周小燕 胡萍 梁青青

摘 要：? 用試探函數(shù)法求得一類反應擴散方程的反應擴散方程通解，驗證當參數(shù) m =1時解的正確性，得到連接不同平衡點的異宿軌道.可以把該解法推廣到高維反應擴散方程中.

關鍵詞： 反應擴散方程; 行波解;平衡點;異宿軌道

[中圖分類號]O415?? [文獻標志碼]A

Travelling Wave Solutions to a Kind of Reaction-diffusion Equations

ZHOU Xiao-yan，?? HU-Ping?? LIANG? Qing-qing

（Lan Zhou University of arts and science?? ，Lanzhou 730070，China）

Abstract： By using the trial? function method， we obtained the general solutions of reaction diffusion equations， And obtained the heteroclinic orbit of connecting? to a different equilibrium point.The results show that it is righted when the parameter m=1， It is shown that the method? can also be used to solve high-dimensional nonlinear reaction diffusion equations.

Key words： Reaction-diffusion? equations; travelling? wave? solutions ; equilibrium point;heteroclinic orbit

非線性科學是目前科學研究的熱點問題之一，求解非線性偏微分方程，也是數(shù)學和物理學家研究的重要內容.研究人員提出了很多方法，構造非線性方程精確解，如齊次平衡法[1]、反散射法、雙曲正切函數(shù)展開法[2-5]、Darboux變換法、試探函數(shù)法[6]、Hirota雙線性法、Sine-Gonsine法[7]、齊次平衡法、輔疊加法[8]、輔助常微分方程法[9]和雙函數(shù)法[10-11]，但由于問題的復雜性，至今尚無統(tǒng)一的方法，能夠得到精確解的方程也是鳳毛麟角.因此，本文用試探函數(shù)法，解出一類反應擴散方程的行波解的通解，分析不同情況下解的形式并驗證.

1 反應擴散方程及行波變換

反應擴散方程（1）中，ν，k分別為擴散系數(shù)和反應系數(shù)且ν>0，k>0.

（13）式恰好是方程（10）當m=1的情況，說明方程（10）的正確性.即方程（10）就是連接鞍點（u*，P*）=（1，0）和結點（u*，P*）=（0，0）的異宿軌道，且 m 為任意值時都成立.至此，利用試探函數(shù)法解出了方程（1）的行波解的通解，并驗證了當 m =1時結論的正確性.從而可知方程（10）就是方程（1）的通解.解對這類方程有一定的指導意義.

參考文獻

[1] ?Wang ML? Solitar? wave solution for Boussinesq? equation[J].Physics Letters A，1995，199：162-172.

[2] ?Parkes E J.Duffy? B R.Traveling solitary? wave solution to a compound Kdv-Burgers equation[J] .Physics? Letters A，1997，229：217-220.

[3] ?Zhang G X，Li Z B，Duan Y S .Exact solitary waves solutions of nonlinear wave equations[J].Sci Sin A，2000，44（3）：369-401.

[4] ?張鵬飛，房維維，李利.? 一類P（x）-laplace 方程非平衡解的存在性[J]. 牡丹江師范學院學報：自然科學版，2011（4）：1-2.

[5] ?劉希強.非線性發(fā)展方程顯式解的研究[D].北京：中國工程物理研究院，2002.

[6] ?Fan E C，Zhang H Q. A note on homogeneous balance methed[J].Phys Lett A，1998，246：403-406.

[7] ?Kudryasow N A. Exact? solutions of the generalized kuramoto Sivashinsky equations [J].Physics Letters A，1990，147：287-292.

[8] ?Yan C T.A simple transformation? for nonlinear? waves[J].Physics? Letters A，1996，224：77-84.

[9] ?徐淮娟 .二次曲線簡化方程的定理[J].牡丹江師范學院學報：自然科學版，2003（3）：2-3.

[10] ?Xie Y X.Tang J S. A unified approach in seeking the solitary wave solutions to sine-Gordon type equtions[J].Chinese Physics，2005，14（7）：1303-1306.

[11] ?關偉，張鴻慶.求解非線性方程的雙函數(shù)法[J].高校應用數(shù)學學報：A輯，2001，16（2）：163-168.

[12] ?劉式適，劉式達.物理學中的非線性方程[M].北京：北京大學出版社，2000.195-200.