劉桂珍,于 影,龔偉勝,崔博林,田鑫磊,聞邦椿

(1.佳木斯大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,黑龍江 佳木斯 154007; 2.東北大學(xué) 機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院,沈陽(yáng) 110819)

裂紋故障是旋轉(zhuǎn)機(jī)械最常見(jiàn)的故障之一.伴隨大型旋轉(zhuǎn)機(jī)械向高速化發(fā)展,轉(zhuǎn)子系統(tǒng)作為其重要部件出現(xiàn)裂紋故障的頻率不斷增大.裂紋導(dǎo)致轉(zhuǎn)軸剛度減小并發(fā)生周期性變化,影響轉(zhuǎn)子運(yùn)行的穩(wěn)定性.作為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)后果最嚴(yán)重、最難以及時(shí)發(fā)現(xiàn)的故障,一旦裂紋擴(kuò)展到一定程度后,就會(huì)引發(fā)突發(fā)性的事故,造成巨大的損失[1-3].所以，研究大型旋轉(zhuǎn)機(jī)械裂紋轉(zhuǎn)子的動(dòng)力特性,提取轉(zhuǎn)子裂紋故障的特征信息，對(duì)設(shè)備安全預(yù)防具有重要的工程意義[4].

本文以裂紋故障為研究對(duì)象,利用拉格朗日方程建立了非穩(wěn)態(tài)油膜力作用下裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)故障的4質(zhì)量8自由度動(dòng)力學(xué)模型,應(yīng)用數(shù)值分析法,研究了當(dāng)偏心量變化作為唯一控制參數(shù)時(shí),裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng).通過(guò)提取該故障轉(zhuǎn)子的分岔圖、時(shí)域波形圖、幅值譜圖和Poincare截面等振動(dòng)信號(hào)的故障信息,對(duì)該系統(tǒng)響應(yīng)的非線性行為和故障機(jī)理進(jìn)行分析,所研究結(jié)果為大型旋轉(zhuǎn)機(jī)械的故障診斷和系統(tǒng)的安全運(yùn)行提供理論依據(jù).

1 力學(xué)模型與微分方程

1.1 拉格朗日方程描述

設(shè)有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系,受完整理想約束,具有N個(gè)自由度,其位置可由N個(gè)廣義坐標(biāo)方程來(lái)確定,則有

(1)

式中:T系統(tǒng)的動(dòng)能函數(shù);Qi為作用在系統(tǒng)上的廣義力;qi為系統(tǒng)獨(dú)立的廣義坐標(biāo);N為系統(tǒng)的總自由度個(gè)數(shù).

1.2 剛度影響系數(shù)的計(jì)算

設(shè)轉(zhuǎn)軸半徑為R、長(zhǎng)度為L(zhǎng)1的無(wú)質(zhì)量彈性圓軸,在轉(zhuǎn)軸中央有一深度為a的弓形橫向裂紋,如圖1所示.如果只考慮裂紋處彎矩的作用,根據(jù)斷裂力學(xué)理論,由于裂紋的存在將在裂紋局部產(chǎn)生附加角位移.設(shè)在η,ξ方向彎矩作用下的局部柔度系數(shù)分別為[5-6]

(2)

0.199[1-sin(πη)]4}/cos(πη/2h)

2.02(η/h)+0.37[1-sin(πη)]3}/

cos(πη/2h)

(3)

(4)

式中:LR為支承跨度與轉(zhuǎn)盤位置的無(wú)量綱系數(shù);v為泊松比.

1.3 非穩(wěn)態(tài)油膜力模型[7]

非線性油膜力模型采用短軸承假設(shè)下的Ca-pone非線性油膜力模型,該模型有較好的精度和收斂性.在短軸承油膜力假設(shè)條件下的無(wú)量綱雷諾方程為

圖1 裂紋截面示意圖Fig.1 Crack section of the rotor

圖2 柔度與無(wú)量綱裂紋深度關(guān)系Fig.2 Relation between flexibility and the crack deepness

(5)

由式(5)可得無(wú)量綱油膜壓力為

(6)

式中:D為軸承直徑.

無(wú)量綱非線性油膜力最終可以表示為

(7)

式中:

1.4 運(yùn)動(dòng)微分方程

圖3所示為轉(zhuǎn)子-定子-軸承系統(tǒng)中間軸上具有一橫向裂紋的力學(xué)模型,兩端由滑動(dòng)軸承支撐,兩軸承之間為一無(wú)質(zhì)量彈性轉(zhuǎn)軸,其轉(zhuǎn)軸半徑為R,長(zhǎng)度為L(zhǎng)1,轉(zhuǎn)軸中央有一對(duì)稱布置的圓盤,以及深度為a的弓形橫向裂紋.O1為轉(zhuǎn)子的幾何中心;Oc為轉(zhuǎn)子質(zhì)心;mi(i=1,2,3,4)分別為轉(zhuǎn)子、軸承、定子和轉(zhuǎn)軸在軸承處的半集中質(zhì)量,kg;ki(i=1,2,3)分別為轉(zhuǎn)軸、軸承支撐處和定子基礎(chǔ)的剛度系數(shù),N·m-1;ci(i=1,2,3)分別為轉(zhuǎn)軸、軸承支撐設(shè)轉(zhuǎn)盤在水平方向、垂直方向移動(dòng)的位移為x1,y1，左端軸承在水平方向、垂直方向移動(dòng)的位移為x2,y2，定子在水平方向、垂直方向移動(dòng)的位移為x3,y3，右端軸承座處水平方向、垂直方向移動(dòng)位移x4,y4.

處和基礎(chǔ)對(duì)定子的阻尼系數(shù),N·sm-1.

圖3 裂紋故障力學(xué)模型Fig.3 Mechanical model of crack fault

采用耗散能量形式的拉格朗日方程推導(dǎo)出對(duì)應(yīng)裂紋故障的轉(zhuǎn)子-定子-軸承系統(tǒng)的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程:

(8)

式中:xi,yi(i=1,2,3,4)分別為應(yīng)各質(zhì)量的位移坐標(biāo);e為軸頸偏心量,b為圓盤偏心量,mm;Fx,Fy分別為水平、鉛垂方向的油膜力,N.

2 數(shù)值模擬

運(yùn)用四階Runge-Kutta法對(duì)數(shù)值進(jìn)行求解.在計(jì)算中為了能夠較快地得到穩(wěn)定解,應(yīng)將步長(zhǎng)選得盡量小且周期足夠多.為了消除瞬態(tài)響應(yīng)的影響,舍棄前40個(gè)周期,計(jì)算軌跡圖時(shí)取后10～20個(gè)周期.選取系統(tǒng)參數(shù)如下:m1=4.0 kg,m2=32.1 kg,m3=50.0 kg,m4=20.0 kg;c1=1.05 kN·sm-1,c2=2.1 kN·sm-1,c3=2.1 kN·sm-1;k1=250 kN ·m-1,k2=250 kN·m-1,k3=25 000 kN·m-1,kr=1 000 kN·m-1;R=0.025 m;L=0.570 m;δ2=0.2 mm;η=0.018 MPa;R1=0.015 m;f=0.2;通過(guò)計(jì)算得出轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的三級(jí)固有頻率分別為f1=13.974 7 Hz,f2=43.586 4 Hz,f3=113.109 6 Hz.

圖4(a)和圖4(b)分別表示轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在激勵(lì)頻率ω=420 rad/s、裂紋初始相角β=π/2時(shí)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)響應(yīng)隨圓盤偏心量b變化的x,y方向變化的分岔圖.

圖4 系統(tǒng)響應(yīng)x，y隨圓盤偏心量b變化的分岔圖Fig.4 System response of x and y with the bifurcation diagram of the disc eccentricity b changing

圖4中:當(dāng)b=0.01 mm時(shí),系統(tǒng)響應(yīng)為周期運(yùn)動(dòng);當(dāng)b在區(qū)間(0.02,0.04)mm時(shí),系統(tǒng)經(jīng)周期運(yùn)動(dòng)演變?yōu)榛煦邕\(yùn)動(dòng);當(dāng)b在區(qū)間(0.05,0.06)mm時(shí),系統(tǒng)響應(yīng)為擬周期運(yùn)動(dòng);當(dāng)b在(0.06,0.07)mm時(shí),系統(tǒng)響應(yīng)為周期運(yùn)動(dòng).由圖4可知,偏心量的大小對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為有較大的影響.

圖5～圖8是激勵(lì)頻率ω=420 rad/s、裂紋初始相角β=π/2時(shí),對(duì)應(yīng)不同偏心量變化時(shí)的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)響應(yīng).

當(dāng)偏心量b=0.01 mm時(shí),Poincare截面為一孤立點(diǎn).幅值譜圖中在1/4倍頻、3/4倍頻和5/4倍頻等處出現(xiàn)離散譜峰;當(dāng)偏心量b=0.02～0.04 mm時(shí),Poincare截面為散點(diǎn)圖狀態(tài).幅值譜圖中在2/3倍頻、近1倍頻、近2倍頻以及近3倍頻等處出現(xiàn)離散譜峰;當(dāng)偏心量b=0.05～0.06 mm時(shí),Poincare截面有周期吸引子,幅值譜圖中在1/4倍頻、1倍頻和7/4倍頻等處出現(xiàn)離散譜峰;當(dāng)偏心量b=0.07 mm時(shí),Poincare截面呈一孤立點(diǎn).幅值譜圖中在1/3倍頻、1/2倍頻、2/3倍頻等處出現(xiàn)離散譜峰.其動(dòng)態(tài)響應(yīng)如圖5～圖8所示.

圖5 b=0.01 mm時(shí)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)響應(yīng)的時(shí)域圖、幅值譜圖和Poincare截面Fig.5 Time-domain graph, frequency spectrum and Poincare map when b=0.01 mm

圖6 b=0.04 mm時(shí)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)響應(yīng)的時(shí)域圖、幅值譜圖和Poincare截面Fig.6 Time-domain graph, frequency spectrum and Poincare map when b=0.04 mm

圖7 b=0.06 mm時(shí)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)響應(yīng)的時(shí)域圖、幅值譜圖和Poincare截面Fig.7 Time-domain graph, frequency spectrum and Poincare map when b=0.06 mm

圖8 b=0.07 mm時(shí)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)響應(yīng)的時(shí)域圖、幅值譜圖和Poincare截面Fig.8 Time-domain graph, frequency spectrum and Poincare map when b=0.07 mm

3 結(jié)論

對(duì)帶有裂紋故障轉(zhuǎn)子-定子-軸承系統(tǒng)在不同偏心量下的運(yùn)動(dòng)特性研究,得出以下結(jié)論:

(1) 偏心量大小對(duì)運(yùn)動(dòng)的影響主要體現(xiàn)在分岔和混沌的時(shí)間上,當(dāng)偏心量參數(shù)達(dá)到某一值時(shí),系統(tǒng)響應(yīng)不經(jīng)過(guò)一系列分岔,而是突然變?yōu)榉侵芷诨煦邕\(yùn)動(dòng),系統(tǒng)非線性變化的特點(diǎn)是分岔過(guò)程具有明顯的跳變現(xiàn)象;

(2) 裂紋的存在使轉(zhuǎn)軸剛度發(fā)生周期性變化,從而使轉(zhuǎn)子系統(tǒng)產(chǎn)生低頻激振現(xiàn)象;

(3) 隨著轉(zhuǎn)子偏心量的不同,系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性表現(xiàn)為上下波動(dòng),在一定偏心量的作用下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)表現(xiàn)出較強(qiáng)的穩(wěn)定性.