李玉鵬，吳 玥

(中國礦業(yè)大學(xué) 礦業(yè)工程學(xué)院,江蘇 徐州 221116)

0 引言

不同于單一的產(chǎn)品或服務(wù)，產(chǎn)品服務(wù)系統(tǒng)(Product Service System, PSS)是在產(chǎn)品全生命周期服務(wù)模式下生成的一種以高集成度、整體優(yōu)化為特征的新型產(chǎn)品系統(tǒng)[1]。由于PSS屬于一種新興概念，其相關(guān)研究目前集中于PSS設(shè)計(jì)理論和方法[2]。與傳統(tǒng)產(chǎn)品設(shè)計(jì)相似，PSS的設(shè)計(jì)過程同樣開始于概念設(shè)計(jì)，概念設(shè)計(jì)結(jié)束后會(huì)形成若干設(shè)計(jì)方案，因此需要對(duì)設(shè)計(jì)方案進(jìn)行評(píng)價(jià)與選擇。方案評(píng)價(jià)是PSS設(shè)計(jì)過程中的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，其結(jié)果的可行性和合理性對(duì)后續(xù)設(shè)計(jì)和制造過程具有重大的影響。由于服務(wù)具有無形性、差異性和主觀性，顧客的需求具有多樣性、模糊性、隨機(jī)性等不確定性特點(diǎn)[3]，PSS的方案評(píng)價(jià)遠(yuǎn)比單一的產(chǎn)品或服務(wù)的方案評(píng)價(jià)更為困難。在PSS方案評(píng)價(jià)中，由于指標(biāo)的多樣性，很難精確判定各評(píng)價(jià)指標(biāo)占據(jù)的權(quán)重，從而影響最終方案的選擇。因此，PSS方案評(píng)價(jià)是一類典型的多屬性決策問題。

近年來，PSS方案評(píng)價(jià)得到了廣泛關(guān)注。文獻(xiàn)[4]針對(duì)具有模糊性的服務(wù)性指標(biāo)，對(duì)電梯PSS方案進(jìn)行了評(píng)價(jià)，提出一種基于直覺模糊信息公理的PSS方案評(píng)價(jià)方法，該方法根據(jù)備選方案信息量的大小確定最優(yōu)方案;文獻(xiàn)[5]針對(duì)模糊性、不完備性等不確定性信息，以注塑機(jī)PSS方案評(píng)價(jià)為例，建立了一種融合多屬性指標(biāo)變粒度權(quán)重評(píng)價(jià)和群決策的PSS方案評(píng)價(jià)方法;文獻(xiàn)[6]針對(duì)由產(chǎn)品和服務(wù)模塊組成的PSS方案評(píng)價(jià)問題，通過二元語義表達(dá)模型描繪決策者給出的模糊決策信息，將模塊評(píng)價(jià)與模塊組合效應(yīng)評(píng)價(jià)相結(jié)合得到PSS方案評(píng)價(jià)方法。上述文獻(xiàn)主要針對(duì)PSS方案評(píng)價(jià)過程中評(píng)價(jià)指標(biāo)和語義的模糊性進(jìn)行了研究，而對(duì)具有隨機(jī)性質(zhì)指標(biāo)的處理考慮較少。文獻(xiàn)[7]闡釋了PSS方案評(píng)價(jià)過程中隨機(jī)指標(biāo)的存在性，進(jìn)而在隨機(jī)和模糊指標(biāo)共存條件下，以起重機(jī)PSS方案評(píng)價(jià)為例，基于模糊信息公理建立了評(píng)價(jià)模型，并提出上下界為模糊數(shù)的信息量積分算法，相似研究還可見于文獻(xiàn)[8-10]。此類基于模糊信息公理和模糊模擬的PSS方案評(píng)價(jià)方法雖然兼顧了評(píng)價(jià)指標(biāo)的模糊性和隨機(jī)性，但是僅限于一種評(píng)價(jià)指標(biāo)同時(shí)具有模糊性和隨機(jī)性的范圍，未考慮僅具有隨機(jī)性的評(píng)價(jià)指標(biāo)，而且待評(píng)價(jià)方案信息量的計(jì)算過程較為復(fù)雜?；谝陨戏治?，本文針對(duì)具有隨機(jī)性指標(biāo)的PSS概念方案評(píng)價(jià)進(jìn)行研究。

現(xiàn)有的隨機(jī)多屬性決策方法主要基于隨機(jī)占優(yōu)(Stochastic Dominance, SD)準(zhǔn)則和隨機(jī)多目標(biāo)可接受度分析(Stochastic Multi-objectives Acceptability Analysis, SMAA)兩類理論[11]。SD方法通過已知的部分決策信息生成偏序，分析決策者的效用函數(shù)是否隸屬于某個(gè)確定的類別，以此縮減有效方案集，進(jìn)而做出選擇，但其本質(zhì)是定性描述偏好關(guān)系，難以準(zhǔn)確描述決策者的具體偏好程度。在將備選方案縮減成有效方案集后，采用3類優(yōu)先關(guān)系的排序準(zhǔn)則對(duì)其進(jìn)行選擇，需先確定屬性偏好閾值，該取值會(huì)直接影響備選方案的選擇，因此存在一定的不確定性[12]。同時(shí)研究發(fā)現(xiàn)在采用一階、二階和三階SD關(guān)系時(shí)，難以準(zhǔn)確判定兩兩方案間是否存在隨機(jī)占優(yōu)關(guān)系，從而影響評(píng)價(jià)結(jié)果。SMAA可以在決策者偏好未知的情形下，運(yùn)用決策者共同接受的效用函數(shù)計(jì)算出權(quán)重向量空間里的最優(yōu)權(quán)重向量，從而獲得各備選方案的可接受度，然后通過比較方案間的可接受度、中心權(quán)向量和置信度獲得評(píng)價(jià)結(jié)果。該方法能夠解決決策者間意見相左的問題，并可以用任意權(quán)分布方式表示部分偏好信息，從而解決權(quán)重信息部分(完全)缺失的隨機(jī)多屬性決策問題;另外，該方法還能應(yīng)用于多種決策模型，選擇一個(gè)或一些較好的備選方案，并對(duì)各備選方案進(jìn)行排序和分類[13]。可見，SMAA最大的優(yōu)勢在于不需要決策者明確表達(dá)自己的偏好信息，就能給出備選方案的排序結(jié)果，在解決隨機(jī)多屬性決策問題時(shí)具有一定的優(yōu)越性。因此，本文選用SMAA方法進(jìn)行隨機(jī)多屬性決策。

針對(duì)評(píng)價(jià)指標(biāo)的隨機(jī)性，本文將數(shù)據(jù)包絡(luò)分析(Data Envelopment Analysis, DEA)與SMAA相結(jié)合，提出一種基于改進(jìn)SMAA的PSS方案評(píng)價(jià)方法——SMAA-D。為了提高評(píng)價(jià)結(jié)果的精確度和可靠性，采用 DEA型價(jià)值函數(shù)取代傳統(tǒng)SMAA中的效用函數(shù)，能夠很好地解決效用函數(shù)難以具體表達(dá)決策者偏好的問題，以此處理權(quán)重信息隨機(jī)分布和不精確屬性值的多屬性決策問題。首先基于隨機(jī)指標(biāo)評(píng)價(jià)值獲取概率密度函數(shù)，形成決策矩陣，用DEA價(jià)值函數(shù)定義權(quán)重輸出與輸入的比例，然后采用CCR(Charnes-Cooper-Rhodes)DEA模型將矩陣歸一化。進(jìn)而，建立權(quán)重優(yōu)化的線性規(guī)劃模型，計(jì)算各備選方案的可接受度和置信度，再給出最大效率、中心效率和平均效率3種隨機(jī)效率的計(jì)算方法。最后比較各備選方案的可接受度，即先去掉部分不合格方案，再比較置信度和3種效率值，從而選出最優(yōu)方案。

1 基礎(chǔ)理論

1.1 隨機(jī)多目標(biāo)可接受度分析

SMAA能夠處理評(píng)價(jià)指標(biāo)為確定型和隨機(jī)型的兩類決策問題。在確定情況下，指標(biāo)j(j=1, 2, …,n)對(duì)應(yīng)的方案i(i=1, 2, …,m)的屬性值gij是確定的，通過效用函數(shù)uj=(.)將gij映射到[0,1]區(qū)間：

uij=uj(gij)。

(1)

然后對(duì)各指標(biāo)的uij加權(quán)求和得到各方案的總效用值ui，

(2)

(3)

式中ωj表示指標(biāo)權(quán)重。再將各方案的總效用值ui進(jìn)行比較，形成所有能使方案i排名第一的權(quán)重集合Wi，Wi是總體權(quán)重區(qū)域W的一個(gè)滿足線性約束的子集，

Wi={ω∈W:ui≥uk,k=1,…,m,k≠i}。

(4)

通過建立線性規(guī)劃求解Wi：

max 0。

s.t.

ωj≥0。

(5)

Wi的體積通過n-1維積分計(jì)算：

(6)

當(dāng)權(quán)重信息完全未知時(shí)，假設(shè)權(quán)重在總體權(quán)重區(qū)域內(nèi)均勻分布。方案i成為最優(yōu)方案的概率即為可接受度ai,

ai=vol(Wi)/vol(W)。

(7)

在所有能使方案i成為最優(yōu)方案的權(quán)重組合中，最能表示方案i成為最優(yōu)方案的決策者偏好信息的權(quán)向量定義為中心權(quán)向量，即

(8)

而在隨機(jī)情況下，指標(biāo)取值是不確定的，用隨機(jī)變量γij表示，其密度函數(shù)用f(γ)表示為

(9)

方案i在各評(píng)價(jià)指標(biāo)下的效用值

(10)

后續(xù)步驟參考式(2)～式(8)。但因?yàn)楦鞣桨傅膶傩灾禐殡S機(jī)值，所以需計(jì)算各方案屬性值測量的置信度。置信度的定義為：方案i選擇中心權(quán)向量時(shí)，其為最優(yōu)方案的概率。計(jì)算公式為

(11)

方案的可接受度與置信度越大，表示該方案越優(yōu)。

1.2 數(shù)據(jù)包絡(luò)分析

DEA是在相對(duì)效率條件下衍生出來的一類效率評(píng)價(jià)分析法[14],該方法根據(jù)多項(xiàng)投入指標(biāo)和產(chǎn)出指標(biāo)，利用線性規(guī)劃的方法，對(duì)具有可比性的同類型DMU進(jìn)行相對(duì)有效的評(píng)價(jià)，同類型的DMU具有相同的目標(biāo)和任務(wù)、相同的外部環(huán)境，以及相同的投入和產(chǎn)出指標(biāo)?？紤]n個(gè)決策單元DMUj(j=1,2,…,n)，有m個(gè)投入xij(i=1,2,…,m)，s個(gè)產(chǎn)出yrj(r=1,2,…,s)，投入和產(chǎn)出向量分別記為Xj=(x1j,…,xmj)T和Yj=(y1j,…,ysj)T，由于過程中各種投入和產(chǎn)出的作用不同，需要對(duì)DMU進(jìn)行評(píng)價(jià)。其中DMU的效率值E(xj,ω)是輸出與輸入的比率：

(12)

CCR-DEA模型是DEA方法的典型拓展，其中各DMU通過自評(píng)來優(yōu)化自身效率。以第j個(gè)DMU的效率值為目標(biāo)，以所有DMU(含第j個(gè)DMU)的效率指數(shù)為約束，構(gòu)建模型如下：

s.t.

UT≥0,VT≥0。

(13)

其中θ0是第j0個(gè)DMU的最優(yōu)效率值，滿足0≤θ≤1。輸入和輸出的權(quán)向量分別記為V=(v1,…,vm)T和U=(u1,…,un)T，vi表示第i種輸入的權(quán)向量，ur表示第r種輸出的權(quán)向量，vi和ur均為變量，DMU的效率值越大，表明其越能采用相對(duì)較少的輸入取得相對(duì)較多的輸出[15]。

2 基于SMAA-D的PSS概念設(shè)計(jì)方案評(píng)價(jià)方法

在PSS概念設(shè)計(jì)方案評(píng)價(jià)問題中，假設(shè)X={x1,x2,…,xi,…,xm}為方案集，C={c1,c2,…,cj,…,cn}為指標(biāo)屬性集，ω={ω1,ω2,…,ωj,…,ωn}為指標(biāo)屬性權(quán)重集，將隨機(jī)值γij用聯(lián)合概率密度函數(shù)f(γ)定義為X?Rm×n的決策矩陣，用SMAA-D方法對(duì)評(píng)價(jià)指標(biāo)具有隨機(jī)性的PSS備選方案進(jìn)行排序，方法流程圖如圖1所示。具體步驟如下：

步驟1通過價(jià)值函數(shù)獲得綜合決策矩陣。

決策者通過n個(gè)決策指標(biāo)對(duì)m個(gè)備選方案進(jìn)行評(píng)價(jià)，并且指標(biāo)權(quán)重未知。SMAA-D根據(jù)輸出最大化和輸入最小化的原則對(duì)方案進(jìn)行評(píng)價(jià)。因?yàn)樵u(píng)價(jià)指標(biāo)具有隨機(jī)性，隨機(jī)情況下的屬性值又是不確定的，所以通過聯(lián)合密度函數(shù)f(γ)表示隨機(jī)變量γij的空間矩陣：

(14)

同時(shí)用價(jià)值函數(shù)計(jì)算權(quán)重輸出與輸入的比率，得出綜合決策矩陣

(15)

步驟2決策矩陣歸一化。

決策者在偏好未知或部分已知的情況下，假設(shè)隨機(jī)向量ω均勻分布在權(quán)重空間W中，ε是無限接近于0的無窮小，則此時(shí)的權(quán)重空間為

(16)

CCR-DEA優(yōu)化模型如下：

s.t.

ω≥ε,ε>0。

(17)

運(yùn)用該模型分別計(jì)算各方案的最大效率值，從中選出總的最大效率值。權(quán)重和效率u′(γi,ω)的值都是有區(qū)間的，但并非每個(gè)價(jià)值函數(shù)值都在[0,1]區(qū)間內(nèi)，因此需對(duì)屬性值進(jìn)行歸一化處理：

(18)

步驟3基于SMAA-D方法的方案排序。

(1)確定各方案的最優(yōu)權(quán)重空間

通過模型求出各方案排名第一時(shí)的權(quán)重空間體積：

Wi(γ)={ω∈W:u(γi,γ,ω)≥u(γk,γ,ω),

k=1,…,m，k≠i};

(19)

(20)

方案i排名第一時(shí)的權(quán)重空間體積需大于其他任一方案，只要該方案的權(quán)重空間體積小于其中一個(gè)方案，該方案就不存在最優(yōu)權(quán)重空間體積，在最后選擇備選方案時(shí)先排除這些方案，以使選擇出的方案更精確。

(2)計(jì)算各方案的可接受度和置信度，找出無效方案

可接受度ai是方案i最優(yōu)時(shí)的權(quán)重空間體積比總體權(quán)重空間體積，即

ai=E(vol(Wi(γ)))/vol(W)。

(21)

如果ai=0，則表明沒有任何權(quán)重可以使方案i成為最優(yōu)方案；反之若ai=1，則表示任意權(quán)重都能使方案i最優(yōu)。因此可根據(jù)ai找出方案中的無效方案。

在方案i是最優(yōu)方案的權(quán)重集合中，能夠較好地表達(dá)決策者偏好信息的權(quán)向量為中心權(quán)向量，即

(22)

(23)

(3)計(jì)算有效方案的最大效率、中心效率和平均效率

(24)

(25)

(26)

步驟4方案綜合比較擇優(yōu)。

3 實(shí)例驗(yàn)證

3.1 案例分析

A公司是國內(nèi)一家機(jī)床制造企業(yè)，主要是向顧客提供機(jī)床產(chǎn)品和相應(yīng)的服務(wù)。機(jī)床產(chǎn)品的技術(shù)含量高、工藝性復(fù)雜、標(biāo)準(zhǔn)化程度高，對(duì)制造型企業(yè)來說是必不可少的設(shè)備，機(jī)床質(zhì)量的優(yōu)劣會(huì)直接影響客戶的選擇和使用，因此A公司決定以PSS形式向客戶提供解決方案。A公司根據(jù)企業(yè)特色和機(jī)床產(chǎn)品的性能，從客戶角度出發(fā)，在概念設(shè)計(jì)階段形成7個(gè)機(jī)床產(chǎn)品服務(wù)的備選方案{x1,x2,…,x7}，根據(jù)可靠性、保養(yǎng)頻率、精度、耐磨性4個(gè)指標(biāo)對(duì)備選方案進(jìn)行評(píng)價(jià)和選擇，指標(biāo)屬性對(duì)應(yīng){c1,c2,c3,c4}，并且指標(biāo)權(quán)重未知。為了科學(xué)合理地選擇方案，決策專家給出各指標(biāo)相應(yīng)的隨機(jī)范圍，假設(shè)指標(biāo)屬性值在區(qū)間內(nèi)均勻分布，如表1所示。

根據(jù)本文提出的SMAA-D決策方法，對(duì)7個(gè)備選方案進(jìn)行評(píng)價(jià)擇優(yōu)，具體步驟如下：

步驟1首先根據(jù)決策者的初始決策信息，用式(14)和式(15)構(gòu)建綜合決策矩陣，如表2所示。

步驟2得到綜合決策矩陣后，根據(jù)式(17)，通過Lingo軟件編程分別計(jì)算出7個(gè)方案的最大效率值，從中選出總的最大效率值，計(jì)算結(jié)果如表3所示。

從表中可以看出最大的效率值為1，根據(jù)式(18)對(duì)綜合決策矩陣進(jìn)行歸一化，結(jié)果如表4所示。

步驟3方案排序。

根據(jù)式(19)，通過Lingo軟件編程確定各方案是否存在最優(yōu)權(quán)重空間，得出方案x1，x2和x4不存在最優(yōu)權(quán)重空間。然后用式(20)構(gòu)建方案的最優(yōu)權(quán)重空間模型，通過MATLAB編程繪制各方案排名第一時(shí)的權(quán)重空間，方案x3，x5，x6和x7的最優(yōu)權(quán)重空間如圖2所示。

用式(24)～式(26)計(jì)算各方案的最大效率、中心效率和平均效率，結(jié)果如表6所示。

步驟4綜合比較有效方案集{x3,x5,x6,x7}的可接受度、置信度和各個(gè)效率值，發(fā)現(xiàn)方案7的可接受度和置信度在有效方案集中均為最大，且方案7的平均、中心效率值相比均較高，因此確定方案7為最優(yōu)方案。

3.2 方法對(duì)比

隨機(jī)占優(yōu)方法首先判斷任意兩兩方案之間是否存在隨機(jī)占優(yōu)關(guān)系，詳細(xì)過程如圖3所示。其中：FSD為一階隨機(jī)占優(yōu)，SSD為二階隨機(jī)占優(yōu)，TSD為第三類隨機(jī)占優(yōu)，AFSD為一階近似隨機(jī)占優(yōu)，ASSD為二階近似隨機(jī)占優(yōu)，TSSD為第三類近似隨機(jī)占優(yōu)。

在構(gòu)造隨機(jī)占優(yōu)關(guān)系矩陣Rj=m×m的基礎(chǔ)上，分析上述綜合決策矩陣，通過排序值

(27)

k=1,2,…,m;

(28)

k=1,2,…,m。

(29)

兩個(gè)偏差度

i=1,2,…,m;

(30)

i=1,2,…,m。

(31)

結(jié)合式(37)～式(31)，計(jì)算各備選方案的排序值，結(jié)果如表7所示。

由此可得最優(yōu)方案為x7，這一決策結(jié)果與SMAA-D方法得到的結(jié)果一致。然而在對(duì)方案進(jìn)行兩兩比較時(shí)，會(huì)出現(xiàn)決策者不能判定任意方案間是否存在隨機(jī)占優(yōu)關(guān)系的情形，可能導(dǎo)致方案間決策信息的缺失，對(duì)方案的選擇造成一定影響。例如在判斷上述案例中方案x3與x4是否存在隨機(jī)占優(yōu)關(guān)系時(shí)，根據(jù)3類隨機(jī)占優(yōu)關(guān)系的定義可知，x3與x4之間不存在任何隨機(jī)占優(yōu)關(guān)系，但根據(jù)期望值最大原則，x3的指標(biāo)值多數(shù)大于x4，造成大多數(shù)決策者選擇x3，從而影響對(duì)備選方案科學(xué)客觀的判斷。因此，采用SMAA-D方法選擇最優(yōu)方案更為準(zhǔn)確合理。

4 結(jié)束語

本文針對(duì)PSS概念方案評(píng)價(jià)指標(biāo)的隨機(jī)性，提出一種基于改進(jìn)SMAA的PSS概念方案評(píng)價(jià)法。該方法將DEA與SMAA相結(jié)合(SMAA-D)，將不確定或不精確的方案評(píng)價(jià)指標(biāo)值用聯(lián)合概率密度函數(shù)的隨機(jī)變量值表示為矩陣形式，并采用CCR-DEA模型構(gòu)建綜合決策模型；基于各方案的最優(yōu)權(quán)重空間計(jì)算出可接受度、置信度等，從而進(jìn)行方案排序和最優(yōu)方案選擇。最后采用所提方法對(duì)某公司機(jī)床PSS概念方案進(jìn)行了評(píng)價(jià)，評(píng)價(jià)結(jié)果和方法對(duì)比驗(yàn)證了所提方法的可行性和有效性。后續(xù)研究將針對(duì)隨機(jī)指標(biāo)的其他分布情況進(jìn)行探討。