí)也是保證電力建設(shè)資金合理、有效、充分利用的重要前提。電網(wǎng)規(guī)劃方案作為電網(wǎng)工程的前期工作，具有十分復(fù)雜的特點(diǎn)，其復(fù)雜性表現(xiàn)為指標(biāo)的不確定、相關(guān)性、規(guī)模大和專業(yè)領(lǐng)域廣。多指標(biāo)間某個(gè)指標(biāo)的變化會(huì)使其他指標(biāo)對(duì)應(yīng)的改變，也就是多隨機(jī)變量相互間存在相關(guān)性。如果忽視這種關(guān)系可能引起工程計(jì)算中的誤差，并對(duì)電力系統(tǒng)安全運(yùn)行及經(jīng)濟(jì)效益造成影響。因此，在電網(wǎng)規(guī)劃過(guò)程中有必要對(duì)各指標(biāo)規(guī)律和彼此間的相關(guān)性系統(tǒng)地進(jìn)行精確建模，以量化電網(wǎng)規(guī)劃中的不確定性給電網(wǎng)帶來(lái)的影響，實(shí)現(xiàn)電力系統(tǒng)安全經(jīng)濟(jì)運(yùn)行。針對(duì)電網(wǎng)規(guī)劃方案中多指標(biāo)問(wèn)題，文獻(xiàn)[1]將可靠性評(píng)估的方法引入電網(wǎng)規(guī)劃流程，并提出了考慮可靠性、安全性和經(jīng)濟(jì)性的指標(biāo)體系以及綜合評(píng)價(jià)規(guī)劃方法；文獻(xiàn)[2]構(gòu)建了多權(quán)重因子影響的電網(wǎng)規(guī)劃指標(biāo)評(píng)價(jià)體系，并制定了各評(píng)價(jià)指標(biāo)的計(jì)算方法和評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)；文獻(xiàn)[3?5]提出電網(wǎng)規(guī)劃方案中多指標(biāo)的整體評(píng)價(jià)決策方法；文獻(xiàn)[6]針對(duì)配電網(wǎng)規(guī)劃問(wèn)題，提出一種可靠性指標(biāo)的改進(jìn)顯式估算算法，但未考慮前期指標(biāo)之間存在相關(guān)性；文獻(xiàn)[7]應(yīng)用相關(guān)性分析方法進(jìn)行指標(biāo)間的優(yōu)化篩選，但未對(duì)篩選的指標(biāo)做任何處理，導(dǎo)致不能全面的衡量指標(biāo)的特性。另外在電力系統(tǒng)其他方面的相關(guān)性建模問(wèn)題中，文獻(xiàn)[8]提出三階多項(xiàng)式正態(tài)變換方法，文獻(xiàn)[9]提出九階多項(xiàng)式正態(tài)變換，但是這兩種方法都是基于線性相關(guān)系數(shù)建模，不適合于描述非線性關(guān)系；文獻(xiàn)[10]采用秩相關(guān)系數(shù)描述全局非線性相關(guān)性，但無(wú)法反映全部的相關(guān)特征，如尾部相關(guān)性等。

電網(wǎng)規(guī)劃指標(biāo)之間往往是線性及非線性相關(guān)都同時(shí)存在，單純以線性相關(guān)為基礎(chǔ)的分析研究不能完整精確地表達(dá)其相關(guān)性。Copula函數(shù)作為一種刻畫變量之間相關(guān)性機(jī)制的工具，構(gòu)造出的模型幾乎包含了所有的線性與非線性相關(guān)性信息，且建模步驟簡(jiǎn)單，使用靈活，使用范圍廣，如在電力領(lǐng)域中的最優(yōu)潮流[11]、風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估[12]、概率潮流[13]和可用輸出能力評(píng)估等。文獻(xiàn)[14]通過(guò)建立基于Copula理論的風(fēng)速與負(fù)荷相關(guān)性模型，提出了一種計(jì)及二者相關(guān)性的配電網(wǎng)重構(gòu)優(yōu)化方法；文獻(xiàn)[15]提出一種基于核估計(jì)理論與Copula函數(shù)相結(jié)合的風(fēng)電場(chǎng)出力相關(guān)性分析方法；文獻(xiàn)[16]以ASV?EVT模型為邊緣分布，運(yùn)用Copula簇方法研究了QFII和HS300指數(shù)之間的相關(guān)關(guān)系。利用Copula函數(shù)描述變量間的相關(guān)性的優(yōu)點(diǎn)主要有以下幾點(diǎn)：邊緣分布不受限制，即使是不同分布的隨機(jī)變量，其相關(guān)性也可以用Copula函數(shù)描述；Copula函數(shù)可以描述隨機(jī)變量間的非線性相關(guān)性，并且對(duì)隨機(jī)變量進(jìn)行線性單調(diào)增加變換時(shí)，由Copula函數(shù)導(dǎo)出的相關(guān)性測(cè)度不發(fā)生改變；Copula函數(shù)可以捕捉變量間特殊的相關(guān)關(guān)系，如非線性，非對(duì)稱及尾部結(jié)構(gòu)等，它是一種突破性的非線性相關(guān)模型，更加符合實(shí)際情況。

基于以上所述的優(yōu)點(diǎn)與特性，本文用Copula函數(shù)構(gòu)建電網(wǎng)規(guī)劃指標(biāo)間相關(guān)性模型。以電網(wǎng)規(guī)劃中的供電可靠率和電壓合格率兩個(gè)指標(biāo)的數(shù)據(jù)樣本為例展開(kāi)了實(shí)證研究，驗(yàn)證了Copula建模的有效性。結(jié)果表明本文提出的方法構(gòu)造的Copula函數(shù)模型能較好地反映兩指標(biāo)間蘊(yùn)含的相關(guān)性和指標(biāo)間尾部的特征，而且能更好地反映指標(biāo)間的秩相關(guān)性。

1 Copula基本理論與相關(guān)性測(cè)度

1.1 Copula的基本理論

Copula函數(shù)定義域?yàn)閇0，1]的二元分布函數(shù)，其實(shí)際意義是連接兩個(gè)隨機(jī)變量的邊緣分布和聯(lián)合分布，建立邊緣分布和聯(lián)合分布的映射關(guān)系，將邊緣分布和聯(lián)合分布分開(kāi)研究。令二維隨機(jī)變量[X，Y]的聯(lián)合分布函數(shù)為[F]，邊緣分布分別為[H]和[G]，Sklar定理指出存在著一個(gè)Copula函數(shù)[C（?）]，使得：

Kendall秩相關(guān)系數(shù)[τ]和Spearman 相關(guān)系數(shù)[ρ]可以通過(guò)Copula函數(shù)唯一確定，但Copula函數(shù)的種類繁多，不同的Copula函數(shù)所求出的[τ]不相同，因此相關(guān)性測(cè)度的準(zhǔn)確性依賴于所選取Copula函數(shù)的擬合度。

2 基于Copula函數(shù)的電網(wǎng)規(guī)劃指標(biāo)相關(guān)性分析及建模方法

結(jié)合1.1節(jié)所述相關(guān)定理，可將Copula相關(guān)性建模的構(gòu)造步驟分為三部分：首先是確定變量的邊緣分布；然后根據(jù)隨機(jī)變量相關(guān)性特點(diǎn)選取合適的Copula函數(shù)；最后根據(jù)所選擇的Copula函數(shù)，估計(jì)Copula模型中的未知參數(shù)。

2.1 確定邊緣分布函數(shù)

對(duì)電網(wǎng)規(guī)劃的某個(gè)指標(biāo)歷史數(shù)據(jù)做如下處理：利用Matlab畫出指標(biāo)的頻率直方圖（見(jiàn)圖1），并求得其偏度值為-0.472 0，峰度值為3.057 4；由此可知該指標(biāo)分布較正態(tài)分布呈現(xiàn)尖峰厚尾特性，并對(duì)其進(jìn)行Kolmogorov?Smirnov檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)并不服從正態(tài)分布，故本文采用核密度估計(jì)法確定指標(biāo)邊緣分布。設(shè)隨機(jī)變量[X]的樣本點(diǎn)為[（x1，x2，…，xn）]，[n]為樣本個(gè)數(shù)，其概率密度函數(shù)為[f（x）]，則核密度估計(jì)公式為：

2.2 選取合適的Copula函數(shù)

根據(jù)電網(wǎng)規(guī)劃指標(biāo)間相關(guān)性的特點(diǎn)，選取合適的Copula函數(shù)。常用的Copula函數(shù)包括Gumbel?Copula，Clayton?Copula，F(xiàn)rank?Copula，Normal?Copula，t?Copula。這5種函數(shù)（見(jiàn)表1）可以較好地對(duì)二元相關(guān)性進(jìn)行建模，本文采用圖形法利用Matlab編程畫出變量的二元頻率直方圖選取Copula函數(shù)。假如電網(wǎng)規(guī)劃[X，Y]兩個(gè)指標(biāo)的二元頻率直方圖是非對(duì)稱分布，就可以把Gumbel?Copula，Clayton?Copula作為備選。假如兩個(gè)指標(biāo)的[X，Y]的二元頻率直方圖是對(duì)稱的，可以將t?Copula，Normal?Copula，F(xiàn)rank?Copula列為備選。

2.3 參數(shù)估計(jì)

參數(shù)估計(jì)常見(jiàn)方法有極大似然估計(jì)、分步極大似然估計(jì)和半?yún)?shù)估計(jì)，其中前兩種方法需要知道或者估計(jì)變量的邊緣分布。由2.1節(jié)提出的核分布估計(jì)法可以確定電網(wǎng)規(guī)劃指標(biāo)的邊緣分布，且文獻(xiàn)[17]指出分步極大似然估計(jì)法得到的參數(shù)估計(jì)值漸進(jìn)正態(tài)，并且計(jì)算量小，容易實(shí)現(xiàn)。因此本文利用分步極大似然估計(jì)方法，考慮一般情況，假設(shè)電網(wǎng)規(guī)劃指標(biāo)[X，Y]，其邊緣分布函數(shù)為[u=Hx]，[v=Gy]；概率密度函數(shù)為[hx，gy]；聯(lián)合概率密度函數(shù)為[fxyxy]；[xi，yi]為樣本點(diǎn)，[i=][1，2，…，n]，由式（3）以及極大似然定義得出似然函數(shù)為：

平方歐氏距離反映了Copula函數(shù)擬合原始數(shù)據(jù)的情況，取值越小，Copula函數(shù)的擬合程度越好。

3 算例分析

本文以電網(wǎng)技術(shù)性能評(píng)價(jià)指標(biāo)體系，結(jié)合某省電網(wǎng)規(guī)劃的供電可靠率和電壓合格率的原始數(shù)據(jù)為例進(jìn)行研究，兩個(gè)指標(biāo)的原始數(shù)據(jù)如表2所示。

3.1 確定指標(biāo)的邊緣分布

電網(wǎng)規(guī)劃指標(biāo)邊緣分布的確定可分為參數(shù)估計(jì)和非參數(shù)估計(jì)兩種方法。核密度估計(jì)屬于非參數(shù)法，相比于參數(shù)估計(jì)法，其不需要分布的先驗(yàn)知識(shí)和任何概率分布形式的假設(shè)，僅從指標(biāo)數(shù)據(jù)樣本出發(fā)，研究指標(biāo)數(shù)據(jù)樣本特征，可通過(guò)經(jīng)驗(yàn)分布驗(yàn)證核密度估計(jì)的準(zhǔn)確性。根據(jù)2.1節(jié)提出的核密度估計(jì)法，由表2提供的電網(wǎng)規(guī)劃中供電可靠率和電壓合格率兩個(gè)指標(biāo)的歷史數(shù)據(jù)，可確定兩個(gè)指標(biāo)的邊緣分布[H（x），G（y）]。如圖2所示，圖中虛線為核分布估計(jì)，實(shí)線為經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)，經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)是實(shí)際分布函數(shù)的一個(gè)逼近，可與其對(duì)比判斷估計(jì)的精準(zhǔn)。由圖可知核密度估計(jì)的邊緣分布與樣本經(jīng)驗(yàn)分布基本一致，很好地刻畫了兩個(gè)指標(biāo)的規(guī)律。

3.2 選取適當(dāng)?shù)腃opula函數(shù)

在確定了供電可靠率的邊緣分布[u=H（x）]和電壓合格率邊緣分布[v=G（y）]后，利用Matlab編程畫出供電可靠率和電壓合格率的二元頻率直方圖，根據(jù)二元頻率直方圖的形狀（見(jiàn)圖3）選取恰當(dāng)?shù)腃opula函數(shù)結(jié)構(gòu)。

圖3為頻率直方圖，可作為[u，v]聯(lián)合密度函數(shù)（即Copula密度函數(shù)）的估計(jì)。[u，v]聯(lián)合密度函數(shù)（即Copula密度函數(shù)）具有對(duì)稱的尾部，再參考表1中5種Copula函數(shù)各自的特性，可以初選表1中的Normal?Copula函數(shù)或t?Copula函數(shù)描述供電可靠率和電壓合格率間的相關(guān)模型，最后通過(guò)擬合優(yōu)度檢驗(yàn)確定最終模型。

3.3 參數(shù)估計(jì)

3.4 模型的評(píng)價(jià)

通過(guò)比較表3中平方歐氏距離可知，二元Normal?Copula與經(jīng)驗(yàn)Copula的平方歐氏距離為[d2t=]0.614 9，二元t?Copula與經(jīng)驗(yàn)Copula的平方歐氏距離為[d2Ga=]0.019 0。因此，在歐氏距離的指導(dǎo)下，可以認(rèn)為二元t?Copula和經(jīng)驗(yàn)Copula能更好地?cái)M合供電可靠率和電壓合格率兩個(gè)指標(biāo)間的相關(guān)性。

對(duì)比圖4a）和圖5a）的圖形可看出：二元Normal?Copula中相關(guān)參數(shù)[ρ1=0.930 2]與二元t?Copula的相關(guān)參數(shù)[ρ2=0.999 6]相比，二元t?Copula的密度函數(shù)具有更厚的尾部特征，說(shuō)明該函數(shù)能更好地反映指標(biāo)變量間尾部具有的相關(guān)性。再分別將圖4b）和圖5b）與圖6對(duì)比發(fā)現(xiàn)：圖4b）與圖6在中間部分有明顯差別，說(shuō)明在此范圍中二元Normal?Copula分布不能很好地反映供電可靠率和電壓合格率的關(guān)系；圖5b）與圖6雖然在底部有細(xì)微的差別，但其他部分?jǐn)M合較好，說(shuō)明二元t?Copula函數(shù)模型能更好地?cái)M合供電可靠率和電壓合格率之間的關(guān)系。

此外，表3中給出了幾種隨機(jī)變量相關(guān)性度量系數(shù)。Pearson系數(shù)表示隨機(jī)變量間線性相關(guān)性，Kendall表示隨機(jī)變量間的變化趨勢(shì)一致相關(guān)性，Spearman表示隨機(jī)變量變化一致與不一致的概率之差倍數(shù)。對(duì)比可知，二元t?Copula分布的Kendall秩相關(guān)系數(shù)和Spearman秩相關(guān)系數(shù)均與經(jīng)驗(yàn)分布的秩相關(guān)系數(shù)更接近。說(shuō)明二元t?Copula比二元Normal?Copula能更好地反映供電可靠率和電壓合格率間的秩相關(guān)性。

4 結(jié) 語(yǔ)

電網(wǎng)規(guī)劃指標(biāo)間的相關(guān)性對(duì)后期電力系統(tǒng)的正常運(yùn)行、風(fēng)險(xiǎn)分析具有重要的意義。本文以Copula理論為基礎(chǔ)，提出核密度估計(jì)法確定指標(biāo)的邊緣分布，采用分步極大似然估計(jì)法和經(jīng)驗(yàn)Copula及歐氏距離定理，對(duì)所選取的Copula函數(shù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)和Copula函數(shù)模型的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，使最終選取的Copula模型更貼合實(shí)際分布。實(shí)例分析結(jié)果表明，二元t?Copula函數(shù)比二元正態(tài)Copula函數(shù)能更好地刻畫供電可靠率和電壓合格率之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)，避免了傳統(tǒng)相關(guān)性分析中只關(guān)注相關(guān)程度的缺點(diǎn)，能夠準(zhǔn)確地刻畫指標(biāo)間的尾部特征。

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