鄭 輝，劉春明，張峻霞，王東菲

(1.天津科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，天津 300222;2.天津市輕工與食品工程機(jī)械裝備集成設(shè)計(jì)與在線監(jiān)控重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300222)

0 引言

隨著市場(chǎng)化的蓬勃發(fā)展，產(chǎn)品成本愈加受到重視，結(jié)合成本要素的經(jīng)濟(jì)性控制圖應(yīng)運(yùn)而生。經(jīng)濟(jì)性控制圖必須依據(jù)產(chǎn)品生產(chǎn)加工過程的成本情況，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)性和經(jīng)濟(jì)性優(yōu)化，實(shí)現(xiàn)以最低成本產(chǎn)出最優(yōu)產(chǎn)品的目的[1]。

傳統(tǒng)經(jīng)濟(jì)性控制圖模型主要考慮抽檢成本、次品成本、誤報(bào)成本、檢修成本等費(fèi)用，以過程成本平均損失最小為目標(biāo)?？刂茍D經(jīng)濟(jì)性優(yōu)化參數(shù)較多，無論選定何種質(zhì)量成本模型，控制圖的經(jīng)濟(jì)性優(yōu)化都可以定義為尋求最佳控制圖參數(shù)組合，并保證質(zhì)量成本降到最低。而在統(tǒng)計(jì)過程控制方法中，貝葉斯理論經(jīng)常用來監(jiān)控小批量生產(chǎn)過程。目前國內(nèi)外學(xué)者從多個(gè)視角對(duì)貝葉斯理論展開研究，積極探索經(jīng)濟(jì)性最優(yōu)控制圖方法與貝葉斯理論相結(jié)合的發(fā)展途徑。Wang等[2]展開了具有多個(gè)可分配原因的貝葉斯過程控制研究，基于結(jié)構(gòu)結(jié)果進(jìn)一步推導(dǎo)了控制限的分析界限;Marcellus[3]研究了均值漂移過程的貝葉斯方法，論證了貝葉斯方法相比累積和控制圖具有更好的生產(chǎn)過程預(yù)期性能;Nenes[4]證明了自適應(yīng)無限級(jí)過程優(yōu)化貝葉斯控制圖，該模型使用貝葉斯定理估計(jì)的經(jīng)濟(jì)最優(yōu)設(shè)計(jì)參數(shù)可以顯著改善經(jīng)濟(jì)效益;Makis[5-6]分析了部分觀察過程3個(gè)狀態(tài)量的聯(lián)合抽樣和控制問題，并對(duì)基于狀態(tài)維修的多元貝葉斯控制圖進(jìn)行經(jīng)濟(jì)分析設(shè)計(jì);Naderkhani[7]研究了基于兩采樣間隔的多元貝葉斯控制圖，通過與具有單個(gè)采樣間隔的多變量貝葉斯控制圖和最近開發(fā)的多元指數(shù)加權(quán)移動(dòng)平均(Multivariate Exponentially Weighted Moving Average, MEWMA)控制圖進(jìn)行比較，證明了所提控制圖的有效性；Nenes等[8]研究了均值—標(biāo)準(zhǔn)差均發(fā)生偏移的自適應(yīng)貝葉斯控制圖，提出一種可能發(fā)生兩種可分配原因的過程操作的經(jīng)濟(jì)優(yōu)化新模型;Razmy等[9]對(duì)均值—標(biāo)準(zhǔn)差均發(fā)生偏移的休哈特控制圖展開性能研究，通過監(jiān)測(cè)正態(tài)分布過程的平均值和方差，論證了幾種聯(lián)合監(jiān)測(cè)方案的監(jiān)控性能;胡雪龍等[10]針對(duì)過程方差估計(jì)不精確的問題，采用t統(tǒng)計(jì)量代替?zhèn)鹘y(tǒng)統(tǒng)計(jì)量，提出一種單邊合格品鏈長t控制圖來監(jiān)控過程均值偏移。作為當(dāng)前研究熱點(diǎn)，近年來國內(nèi)外部分高校、科研單位和企業(yè)也相繼對(duì)經(jīng)濟(jì)性貝葉斯控制圖展開了初步研究。范文貴[11]運(yùn)用貝葉斯理論分析了小批量生產(chǎn)質(zhì)量過程，對(duì)傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行了很好的補(bǔ)充；張鵬偉等[12-13]開展了多元貝葉斯控制圖的經(jīng)濟(jì)性動(dòng)態(tài)研究，效果顯著；朱慧明等[14]進(jìn)行了動(dòng)態(tài)控制設(shè)計(jì)，完善了貝葉斯序貫分析質(zhì)量監(jiān)控模型;陳洪根[15]針對(duì)生產(chǎn)過程質(zhì)量特性均值漂移由設(shè)備異常導(dǎo)致的可修系統(tǒng)，提出一種可變樣本容量指數(shù)加權(quán)移動(dòng)平均均值控制圖和預(yù)防維修聯(lián)合經(jīng)濟(jì)設(shè)計(jì)模型。為提高控制圖監(jiān)測(cè)誤差波動(dòng)的統(tǒng)計(jì)性能，有學(xué)者提出了快速初始響應(yīng)(Fast Initial Response, FIR)方法，將特定的FIR方法應(yīng)用到不同類型的質(zhì)量控制圖，可以提高控制圖監(jiān)測(cè)誤差波動(dòng)的能力。Knoth[16]提出指數(shù)加權(quán)移動(dòng)平均(Exponentially Weighted Moving Average, EWMA)控制圖的FIR方法，提高了EWMA的監(jiān)測(cè)靈敏度。

上述研究為經(jīng)濟(jì)性貝葉斯迅速識(shí)別控制圖的研究提供了借鑒。因此，本文構(gòu)建了一種將經(jīng)濟(jì)性分析與過程仿真相結(jié)合的貝葉斯迅速識(shí)別控制圖。在該控制圖中，為實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)性與迅速識(shí)別的雙向功能，基于最優(yōu)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)設(shè)立了最優(yōu)控制限和操作規(guī)則；為分析基于經(jīng)濟(jì)性分析的貝葉斯控制圖的統(tǒng)計(jì)性能，采用蒙特卡洛仿真模擬技術(shù)，以過程失控時(shí)的平均運(yùn)行鏈長(Average Run Length, ARL)差值效率比為性能指標(biāo)，與傳統(tǒng)休哈特控制圖及當(dāng)前普通經(jīng)濟(jì)性控制圖進(jìn)行對(duì)比分析。結(jié)果證明，基于經(jīng)濟(jì)性分析的貝葉斯迅速識(shí)別控制圖可以高效識(shí)別過程偏移并報(bào)警，具有一定的成本優(yōu)勢(shì)和應(yīng)用價(jià)值。

1 基于質(zhì)量損失函數(shù)的均值—標(biāo)準(zhǔn)差控制圖經(jīng)濟(jì)性分析

傳統(tǒng)經(jīng)濟(jì)控制圖假設(shè)過程失控時(shí)產(chǎn)品的生產(chǎn)才會(huì)產(chǎn)生成本損失，沒有考慮到產(chǎn)品質(zhì)量特性和目標(biāo)函數(shù)值的偏離程度，因此存在一定的局限性。本文將質(zhì)量損失函數(shù)應(yīng)用到質(zhì)量控制圖的經(jīng)濟(jì)性分析中，質(zhì)量損失函數(shù)將質(zhì)量與成本要素相結(jié)合，為質(zhì)量波動(dòng)及其定量分析開辟了新思路。質(zhì)量大師田口采用高次損失函數(shù)量化產(chǎn)品質(zhì)量特征值和期望值存在偏差的質(zhì)量損失，并命名為“質(zhì)量損失函數(shù)”，該公式為

(1)

某樣本包括n件產(chǎn)品，假設(shè)質(zhì)量特性值依次為x1,x2,…,xn，則樣本的質(zhì)量損失

(2)

通過分析式(1)和式(2)可知，不合格品與合格品都會(huì)產(chǎn)生損失，這是對(duì)傳統(tǒng)質(zhì)量損失概念很好的補(bǔ)充，因此將合格品質(zhì)量損失成本引入經(jīng)濟(jì)控制圖的控制模型具有現(xiàn)實(shí)意義。本文下一步細(xì)化過程受控和失控時(shí)的質(zhì)量損失，設(shè)平均質(zhì)量損失

E(L)=k[σ2(μ-T)2]。

(3)

1.1 模型假設(shè)

本節(jié)模型構(gòu)建需要設(shè)置如下參數(shù)及條件：

(1)質(zhì)量特性服從正態(tài)分布，過程初始狀態(tài)受控。

(2)標(biāo)準(zhǔn)差控制圖的中心線和上、下控制線分別為:

CL=C4σ；

(4)

(3)過程受控時(shí)間滿足均值為1/λ的指數(shù)分布。

(4)生產(chǎn)過程具有雙邊等值的容差Δ0，質(zhì)量特性為正態(tài)對(duì)稱。

(5)失控過程上下偏移的概率均為0.5。

控制模型中涉及的參數(shù)說明如下：

a1為一次抽驗(yàn)的固定費(fèi)用；

a2為抽樣的非固定成本；

a3為搜尋失控成因的費(fèi)用；

a4為監(jiān)測(cè)一次誤發(fā)警報(bào)的費(fèi)用；

a5為失控時(shí)操作的單件產(chǎn)品損失成本；

H為抽樣檢驗(yàn)一個(gè)產(chǎn)品所需要的時(shí)間，取常數(shù)；

S為分析失控信號(hào)所需要的時(shí)間，取常數(shù)；

α為受控時(shí)點(diǎn)出界的概率，為第一類錯(cuò)誤，即拒絕原假設(shè)的錯(cuò)誤；

β為失控時(shí)點(diǎn)處于控制限內(nèi)的概率，為第二類錯(cuò)誤，即接受原假設(shè)的錯(cuò)誤。

1.2 基于質(zhì)量損失函數(shù)的均值—標(biāo)準(zhǔn)差控制圖優(yōu)化模型

隨機(jī)抽取n個(gè)樣本x1,x2,…,xn，s/σ在生產(chǎn)過程中是大于零的數(shù)，同理假設(shè)該過程標(biāo)準(zhǔn)差從σ偏移到了δσ。

(5)

(6)

R圖控制限

(7)

R圖警戒限

UWLR=k4σ0。

(8)

式中：k3為R圖的控制限系數(shù)，k4為R圖的警戒限系數(shù)，k3>k4。

(9)

式中Φ為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)。

過程受控時(shí)，R控制圖出現(xiàn)第一類錯(cuò)誤的概率

(10)

式中Fn(ε)為標(biāo)準(zhǔn)化極差ε=R/σ0的分布函數(shù)，

[Φ(u)-Φ(u-ε)]n-1du。

(11)

(12)

因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)差控制圖是用來控制過程的離散程度，要求越低越好，所以不設(shè)置過程標(biāo)準(zhǔn)差控制限的下限，或?qū)⑵湓O(shè)置為零。取標(biāo)準(zhǔn)差均值大于等于零，則0≤C4<1。因?yàn)橘ゑR函數(shù)中定義域不為零，所以n≠1。此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)差控制圖的檢出功效(第二類錯(cuò)誤)

(13)

(14)

(15)

(16)

則一個(gè)控制周期的時(shí)間長度

(17)

若時(shí)間t控制圖存在異常的概率為e-λtλ，則在第k和第k+1個(gè)樣本區(qū)之間存在異常的時(shí)間為t-kh，該區(qū)間存在異常的平均時(shí)間

(18)

ETC=E(C)/E(T)。

(19)

依據(jù)式(19)列出基于質(zhì)量損失函數(shù)的均值—標(biāo)準(zhǔn)差經(jīng)濟(jì)性優(yōu)化模型為：

(20)

s.t．

1.3 經(jīng)濟(jì)性仿真分析

為實(shí)現(xiàn)本文提出的控制圖模型的經(jīng)濟(jì)性優(yōu)化，進(jìn)行控制圖的經(jīng)濟(jì)性仿真分析，要求運(yùn)用均值—標(biāo)準(zhǔn)差控制圖對(duì)過程進(jìn)行控制，并使單位時(shí)間的平均費(fèi)用最小。選擇最優(yōu)的一組數(shù)據(jù)：a1=1,a2=1,a3=30,a4=50,a5=100,δ=1.5,λ=1/40,H=1/30，S=1，A0=5,ο/Δ0=0.2,P=100，質(zhì)量損失系數(shù)k=1。運(yùn)用MATLAB仿真求解，得出均值—標(biāo)準(zhǔn)差控制圖經(jīng)濟(jì)性能分析結(jié)果，如表1所示。

為選用重要參數(shù)進(jìn)行分析計(jì)算，對(duì)所得參數(shù)進(jìn)行敏感性分析，搜尋出影響程度較高的參數(shù)，得出敏感性檢驗(yàn)結(jié)果，如表2所示。

表2 參數(shù)敏感性分析表

由表2可知：

(1)經(jīng)過控制變量法計(jì)算得出，參數(shù)a1～a5和λ對(duì)n值及最終結(jié)果影響較小，而σ，δ成比例的變化對(duì)最優(yōu)解的結(jié)果影響較大。將假設(shè)值σ=0.05，δ=0.5代入模型，計(jì)算得n=17；將σ=0.15，δ=1.5代入模型，計(jì)算得n=10，即n值明顯減小，從17變?yōu)?0；同時(shí)h值也明顯減小，從1.080變?yōu)?.865，k1～k4整體存在同趨變化。通過敏感性分析可知，只需確定σ，δ的精確值并計(jì)算出其他參數(shù)值，便能得出優(yōu)良的結(jié)果。例如，若采用傳統(tǒng)方法，每間隔1 h抽取5個(gè)樣本，畫在3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差為上下控制限的控制圖上，則其平均費(fèi)用為5.954元；若采用表1所示的經(jīng)濟(jì)控制方法 ，則每小時(shí)4.898元(n=5)；若采用最優(yōu)經(jīng)濟(jì)控制圖，則每小時(shí)僅4.578元(n=10)。因此，相比傳統(tǒng)控制圖的方法，本文所提方法表現(xiàn)出了較大的優(yōu)勢(shì)。

2 基于貝葉斯理論的均值—標(biāo)準(zhǔn)差控制圖

2.1 模型建立

π0(i)，π1(i)，π2(i)分別表示ht時(shí)刻，過程處于受控狀態(tài)、發(fā)生第一類和第二類錯(cuò)誤的后驗(yàn)概率，π0(i-1)，π1(i-1)，π2(i-1)為其對(duì)應(yīng)的先驗(yàn)概率。在時(shí)間ht-ht-1內(nèi)，通過對(duì)先驗(yàn)概率π0(i-1)，π1(i-1)，π2(i-1)進(jìn)行迭代來計(jì)算后驗(yàn)概率π0(i)，π1(i)，π2(i)，繼而計(jì)算出樣本均值yi。

設(shè)過程在ht-1時(shí)刻為受控狀態(tài)，從ht-1～ht時(shí)段，過程從受控變?yōu)槭Э貭顟B(tài)，則轉(zhuǎn)化為發(fā)生第一類錯(cuò)誤和第二類錯(cuò)誤的概率分別為：

(21)

(22)

過程在時(shí)間ht-1～ht處于受控的狀態(tài)為

a0(i)=1-a1(i)-a2(i)。

(23)

在ht時(shí)刻抽樣前，過程發(fā)生第一類錯(cuò)誤和第二類錯(cuò)誤的概率分別為a1(i)×π0(i-1)+π1(i-1)和a2(i)×π0(i-1)+π2(i-1)，取得樣本均值yi后，失控概率變?yōu)椋?/p>

(24)

(25)

式中z(yi,i)=g0(yi)×a0(i)×π0(i-1)+g1(yi)×(a1(i)×π0(i-1))+g2(yi)×(a2(i)×π0(i-1))。根據(jù)后驗(yàn)概率π1(i),π2(i)決定是否進(jìn)行故障診斷。若不檢查，則將后驗(yàn)概率轉(zhuǎn)化為下階段計(jì)算前的先驗(yàn)概率。若故障被檢出，則根據(jù)監(jiān)測(cè)結(jié)果調(diào)整后驗(yàn)概率?？梢?，只有使先驗(yàn)和后驗(yàn)概率持續(xù)迭代更新，才能保證貝葉斯控制圖的正常運(yùn)行。

2.2 貝葉斯迅速識(shí)別策略

為了提高監(jiān)控偏差的效率和靈敏度，在原有貝葉斯控制圖的基礎(chǔ)上，根據(jù)累積和(CUmulative Sum，CUSUM)控制圖和EWMA控制圖的迅速識(shí)別策略，通過改善參數(shù)和制定規(guī)則，提出如下貝葉斯控制圖迅速識(shí)別策略：

在ht時(shí)刻抽樣后，根據(jù)式(24)和式(25)計(jì)算出π1(i),π2(i),然后設(shè)置控制限q(0

(1)若π1(i)+π2(i)≥q，則根據(jù)π1(i)和π2(i)的關(guān)系進(jìn)行更新。若π1(i)>π2(i)，則檢查第一類錯(cuò)誤是否發(fā)生，根據(jù)結(jié)果更新π1(i)和π2(i)；若π1(i)<π2(i)，則檢查第二類錯(cuò)誤是否發(fā)生，根據(jù)結(jié)果更新π1(i)和π2(i)；若π1(i)=π2(i)，則同時(shí)檢查第一類錯(cuò)誤和第二類錯(cuò)誤發(fā)生的概率，根據(jù)結(jié)果更新π1(i)和π2(i)。

(2)若π1(i)+π2(i)

2.3 仿真分析

最優(yōu)標(biāo)準(zhǔn)差控制圖繪制于CL=0.865σ，UCL=1.721σ的控制圖上，最優(yōu)控制圖如圖3所示。然后設(shè)定并仿真貝葉斯迅速識(shí)別初始控制圖的初始控制限，以驗(yàn)證其識(shí)別效果。

(3)從圖4和圖5可見，當(dāng)q=0.2時(shí)，控制圖效率增值存在一個(gè)拐點(diǎn)，之后的效率增量逐漸降低，并逐漸趨于平穩(wěn)。

(4)從圖6可見，在偏移量遞增的情況下，基于經(jīng)濟(jì)性分析的貝葉斯迅速識(shí)別控制圖與傳統(tǒng)貝葉斯及休哈特控制圖的效率比率總體呈下降趨勢(shì)；在偏移量0-1階段，效率比率呈穩(wěn)定趨勢(shì)，偏移量1.0為一個(gè)節(jié)點(diǎn)，是經(jīng)濟(jì)性分析的貝葉斯迅速識(shí)別控制圖最佳效率的體現(xiàn)。隨著偏移量的繼續(xù)增加，效率比率逐漸收斂。

2.4 經(jīng)濟(jì)性貝葉斯控制圖與傳統(tǒng)經(jīng)濟(jì)性控制圖對(duì)比分析

控制圖的經(jīng)濟(jì)性設(shè)計(jì)主要研究如何選擇控制圖參數(shù)，使控制過程中的各種成本費(fèi)用的總和更小，而控制圖參數(shù)選擇主要是控制圖選定樣本容量n、抽樣時(shí)間間隔λ、抽樣區(qū)間h和控制限系數(shù)k等參數(shù)。生產(chǎn)過程受控時(shí)使用較大的TARL進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，失控時(shí)使用較小的TARL，以迅速地發(fā)現(xiàn)生產(chǎn)過程出現(xiàn)的偏移。以過程失控時(shí)的TARL作為性能評(píng)價(jià)指標(biāo)，將本文構(gòu)建的控制圖模型與傳統(tǒng)經(jīng)濟(jì)性控制圖進(jìn)行比較分析，運(yùn)用仿真法對(duì)優(yōu)化前后的貝葉斯控制圖進(jìn)行分析，主要步驟為:

3 結(jié)束語