河南省濮陽市職業(yè)中專 邱愛珍

一、函數(shù)與方程思想相關(guān)概念解析

函數(shù)與方程思想是高中數(shù)學(xué)中常用的一類思想，數(shù)學(xué)思想是解決數(shù)學(xué)問題的靈魂所在，能夠讓復(fù)雜的數(shù)學(xué)題型變得簡單化，因此函數(shù)與方程思想也是學(xué)生應(yīng)當(dāng)重點掌握的學(xué)習(xí)內(nèi)容。我們在理解函數(shù)與方程思想時可以將其分解開來，所謂函數(shù)思想，就是將圖像與性質(zhì)通過函數(shù)關(guān)系相互聯(lián)系起來以解決實際問題，簡單地講就是當(dāng)遇到具體的數(shù)學(xué)問題時，我們需要把題干中給出的不等式或者方程問題利用函數(shù)思想轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后再利用函數(shù)的相關(guān)知識進(jìn)行解答。在實踐教學(xué)中我們發(fā)現(xiàn)，原來較為復(fù)雜的方程或不等式問題通過轉(zhuǎn)化，解題步驟變得更簡單，解題思路也更加清晰，不僅是方程問題我們能夠用函數(shù)思想解答，函數(shù)問題我們同樣可以用方程思想進(jìn)行解答。所謂方程思想，就是利用方程的相關(guān)概念找出與函數(shù)的關(guān)系，構(gòu)造與函數(shù)關(guān)系相對應(yīng)的方程表達(dá)式，最終解決函數(shù)問題。我們可以將函數(shù)y=f（x）轉(zhuǎn)化成方程f（x）-y=0，那么在解題時，我們就可以通過解方程的方法回答出函數(shù)問題。如果一個函數(shù)問題中還包括值域、定義域的問題，通過函數(shù)向方程的轉(zhuǎn)化更是可以簡化操作步驟，幫助學(xué)生更加簡單清晰地理清思路。

二、高中數(shù)學(xué)中函數(shù)與方程思想的應(yīng)用

利用函數(shù)與方程思想解決具體問題是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一項重要的教學(xué)內(nèi)容，在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生找出函數(shù)與方程之間的關(guān)系，注意培養(yǎng)數(shù)學(xué)思想，同時要避免陷入誤區(qū)，例如在解析函數(shù)時，不能忽視定義域，如果定義域是確定的，在利用待定系數(shù)法進(jìn)行解答時，還要弄清楚函數(shù)的類型，總之要保持嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕忸}思路，做到正確分析與處理。以下就結(jié)合具體實例分析高中數(shù)學(xué)中函數(shù)與方程思想的應(yīng)用。

例1 定義x1滿足條件：2x+2x=5，同時x2滿足條件：2x+2log2（x-1）=5，求x1+x2的值是多少。

例2 已知關(guān)于a的方程2x2a-2-7xa-1+3=0，該方程的一個根是2，求另一個根以及x的值是多少。

分析：當(dāng)我們看到這個題時，有許多學(xué)生會陷入思想上的誤區(qū)將其看作是關(guān)于x的方程，實際上題干中已經(jīng)表明了這是關(guān)于a的方程，因此正確審題非常重要。在進(jìn)行分析解答時，我們要將x作為一個需要我們求知的“已知數(shù)”，而a是一個未知數(shù)，我們利用換元法構(gòu)造關(guān)于a的函數(shù)m=xa-1，通過函數(shù)與方程思想將關(guān)于a的方程轉(zhuǎn)化成關(guān)于m的方程，即2m2-7m+3=0。通過轉(zhuǎn)換，我們的解題思路一下就明朗了許多，通過方程的相關(guān)知識，可以求出m的值是3或者，將其代入可以得出方程x的值是3或者，那么再將x的值代入到a的方程就可以得到a=1-log32。

例3 函數(shù)f（x）是關(guān)于原點對稱（對任意的x都滿足）的減函數(shù)，其定義域是R ，求對應(yīng)m的取值范圍是多少。

分析：這道題還是比較有難度的，對于學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力的要求比較高，既考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，同時又考查函數(shù)的奇偶性以及不等式與二次函數(shù)等內(nèi)容。不少學(xué)生在面對這道數(shù)學(xué)題感到非常困惑，不知道從哪里進(jìn)行突破。其實利用函數(shù)與方程思想可以較為輕松地簡化解題步驟，同時還要引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思想，讓解題思路更加開闊。

通過題干中的已知條件，函數(shù)f（x）是關(guān)于原點對稱（對任意的x都滿足）的減函數(shù)，我們可以了解到函數(shù)f（x）是一個奇函數(shù)，那么3m-5 ＞ cos2θ-2msin2θ 就是 3m-4-sin2θ+2msin2θ＜ 0。這時我們利用函數(shù)與方程思想，利用換元的方式構(gòu)造函數(shù)，最后得出（t+m）2-4-m2-3m＞0，再對換元的函數(shù)等價交換，得出f（t）=（t+m）2-4-m2-3m，這時再結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識點，就可以求解出最后的答案。

三、函數(shù)與方程思想解題歸納

函數(shù)與方程思想是我們在數(shù)學(xué)教學(xué)中要重點引導(dǎo)學(xué)生掌握的一項數(shù)學(xué)思想，在實際教學(xué)中，教師要結(jié)合學(xué)生的數(shù)學(xué)實際能力以及基礎(chǔ)水平，采取更有針對性的教學(xué)策略。在利用函數(shù)與方程思想進(jìn)行數(shù)學(xué)實際問題的分析解答時，教師要給予學(xué)生充分的時間進(jìn)行自我思考，不要一上來就帶領(lǐng)學(xué)生一步步地展開分析計算，而是要讓學(xué)生自己探索發(fā)現(xiàn)函數(shù)與方程之間的巧妙關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生從方程與函數(shù)的角度入手嘗試解答。另外，教師還應(yīng)該意識到的是，不能單純地將函數(shù)與方程思想當(dāng)作解決數(shù)學(xué)問題的工具，而是要將其作為一種指導(dǎo)思想，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，活躍學(xué)生看待與解決實際問題的思路，要注意在平時的數(shù)學(xué)教學(xué)課堂上滲透數(shù)學(xué)思想，逐漸鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

函數(shù)與方程思想是高中數(shù)學(xué)中常見的數(shù)學(xué)思想，利于幫助學(xué)生簡化解題步驟，明晰解題思路。教師在日常教學(xué)中一定要多滲透數(shù)學(xué)思想的教育，引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)學(xué)思想解決實際問題。