江蘇省常熟市塔前小學(xué) 戴美蘭

《反比例的意義》是蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)第十二冊(cè)第六單元的內(nèi)容，反比例關(guān)系和正比例關(guān)系一樣是一種重要的數(shù)量關(guān)系，它滲透了初步的函數(shù)思想，學(xué)生理解并掌握了這種數(shù)量關(guān)系，可以加深對(duì)比例的理解，解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。教學(xué)中我基于學(xué)生的已有認(rèn)知水平，合理整合教學(xué)內(nèi)容，最大限度地拓寬學(xué)生探究學(xué)習(xí)的空間，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷過(guò)程，意義建構(gòu)概念本質(zhì)。

一、在微課復(fù)習(xí)中提煉數(shù)學(xué)方法

課標(biāo)指出：數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上。在此之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了正比例的意義，對(duì)“相關(guān)聯(lián)的量”“成正比例的兩個(gè)量的變化規(guī)律”“如何判斷兩個(gè)量是否成正比例”已經(jīng)有了認(rèn)識(shí)，也掌握了研究比例規(guī)律的一些數(shù)學(xué)基本方法，這為學(xué)習(xí)《反比例的意義》奠定了基礎(chǔ)。所以老師課前特意錄制了一段微課，課始師生共同觀看，重溫正比例意義的學(xué)習(xí)活動(dòng)，激活已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，喚起學(xué)習(xí)表象和數(shù)學(xué)思考：觀察例1表格，圍繞問(wèn)題思考并展開(kāi)討論，全班交流發(fā)現(xiàn)，最后歸納總結(jié)時(shí)間和路程成正比例關(guān)系……借助微課的“導(dǎo)”，師生共同提煉出研究比例規(guī)律的數(shù)學(xué)方法：觀察、思考、討論、發(fā)現(xiàn)、歸納、總結(jié)……為學(xué)生自主探究反比例的意義做了有效的鋪墊。我們知道，方法的習(xí)得比知識(shí)的傳授更重要。

二、在核心問(wèn)題中展開(kāi)自主探究

出示例3表格：用60元購(gòu)買(mǎi)筆記本，筆記本的單價(jià)和購(gòu)買(mǎi)的數(shù)量如下表：

單價(jià)/（元/本） 1 2 3 4 5 6 …數(shù)量/本 60 30 20 15 12 10 …

（1）引導(dǎo)：運(yùn)用研究正比例關(guān)系的數(shù)學(xué)方法，研究單價(jià)和數(shù)量之間有著怎樣的關(guān)系？可以圍繞下面兩個(gè)問(wèn)題開(kāi)展小組討論，覺(jué)得有需要的也可以請(qǐng)數(shù)學(xué)書(shū)來(lái)幫忙。

課件出示：

①表中的單價(jià)和數(shù)量是怎樣變化的？

②這種變化有什么規(guī)律？

（2）集體交流，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)和發(fā)現(xiàn)：

①表中有兩種相關(guān)聯(lián)的量，單價(jià)發(fā)生變化，筆記本數(shù)量也發(fā)生變化。單價(jià)越低，本數(shù)越多；單價(jià)越高，本數(shù)越少。

（板書(shū)：?jiǎn)蝺r(jià)和數(shù)量是兩種相關(guān)聯(lián)的量，單價(jià)變化，數(shù)量也隨著變化）

②筆記本的數(shù)量隨著單價(jià)的變化而變化，用單價(jià)×數(shù)量可以發(fā)現(xiàn)總價(jià)是不變的。

引導(dǎo)：你能舉幾個(gè)例子說(shuō)說(shuō)嗎？

（板書(shū)：1×60=60 2×30=60 ……）

提問(wèn)：你能說(shuō)說(shuō)乘積60表示什么意思嗎？（總價(jià)）

你能用一個(gè)式子表示出單價(jià)、數(shù)量和總價(jià)之間的關(guān)系嗎？（板書(shū)：?jiǎn)蝺r(jià)×數(shù)量=總價(jià)[一定]）

（3）追問(wèn)：?jiǎn)蝺r(jià)和數(shù)量這兩種量成什么關(guān)系？為什么？

請(qǐng)幾位學(xué)生交流和補(bǔ)充想法。

（板書(shū)：?jiǎn)蝺r(jià)和數(shù)量成反比例關(guān)系，單價(jià)和數(shù)量是成反比例的量）

由于有了正比例意義的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，反比例意義的學(xué)習(xí)教師沒(méi)有做細(xì)致的引導(dǎo)，而是把學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，圍繞兩個(gè)核心問(wèn)題展開(kāi)小組討論，教師只做點(diǎn)撥和引導(dǎo)。學(xué)生通過(guò)觀察、思考、計(jì)算、比較，充分經(jīng)歷了數(shù)據(jù)的變化過(guò)程，真切感受到單價(jià)擴(kuò)大、數(shù)量縮小，單價(jià)縮小、數(shù)量擴(kuò)大，總價(jià)不變這種和正比例完全相反的變化，體會(huì)到變中不變的規(guī)律。借助數(shù)學(xué)書(shū)來(lái)幫忙，則通過(guò)自學(xué)課本，學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)單價(jià)和數(shù)量之間的關(guān)系，理清了單價(jià)和數(shù)量成反比例關(guān)系的兩個(gè)必要條件，把探究活動(dòng)中積累的經(jīng)驗(yàn)和發(fā)現(xiàn)的規(guī)律上升到理性的認(rèn)識(shí)，對(duì)反比例的意義有初步的理解和感悟。

三、在研究單導(dǎo)學(xué)中展開(kāi)多維對(duì)話(huà)

在學(xué)生初步理解反比例意義的基礎(chǔ)上，請(qǐng)學(xué)生拿出研究單，仿照例3的學(xué)習(xí)方法，嘗試著去完成“試一試”，看看工作效率和工作時(shí)間有著怎樣的關(guān)系。

生產(chǎn)240個(gè)零件，工作效率和工作時(shí)間如下表：

工作效率/ (個(gè)/時(shí)) 120 80 60 48 40 …工作時(shí)間/時(shí) 2 3 4 …

（1）根據(jù)表中的已知條件把表格填寫(xiě)完整,說(shuō)說(shuō)工作時(shí)間是隨著（ ）的變化而變化的。

（2）舉例算出相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的乘積各是（ ）。

（3）這個(gè)乘積表示的實(shí)際意義是（ ）。

（4）用式子表示它與工作效率和工作時(shí)間之間的關(guān)系：（ ）○（ ） = （ ）。

（5）想一想，工作效率和工作時(shí)間成反比例嗎？同桌說(shuō)說(shuō)為什么。

“試一試”完全采用自主探究的方式繼續(xù)感知反比例關(guān)系。學(xué)生嘗試完成五個(gè)問(wèn)題后，同桌首先展開(kāi)對(duì)話(huà)，說(shuō)說(shuō)自己的發(fā)現(xiàn)，接著學(xué)生上臺(tái)自主介紹探究過(guò)程，臺(tái)上和臺(tái)下的學(xué)生自主對(duì)話(huà)，互相補(bǔ)充、互相提醒。這一過(guò)程，學(xué)生的思維被有效激活，興趣被有效激發(fā)，教師適時(shí)引導(dǎo)小結(jié)“工作效率、工作時(shí)間和工作總量”三者之間的關(guān)系。借助研究單的導(dǎo)學(xué)功能，自主式發(fā)現(xiàn)和交流演繹出更多的精彩。教師適時(shí)點(diǎn)撥學(xué)生抓住成反比例量的知識(shí)核心，通過(guò)生生之間、生本之間、師生之間的多維對(duì)話(huà)，再次經(jīng)歷判斷成反比例量的思考過(guò)程，積累感性認(rèn)識(shí)，深化理性認(rèn)識(shí)，意義建構(gòu)反比例的概念。

四、在回顧反思中把握概念本質(zhì)

（1）回顧剛才的學(xué)習(xí)過(guò)程，想一想，例3和“試一試”中討論的兩種量有什么共同的地方？

（2）思考：仿照正比例，想想反比例怎樣用字母表示它們之間的關(guān)系？

（3）追問(wèn)：現(xiàn)在你們發(fā)現(xiàn)可以依據(jù)什么來(lái)判斷兩種量是否成反比例？（小結(jié)并板書(shū)課題：反比例的意義）

（4）舉例：生活中還有哪些相關(guān)聯(lián)的量也成反比例關(guān)系？你能舉例說(shuō)一說(shuō)嗎？

通過(guò)對(duì)例3和試一試兩種量共同點(diǎn)的討論，為特殊到一般抽象歸納反比例的意義做了準(zhǔn)備，仿照正比例，學(xué)生順利地想到可以用X和Y代表兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量，用K表示它們的乘積，順利抽象出反比例意義的字母表達(dá)式：X×Y=K（一定）。學(xué)生在潛移默化中感受到概念學(xué)習(xí)的一般方法：從感性到理性，從特殊到一般。通過(guò)尋找生活中的例子，激活學(xué)生的生活體驗(yàn)，豐富對(duì)反比例意義的理解，從而正確把握概念本質(zhì)。

五、在自主練習(xí)中深化理解意義

談話(huà)：研究單上余下的題目，請(qǐng)同學(xué)們自主選擇喜歡的一道題目來(lái)練一練，看看題中的兩種量是否成反比例。

學(xué)生獨(dú)立練習(xí)，完成后小組內(nèi)交流。

（1）學(xué)生上臺(tái)交流，介紹自己的想法。

生1：“練一練”1：因?yàn)槊看b的粒數(shù)×袋數(shù)=總粒數(shù)（一定），所以每袋裝的粒數(shù)和袋數(shù)成反比例。

生2：“練一練”2：因?yàn)槊刻爝\(yùn)的噸數(shù)×天數(shù)=總噸數(shù)（一定），所以每天運(yùn)的噸數(shù)和天數(shù)成反比例。

生3：練習(xí)十一第2題（對(duì)比練習(xí)）。

①交流表中填寫(xiě)的數(shù)據(jù)。

②討論并交流：

長(zhǎng)方形的面積一定，長(zhǎng)與寬成反比例嗎？

長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)一定，長(zhǎng)與寬成反比例嗎？

重點(diǎn)討論并板書(shū)：（長(zhǎng)+寬）×2=周長(zhǎng)（一定）。

追問(wèn)：題中討論的是誰(shuí)與誰(shuí)的關(guān)系？你能把它轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)與寬的關(guān)系嗎？

（板書(shū)：長(zhǎng)+寬=周長(zhǎng)÷2[一定]）

明確：長(zhǎng)方形周長(zhǎng)一定是指長(zhǎng)與寬的和一定，而不是積一定，所以長(zhǎng)與寬不成反比例。

強(qiáng)調(diào)：只有當(dāng)兩種相關(guān)聯(lián)量的乘積一定時(shí)，它們才能成反比例。

（2）用手勢(shì)（√或×）判斷：圓的周長(zhǎng)一定，圓周率和直徑成反比例嗎？

交流板書(shū)：π×d = c（一定）。

明確：圓周率和直徑不是兩種相關(guān)聯(lián)的量，圓周率不會(huì)隨著直徑的變化而變化，所以圓周率和直徑不成反比例。

追問(wèn)：通過(guò)對(duì)比練習(xí)，你覺(jué)得要判斷兩種量是否成反比例有什么需要提醒大家注意的？

強(qiáng)調(diào)：兩種相關(guān)聯(lián)的量和兩個(gè)量的乘積一定，兩者缺一不可。

由于學(xué)生的認(rèn)知水平和學(xué)習(xí)能力參差不齊，不同的學(xué)生會(huì)選擇不同層次的題目，有基礎(chǔ)的，有提高的，有對(duì)比的。這樣通過(guò)選擇自己喜歡的一道題，從自身的認(rèn)知特點(diǎn)和學(xué)習(xí)能力出發(fā)，滿(mǎn)足了自身的學(xué)習(xí)需求，不同層次的學(xué)生有不同的收獲，對(duì)反比例的意義都有自己獨(dú)特的建構(gòu)。通過(guò)對(duì)比辨析，學(xué)生真正掌握了判斷兩種量是否成反比例的數(shù)學(xué)方法，感悟了模型思想，提高了判斷能力，深化了意義的理解。

六、在拓展延伸中為后續(xù)學(xué)習(xí)奠基

課件出示：“你知道嗎”。

先讓學(xué)生自由讀一讀，問(wèn)：通過(guò)閱讀，你知道了什么？

追問(wèn)：觀察表格，X和Y的乘積都是……？（板書(shū)：X×Y=60[一定]）

觀察反比例圖像，說(shuō)說(shuō)點(diǎn)A和點(diǎn)B表示的實(shí)際意義各是什么？你還能說(shuō)出其他各點(diǎn)表示的實(shí)際意義嗎？

學(xué)生發(fā)現(xiàn)：每個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的X軸和Y軸上兩個(gè)數(shù)的乘積都是60，這些點(diǎn)連起來(lái)是一條曲線(xiàn)。

延伸：正比例圖像是一條直線(xiàn)，反比例圖像是一條曲線(xiàn)，有關(guān)反比例的圖像中學(xué)會(huì)進(jìn)一步研究。

通過(guò)閱讀“你知道嗎”，向?qū)W生簡(jiǎn)要介紹了反比例的圖像，既有利于加深學(xué)生對(duì)反比例意義的理解，又可以幫助學(xué)生獲得對(duì)正比例和反比例的完整認(rèn)識(shí)，形成合理的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，同時(shí)也勾起學(xué)生對(duì)研究反比例圖像的濃厚興趣，為后續(xù)的深度學(xué)習(xí)做了有效的引領(lǐng)。

總之，研究反比例的意義，借助問(wèn)題式導(dǎo)學(xué)、小組式合作、自主式交流、指導(dǎo)式發(fā)現(xiàn)，以核心問(wèn)題引領(lǐng)課堂，以自主探究貫穿課堂，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考討論、知識(shí)建構(gòu)、經(jīng)驗(yàn)交流、思想感悟，從而真正把握概念本質(zhì)。