張君

摘 要：否定是邏輯的基本概念之一，大部分的邏輯都將否定作為初始概念。但是不同邏輯中的否定確有著不同的意義，比如經(jīng)典邏輯、直覺主義邏輯、相干邏輯、弗協(xié)調(diào)邏輯等對否定的理解就不同。我們說這些否定不同，是因?yàn)榉穸ㄔ谶@些邏輯中具備否定的特性，又有不同的性質(zhì)，所以我們統(tǒng)稱為否定。

關(guān)鍵詞：弗協(xié)調(diào)邏輯；相干邏輯；直覺主義邏輯

一、弗協(xié)調(diào)邏輯否定

對矛盾的邏輯描述不能不使用否定詞，或者說否定詞和各類矛盾都有著天然的聯(lián)系。弗協(xié)調(diào)否定在其邏輯系統(tǒng)中引入了一種比經(jīng)典邏輯稍弱的弗協(xié)調(diào)否定。邏輯學(xué)家達(dá).科斯塔建立的邏輯系統(tǒng)是被人們研究最多的弗協(xié)調(diào)邏輯系統(tǒng)。在語法連接詞中有兩種否定詞：一種是經(jīng)典意義的否定詞“～”，一種是弗協(xié)調(diào)意義的否定詞“?”。因?yàn)榉穸ㄔ~的區(qū)別，兩類矛盾在邏輯語法上有了明顯的區(qū)別。前一種矛盾是建立在經(jīng)典否定基礎(chǔ)上的經(jīng)典矛盾，后一種矛盾是建立在弗協(xié)調(diào)否定基礎(chǔ)上的弗協(xié)調(diào)否定矛盾。兩種否定在邏輯語義上有明顯的差別：

關(guān)于“～”的賦值定義1：V（?A）=1 ?=? V（A）=0

關(guān)于“?”的賦值定義2：V（A）=0 =? V（?A）=1；

V（??A）=1 =? V（A）=1

由以上賦值可知，兩種否定都是二值的；并且由賦值定義1可知，連接詞“～”的邏輯特征是：若～A為真，則A為假；若A為真，則～A為假。由賦值二的定義可知，連接詞“?”的邏輯特征是：若A為假，則?A為真。但若A為真，則?A可真可假；并且??A為真，則A為真；若??A為假，則A可真可假。在這樣的賦值定義下A和～A不能同時(shí)為真，但A和?A可以同時(shí)為真。綜上所述，雖然都是否定詞但兩者的邏輯語義不同。

弗協(xié)調(diào)邏輯否定的出發(fā)點(diǎn)是對經(jīng)典邏輯矛盾普遍有效性的懷疑，弗協(xié)調(diào)邏輯的思想是包容矛盾、限制矛盾。弗協(xié)調(diào)邏輯否定刻畫了對立統(tǒng)一關(guān)系，是一種辯證否定的觀點(diǎn)。

二、相干邏輯否定

經(jīng)典邏輯采用二值語義，其否定“?”的定義是：?p真，當(dāng)且僅當(dāng)p假，即如果p真那么?p假，并且如果p假那么?p真。相干邏輯中的相干原理是說，如果A→B是相干邏輯的原理，那么A與B至少有一個(gè)共同的命變元，這樣顯然會(huì)把一大批經(jīng)典邏輯的規(guī)律排除在外，而在形式語義上就必須對連接詞，主要是對否定做出不同的解釋。

在情境中使用的否定是相干否定。相干邏輯的克里普克關(guān)系語義中，為了處理否定，專門為每一個(gè)狀態(tài)x配一個(gè)狀態(tài)x*（x*是x經(jīng)過運(yùn)算所得到的結(jié)果）：?A在給定狀態(tài)x下為真，當(dāng)且僅當(dāng)A在狀態(tài)x*下不真，即

1、x╞?A當(dāng)且僅當(dāng)x*╞A，相干邏輯中的狀態(tài)不同于可能世界，狀態(tài)可以是不完備或者不協(xié)調(diào)的。狀態(tài)x不完備，則x╞A并不保證x╞?A，因?yàn)閤可能關(guān)于A“什么也沒說”，既不肯定，也不否定。狀態(tài)x不協(xié)調(diào)，則允許有x╞A且x ╞?A，x既肯定A又否定A。由于不能只根據(jù)是否有x╞A來決定是否有x╞?A，相干邏輯引入狀態(tài)之間的相容關(guān)系C。xCy表示y與x相容，從而關(guān)于否定的語義條件又可敘述如下：

2、x╞?A，當(dāng)且僅當(dāng)，對每一個(gè)使得xCy成立的y都有y╞A。也就是說，x否定A，當(dāng)且僅當(dāng)，不存在與x相容的狀態(tài)肯定A，即x完全“排除A”。當(dāng)C具有對稱性、有向性和收斂性這些性質(zhì)時(shí)，定義1和2就是等價(jià)的?？梢?，星運(yùn)算相應(yīng)于具有以上三種性質(zhì)的相容關(guān)系，用星運(yùn)算處理否定只是用相容關(guān)系處理否定的一個(gè)特殊情形。

三、直覺主義邏輯否定

直覺主義的否定詞確實(shí)是一個(gè)與經(jīng)典邏輯不同的否定詞。直覺主義的否定不能與經(jīng)典否定來比較強(qiáng)弱，強(qiáng)調(diào)直覺主義的東西與經(jīng)典的東西不可比，從經(jīng)典邏輯角度來理解直覺主義邏輯是直覺主義者不能接受的，但對于經(jīng)典邏輯而言理解直覺主義的?A→A就是在經(jīng)典的假設(shè)下強(qiáng)調(diào)構(gòu)造性。從這個(gè)角度看?A→～A成立，～A→?A不成立，即存在不一定是構(gòu)造的，但構(gòu)造一定是存在的。

直覺主義是不接受經(jīng)典否定詞的，所以他們構(gòu)造的形式系統(tǒng)只有一個(gè)否定詞，但僅含有一個(gè)非經(jīng)典否定詞的系統(tǒng)存在缺陷，真正符合直覺主義精神的形式系統(tǒng)應(yīng)該包含有兩個(gè)否定詞，即使將否定作為虛擬的也好，然后我們可以將系統(tǒng)內(nèi)含有否定詞的定理分為三類：1、僅含直覺主義否定的；2、僅含經(jīng)典否定的；3、既含經(jīng)典否定又含直覺主義否定的。一是作為直覺主義的推理規(guī)則；二是作為經(jīng)典的推理規(guī)則；三是從經(jīng)典否定角度來理解直覺主義否定的推理規(guī)則。

直覺主義否定只有在通過一個(gè)類似語義上升到元語言的過程才能被理解，要想在一個(gè)系統(tǒng)中斷定一個(gè)語句的否定必須引入元語言，否定存在的前提是封閉類。??A→A和A→??A從邏輯上是不可解決的，它們不是邏輯規(guī)則，因此不能按照一般證成邏輯規(guī)則的方法證明它，所以直覺主義否定的邏輯規(guī)則面臨著兩難的境地。

我們說經(jīng)典邏輯中的否定大致對應(yīng)于自然語言中的“不”、“并非”，而直覺主義邏輯中的否定則是“永遠(yuǎn)不會(huì)”，或者說是“不可能”。從這個(gè)角度來看，直覺主義邏輯中的否定其實(shí)比經(jīng)典邏輯中的否定要強(qiáng)。

（作者單位：中央財(cái)經(jīng)大學(xué)文化與傳媒學(xué)院）