董明曉,張 恩,梁立為,韓松君,楊傳寧

(山東建筑大學(xué) 機電工程學(xué)院,濟南 250101)

塔式起重機是通過變幅機構(gòu)的運動來完成貨物運輸工作過程,生產(chǎn)廠家為了提高起重機的工作效率,而不斷地提高起重機的額定運行速度和額定起重量.隨著這一參數(shù)的增加,機構(gòu)的運動可能引起起重機結(jié)構(gòu)更大的振動,振動產(chǎn)生的交變載荷降低了起重機的性能.目前,國內(nèi)外學(xué)者對起重機結(jié)構(gòu)振動進行了大量研究.Vlada等[1]采用有限元方法將貨物等效為移動共振器,分析了橋式起重機的動態(tài)響應(yīng);Jaafar等[2]基于Lagrange方程建立了門式起重機的非線性動力學(xué)方程,仿真分析了小車的運動特性和貨物的擺動特性;周磊[3]基于Euler-Bernoulli梁理論,分析了變幅小車位置對耦合振動系統(tǒng)固有頻率的影響規(guī)律;李心爽等[4]計算分析貨物和橋式起重機耦合振動系統(tǒng)的前3階固有頻率和動態(tài)響應(yīng).本文以小起升高度或附著式結(jié)構(gòu)的塔式起重機為研究對象,將起重機等效為懸臂梁,貨物、吊鉤和變幅小車等效為移動質(zhì)量,從而構(gòu)成了移動質(zhì)量-懸臂梁系統(tǒng),研究起重機變幅運動和起重量對起重臂振動特性的影響規(guī)律.

1 貨物-起重臂系統(tǒng)振動微分方程

對于小起升高度或附著式結(jié)構(gòu)的塔式起重機,塔身在外界干擾和貨物重力的作用下，產(chǎn)生的彎曲變形和扭轉(zhuǎn)變形相對于起重臂的彎曲變形較小,根據(jù)塔式起重機振動模態(tài)分析,變幅運動和起升運動主要激勵起重臂在鉛垂面內(nèi)振動[5].本文是研究變幅小車在運輸貨物過程中對起重臂振動特性的影響規(guī)律.因此,本文忽略塔身的變形,將起重機等效為懸臂梁,貨物、吊鉤和變幅小車等效為移動質(zhì)量,從而構(gòu)成了移動質(zhì)量-懸臂梁系統(tǒng),如圖1所示.以懸臂梁軸線方向為x軸,以垂直于懸臂梁軸線的方向為y軸,以懸臂梁的固定端點為坐標原點,建立xOy直角坐標系,ma為移動質(zhì)量的質(zhì)量,v為移動質(zhì)量的速度,xa為移動質(zhì)量在懸臂梁上的位置,L為懸臂梁的長度,E為懸臂梁的彈性模量,Ih為懸臂梁截面的等效慣性矩,m為懸臂梁的單位長度質(zhì)量,在t時刻懸臂梁上x處的撓度為y(x,t).

圖1 移動質(zhì)量-懸臂梁系統(tǒng)示意圖Fig.1 Schematic diagram of the moving mass and cantilever beam system

基于Euler-Bernoulli梁理論,不計梁的橫向剪切變形的影響和阻尼的作用,在外力F(x,t)的作用下,梁的振動微分方程[6]為

(1)

由于移動質(zhì)量沿著懸臂梁運動的同時,也隨著懸臂梁上下振動,所以在動力學(xué)方程中應(yīng)考慮移動質(zhì)量的慣性力.移動質(zhì)量對懸臂梁的作用力F(x,t)為

(2)

將式(2)代入式(1)中,得

(3)

移動質(zhì)量在x處沿著y方向的振動速度為

(4)

從式(4)中可以看出：右邊第1項為移動質(zhì)量沿著懸臂梁運動的速度在y方向上的分量；第2項為移動質(zhì)量隨著懸臂梁上下振動的速度.

對式(4)進一步求導(dǎo),可得移動質(zhì)量在x處沿著y方向的振動加速度,即

(5)

從式(5)中可以看出:右邊的第1項為移動質(zhì)量沿著懸臂梁運動的加速度在y方向上的分量;第2項為移動質(zhì)量隨著懸臂梁上下振動在y方向上的加速度;第3項為移動質(zhì)量在隨著懸臂梁上下振動產(chǎn)生的離心加速度;第4項為移動質(zhì)量在隨著懸臂梁上下振動的同時沿著懸臂梁運動產(chǎn)生的科氏加速度.如果移動質(zhì)量為勻速運動,則第1項為零.

將式(5)帶入式(3)中,將式(3)化為

(6)

由于懸臂梁的振動撓度y(x,t)對時間和空間是分離的,所以對式(6)采用分離變量法求解[7],令

(7)

式中:φi(t)為懸臂梁第i階振型函數(shù);qi(t)為懸臂梁第i階模態(tài)坐標函數(shù).

將式(7)帶入式(6)中,得

(8)

式中:用撇表示φi(x)對x求導(dǎo);用點表示qi(t)對時間t求導(dǎo).

(9)

式(9)為移動質(zhì)量-懸臂梁系統(tǒng)的振動微分方程,將式(9)寫成矩陣的形式,即

(10)

本文利用Matlab通過式(10)計算出每一階振動的模態(tài)坐標qi(t),將求得的每一階模態(tài)坐標qi(t)和每一階懸臂梁振型函數(shù)φi(x)代入式(7)中,可得到任意時刻懸臂梁上任意一點的撓度y(x,t).

2 起重臂截面慣性矩的等效

塔式起重機是由塔身、起重臂、平衡臂和底架等結(jié)構(gòu)組成,屬于格構(gòu)式結(jié)構(gòu).格構(gòu)式結(jié)構(gòu)的構(gòu)件數(shù)量較多,并且連接處的結(jié)構(gòu)復(fù)雜,起重臂的截面慣性矩難以計算.因此,本文將格構(gòu)式起重臂結(jié)構(gòu)等效為實腹式結(jié)構(gòu),計算起重臂截面的等效慣性矩.

將復(fù)雜的格構(gòu)式結(jié)構(gòu)等效為實腹式結(jié)構(gòu),通常是由實腹式結(jié)構(gòu)的歐拉臨界力方程進行等效.等效方法有2種:① 利用格構(gòu)式結(jié)構(gòu)某個截面的慣性矩,求解格構(gòu)式結(jié)構(gòu)的等效長度;② 在保證結(jié)構(gòu)整體幾何尺寸不變的情況下,計算結(jié)構(gòu)的等效慣性矩.第1種方法改變了結(jié)構(gòu)的整體尺寸,適用于一個構(gòu)件的計算分析,不適用于多個構(gòu)件組合結(jié)構(gòu)的計算分析.因此,本文采用等效慣性矩的方法將格構(gòu)式結(jié)構(gòu)等效為實腹式結(jié)構(gòu).

由文獻[8]可知,一般采用等效長細比的方法來計算等效慣性矩,將等效慣性矩表示為

(11)

式中:λh為等效長細比;μ為長度系數(shù);A為構(gòu)件橫截面所截各弦桿毛面積之和.

塔式起重機的起重臂結(jié)構(gòu)如圖2所示,起重臂的橫截面如圖3所示.h為上弦桿中心線到下弦桿中心線的垂直距離,b為兩個下弦桿中心線之間的距離,h2下弦桿的高度,b2下弦桿的寬度.

圖2 塔式起重機起重臂結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2 Schematic diagram of the structure of the tower crane jib

圖3 塔式起重機起重臂橫截面示意圖Fig.3 Schematic diagram of the cross section of the tower crane jib

由于起重臂為三肢格構(gòu)式結(jié)構(gòu),三肢格構(gòu)式結(jié)構(gòu)對z-z軸的等效長細比[8]為

(12)

式中:λ為長細比;A1為橫截面所截各腹桿的面積之和;θ為腹桿所在平面與y軸的夾角.

將式(12)代入式(11)中,得橫截面對z-z軸的等效慣性矩為

(13)

式中:I為各弦桿橫截面對z-z軸的慣性矩之和.

將塔式起重機的起重臂參數(shù)代入式(13)中,可求得格構(gòu)式起重臂結(jié)構(gòu)的等效慣性矩.

3 變幅運動對起重臂振動特性的影響

為了研究塔式起重機運行機構(gòu)的動力學(xué)特性,課題組將TCICES1.0型號的塔式起重機以1∶6的比例,設(shè)計制造了塔式起重機實驗臺.實驗臺采用Q345號鋼制造,彈性模量為2×1011Pa,起重臂長度為3.6 m,單位長度質(zhì)量為11 kg/m,貨物質(zhì)量為10 kg.

據(jù)式(13)計算起重臂截面對z-z軸的等效慣性矩為8.776×10-6m4;然后根據(jù)式(7)仿真計算變幅機構(gòu)的運動速度分別為0.5,1.0和2.0 m/s時起重臂端點的振動特性,振動曲線如圖4所示.

由圖4可知,變幅速度分別為0.5,1.0和2.0 m/s時,起重臂端點振動的曲線均趨向于一條曲線,因此,變幅速度對起重臂端點振動撓度的影響很小.

圖4 在不同變幅速度情況下起重臂 端點的振動曲線Fig.4 The vibration curve of the jib’s top with different moving speed

為了研究變幅速度對起重臂端點振動的振幅和頻率的影響規(guī)律,將圖4局部放大,圖5(a)表示變幅小車以不同的速度運動到起重臂0.200～0.206 m區(qū)間內(nèi),起重臂端點振動情況.從圖5(a)中可以計算出:變幅速度為0.5 m/s時,起重臂端點振動周期為0.003 23 s,振幅為1.39×10-7m;變幅速度為1.0 m/s時,起重臂端點振動周期為0.003 28 s,振幅為0.70×10-7m;變幅速度為2.0 m/s時,起重臂端點振動周期為0.003 3 s,振幅為0.60×10-7m.因此,隨著變幅速度的增大,起重臂端點處的振幅越來越小,振動周期越來越大.

為了研究變幅小車的運動位置對起重臂端點的振動幅值和頻率的影響規(guī)律,將圖4中變幅小車運動到起重臂1.800～1.806 m和3.500～3.506 m區(qū)間內(nèi)的圖像局部放大,如圖5(b)和圖5(c)所示.通過計算比較圖5(b)和圖5(c),貨物以0.5 m/s的速度運動到起重臂1.800～1.806 m區(qū)間內(nèi),起重臂端點振動周期為0.003 3 s,振幅為4.8×10-7m;貨物以相同速度運動到起重臂3.500～3.506 m區(qū)間內(nèi),起重臂端點振動周期為0.003 6 s,振幅為2.9×10-7m.因此,當變幅小車以恒定速度運動時,起重臂端點處的振動周期越來越大,振幅先增大后減小.

圖5 在不同變幅速度情況下起重臂 端點的振動曲線放大圖Fig.5 Enlargement of vibration curve of the jib’s top with different moving speed

4 起重量對起重臂振動特性的影響

為了研究起重量對起重臂端點振動特性的影響規(guī)律,分別仿真計算了在變幅小車以1.0 m/s的速度運輸10,20和30 kg的貨物的情況下,起重臂端點的振動響應(yīng),仿真曲線如圖6所示(其他參數(shù)同圖3).由圖6可以計算出:10 kg的貨物勻速運動到起重臂端點時,起重臂端點振動的撓度為0.867×10-3m;20 kg的貨物引起起重臂端點振動的撓度為1.734×10-3m;30 kg的貨物引起起重臂端點振動的撓度為2.601×10-3m.因此,隨著起重量的增大,起重臂端點振動的撓度越來越大.

為了研究起重量對起重臂端點振動幅值和頻率的影響規(guī)律,將圖6在0.200～0.216 m區(qū)間內(nèi)的圖像局部放大,如圖7所示.由圖7可以計算出：10 kg的貨物勻速運動到起重臂0.200～0.216 m區(qū)間內(nèi),起重臂端點的振動周期為0.003 28 s,振幅為0.7×10-7m;20 kg的貨物引起起重臂端點振動的周期為0.003 45 s,振幅為0.75×10-7m;30 kg的貨物引起起重臂端點振動的周期為0.0036 0 s,振幅為1.4×10-7m.因此,隨著起重量的增大,起重臂端點振動的周期越來越大,振幅越來越大.

圖6 在不同起重量的情況下起重臂端點的振動曲線Fig.6 The vibration curve of the jib’s top with different payload

圖7 在不同起重量的情況下起重臂 端點的振動曲線放大圖Fig.7 Enlargement of vibration curve of the jib’s top with different payload

5 結(jié)論

將小起升高度或附著式塔式起重機等效為建立移動質(zhì)量-懸臂梁系統(tǒng),基于Euler-Bernoulli梁理論建立塔式起重機振動微分方程,通過仿真研究變幅運動和起重量對起重臂端點振動特性的影響規(guī)律.仿真計算結(jié)果表明:隨著變幅速度的增大,起重臂端點處的振幅變小,振動周期變大,對起重臂端點的撓度影響很小;變幅小車以恒定速度運動時,起重臂端點的振動周期變大,振動幅值先增大后減小;起重臂端點振動的撓度、振幅和振動的周期隨起重量的增大而變大.