許海娟

（安慶師范大學 數(shù)學與計算科學學院，安徽安慶246133）

數(shù)學分析、高等代數(shù)以及解析幾何是高等院校本科數(shù)學的專業(yè)基礎課程，其中解析幾何一般在一年級第一學期開設，它為數(shù)學分析中重積分、曲線積分、曲面積分以及高等代數(shù)中線性空間、二次型等知識的學習提供必不可少的基礎知識，同時將分析、代數(shù)中的抽象概念具象化。它的基本思想就是把空間幾何結(jié)構(gòu)代數(shù)化、數(shù)量化，從而使空間中點、線、面具有代數(shù)形式，即點有了坐標、曲線及曲面有了方程。當曲線、曲面有了方程以后，就可以進行后續(xù)的研究與定量計算[1]，如曲線長度與曲面面積、空間不規(guī)則立體體積、非均勻平面薄片質(zhì)量、非均勻物體的質(zhì)心與轉(zhuǎn)動慣量、變力沿曲線做功、流體流量的計算等等。

平面束是具有共同性質(zhì)的平面的集合，其中有軸平面束是最為常用的一類平面束，它方程的建立是平面這一章最核心的內(nèi)容[2]。平面束定理的證明本質(zhì)就是建立有軸平面束的方程，在文獻[3-5]中均給出了平面束定理的證明，它們的方法主要有向量法、矩陣法、待定系數(shù)法。本文主要從直線方程、平面方程本身出發(fā)，給出一種新穎的且更加清晰的證明方法，同時糾正文獻[3]中平面束定理證明方法的不完備之處和證明過程中的一處錯誤，最后探討平面束定理的教學注記，并指出文獻[3]和文獻[5]中運用平面束定理求異面直線距離存在的問題。

1 平面束定理

定義1[2]具有共同性質(zhì)的平面的集合叫做平面族。

定義2[2]通過一條定直線的平面族叫做有軸平面束。

定理[2]設兩平面：

相交于直線l，則通過l的平面束方程為

其中λ,μ為不全為零的任意實數(shù)。

分析 命題證明需要注意以下兩點：(i)方程(1)表示的所有平面都能通過直線l；

(ii)經(jīng)過直線l的任意平面的方程都能由(1)表示。

證明 (i)直線l的方程為

設P(x0,y0,z0)為直線l上任意一點，則

從而

因此點P在(1)式表示的所有平面上，又由點P的任意性知，整條直線l都在(1)式表示的所有平面上。

(ii)設π:Ax+By+Cz+D=0是過直線l的任意平面，它的法向量為n={A,B,C}，平面π1,π2的法向量分別為n1={A1,B1,C1}，n2={A2,B2,C2}，由于向量 n,n1,n2共面，n1,n2不共線，因此根據(jù)向量分解定理知：存在唯一一組實數(shù)λ,μ，且λ,μ不同時為零，使得：

則

將(3)式代入(1)式中，則平面π的方程變?yōu)?/p>

任取直線l上一點P(x0,y0,z0)，則P亦在平面π上，

將(5)式代入(6)式中，則有

將(7)式代入(4)式中，可得：

注1根據(jù)平面束的定義，平面束定理最本源的問題實際上是證明兩個集合相等，而文獻[3]中只證明其中一個包含關(guān)系，顯然是不夠完整的。本文采用了更加清晰、直接的方法證明了平面束定理，尤其是第二步（兩個包含關(guān)系之一）的證明相較于其他方法更簡單、易懂。

注2 文獻[3]在證明(2)式時，給出λ,μ是不全為零的任意實數(shù)這個結(jié)論顯然是錯誤的，盡管平面π是任意的，但是一旦平面π取定，根據(jù)向量分解唯一性定理，這里的參數(shù)λ,μ存在且唯一，并且被π1,π2的法向量唯一確定。

2 平面束定理的應用

平面作為最基本的曲面圖形在分析計算中經(jīng)常遇到，而平面束作為一類具有共同性質(zhì)的平面的集合具有很多良好的性質(zhì)，利用平面束的方程可以判定直線與平面的位置關(guān)系、計算點到直線距離、求直線在平面上的射影等等。同時，平面作為解析幾何、數(shù)學分析課程中最常遇到的圖形，它在其他方面的應用將在今后專業(yè)基礎課程教學中不斷呈現(xiàn)。這里通過3個例題來展示平面束定理在解析幾何上的應用。

例1判定直線l:

與 平 面 π:(A1+A2)x+(B1+B2)y+(C1+C2)z=0的位置關(guān)系。

解 設過l的平面束方程為λ(A1x+B1y+C1z)+μ(A2x+B2y+C2z)=0，即

(λA1+ μA2)x+(λB1+ μB2)y+(λC1+ μC2)z=0，這里，取λ=1，μ=1即是平面π的方程，因此直線l在平面π上。

例2 求直線l:

在平面π:x+y+z-1=0上的射影直線方程。

解 先求通過l且垂直于平面π的平面，設過l的平面束方程為

即

(2λ+μ)x+(λ+2μ)y-(2λ+ μ)z+(λ-2μ)=0，于 是 (2λ+μ)+(λ+2μ)-(2λ+μ)=0，所 以λ:μ=2:(-1)，因此所求射影直線方程為

解 點P(3,0,1)到直線l的距離就是它與平面束：λ(x-z+1)+μ(y-2)=0距離的最大值，這里 p0=3,q0=-2,a0=3,b0=4，n1={1,0,-1}，n2={0,1,0}，則有

3 教學注記

在講授有軸平面束定理過程中需要注意兩點：(1)有軸平面束的方程是含有兩個參數(shù)的，如果用含一個參數(shù)的方程，如(A1x+B1y+C1z+D1)+λ(A2x+B2y+C2z+D2)=0，在某些情況下會導致錯誤結(jié)果，因為不論λ取何值時，都將漏掉平面A2x+B2y+C2z+D2=0，而它恰恰應該在平面束中。(2)利用平面束定理去求點到直線的距離完全沒有問題，但是如果忽視了異面直線距離與點到直線距離的區(qū)別，往往會錯誤地運用平面束定理去求異面直線的距離，在文獻[3]中例2及文獻[5]中例3均出現(xiàn)了這個錯誤，這兩篇文獻都是在其中一條直線上取一個特殊點再去計算異面直線距離的，正是由于他們忽視了這樣取特殊點計算得到的距離是該點與第二條直線的距離，非這兩條異面直線的距離。另外，文獻[3]中給出的點到直線的距離公式也是錯誤的。因此在今后的教學過程中，須特別謹慎地處理這些問題，正確地運用好平面束定理。