任恒峰,王清亮

(忻州師范學(xué)院 物理系,山西 忻州 034000)

0 引言

為了解決計算機中的能耗問題,產(chǎn)生了可逆計算機的概念,在此基礎(chǔ)上,物理學(xué)家提出了量子計算機理論,并進行了進一步的諸多研究[1-7]。相較于經(jīng)典計算機,量子計算機最重要的優(yōu)越性是量子并行計算,利用量子并行處理功能,可以使一些經(jīng)典計算機中只能進行指數(shù)算法的問題,在量子計算機中利用多項式算法就能處理,這說明量子并行算法大大提高了量子計算機的效率,可以完成經(jīng)典計算機無法完成的工作[8-10]。在經(jīng)典計算機中,邏輯門是實現(xiàn)基本邏輯運算的單元電路,復(fù)雜的邏輯運算可以借助邏輯門的功能來實現(xiàn)。與之相類似,在量子計算機中尤其是量子線路的計算模型中,量子邏輯門是一個基本的量子位元邏輯運算單元,因此研究量子邏輯門理論對于實現(xiàn)更為復(fù)雜的量子邏輯計算具有非常重要的基礎(chǔ)意義[11-13]。量子異或門是量子基本邏輯門之一,可以操控多輸入數(shù)位對于輸出的邏輯關(guān)系,因而從理論上研究量子異或門的實現(xiàn)是實現(xiàn)量子計算機必須要攻克的課題之一[14-15]。在本論文中,我們將結(jié)合量子硬幣博弈和量子邏輯門領(lǐng)域的相關(guān)理論,力求提供一套實現(xiàn)量子異或門的可行理論方案。

1 單硬幣量子博弈

首先回顧一下經(jīng)典博弈的過程[4-7]。A、B兩人做一經(jīng)典的硬幣游戲:A將一枚硬幣放進一個不可透視的盒子中,此時兩人都知道硬幣狀態(tài)(頭朝上或尾朝上);密封好后將盒子交給B,此后直到盒子打開之前,兩人都不知道硬幣的狀態(tài)。B搖晃盒子后交給A;A接到盒子后也將其晃動;再次交給B,B晃動后將盒子打開。起初可約定,假如人頭向上則A獲勝,否則B勝出。根據(jù)概率理論知識可知,兩人都有百分之五十的獲勝概率。

在量子博弈中,若B所選用的晃動均為量子操作,而A仍采取經(jīng)典晃動,那么B就完全可以根據(jù)自己的意愿采用量子策略來控制此游戲的勝負。

(1)A起初向盒子中投入的硬幣為人頭面朝上,即其初態(tài)可表示為|1〉;則其密度矩陣可表示為:

(1)

(2)

(3)A的經(jīng)典晃動將不會改變硬幣的密度矩陣,

(3)

通過以上的過程我們可以得出,B進行首次量子操作后其密度矩陣變成了G2,之后由于A采用的是經(jīng)典操作，此操作并不會使G2發(fā)生改變,那么B就可以采用合適的量子操作來控制游戲的勝負。

2 經(jīng)典異或門

經(jīng)典計算機從物理上可以描述為對輸入信號序列按一定算法進行變換的機器,其算法由計算機的內(nèi)部邏輯電路來實現(xiàn)[1-3]。在數(shù)字邏輯電路中,可以用1位二進制數(shù)碼0和1表示一個事物的兩種不同邏輯狀態(tài)。異或是這樣一種邏輯關(guān)系:當A、B不同時,輸出Y為1,而當A、B相同時輸出Y為0。只有當每一組輸入都不全是1時,輸出Y才是1。其真值表如表1所示。

表1 經(jīng)典異或門真值表

3 量子異或門的實現(xiàn)

3.1 量子異或門的定義

早在20世紀90年代,文獻已報道多種實現(xiàn)量子邏輯異或門的方案,比如忽略退相干而考慮冷離子集體量子化行為使離子相互耦合的離子阱方案[9],利用激光對分子的相關(guān)控制來實現(xiàn)邏輯異或功能的方案[10]等等。量子異或門的研究一直受到了物理學(xué)家的關(guān)注,近期,無論是在理論和實驗上關(guān)于此方面的研究均有了很大程度上的發(fā)展,尤其是實驗方面,利用激光束控制鈹離子實現(xiàn)了并行傳輸?shù)牧孔赢惢蜷T[11],利用納米尺度的Ge晶體管替代Si晶體管實現(xiàn)了量子異或邏輯功能[12]等等。在這些基礎(chǔ)上,我們將提出一種利用量子博弈模型實現(xiàn)量子異或門的可行理論方案。

首先,在定義量子異或門之前,我們做一個規(guī)定:

(4)

因而,在經(jīng)典異或運算的基礎(chǔ)上，我們定義的量子異或門就是要實現(xiàn):

(5)

其中箭頭表示量子異或邏輯操作。異或門的每一位信息與單個量子硬幣博弈有類似之處,由此可以用兩個單硬幣量子博弈游戲中的幺正操作來實現(xiàn)量子異或門。

3.2 量子異或門的具體實現(xiàn)

這里,由于量子異或門的輸入是兩個獨立態(tài)所組成的信息,因而可以將該邏輯功能與兩個單硬幣所組成的系統(tǒng)進行類比,利用單硬幣量子博弈理論實現(xiàn)量子邏輯功能。在此只需將兩個單硬幣組合起來即可,其中硬幣向上的態(tài)來表征|1〉,向下的態(tài)來表征|0〉。

3.3 實現(xiàn)量子異或門的量子系統(tǒng)

由于電子自旋具有的本征態(tài)數(shù)目與硬幣的可能狀態(tài)數(shù)均為兩個,我們可以借助兩相互獨立的電子自旋系統(tǒng)來充當單量子硬幣從而實現(xiàn)量子異或門。在實現(xiàn)量子信息傳輸?shù)闹T多方案中,具有經(jīng)過修正的Heisenberg XX模型的自旋鏈是一種獨具優(yōu)勢的方案,其哈密頓量具體形式為[13],

(6)

Fig.1 Realization of single-coin quantum game transformation圖1 單硬幣量子博弈的變換實現(xiàn)

(7)

其中μ0是電子自旋的回轉(zhuǎn)磁比率。當時間t分別取

(8)

時,體系的密度矩陣變?yōu)棣?=G2,表明上述磁場作用t1或t0時間后撤去,即是分別對ρ1=|1〉〈1|或ρ1=|0〉〈0|起到了U1的作用。

對于ρ2=G2而言,經(jīng)典的擾動不會改變最右端格點處電子自旋的狀態(tài),為了滿足量子異或門的要求,我們需要控制單硬幣最終的狀態(tài),此時只需給最右端格點處加上一個沿y方向同等大小的磁場,作用t1時間后撤去即可得到ρ1=|1〉〈1|,作用t0時間后撤去即可得到ρ1=|0〉〈0|,這里反方向同大小的磁場分別給最右端格點作用t1或t0時間即是起到了得到兩種末態(tài)的U2的作用。

4 結(jié)論

量子邏輯門是量子計算機的基本元件,量子邏輯功能的實現(xiàn)完全基于量子力學(xué)的基本原理。我們基于單量子硬幣博弈理論,將經(jīng)濟學(xué)中的博弈理論與量子信息中的邏輯門相結(jié)合,通過相關(guān)的幺正變換實現(xiàn)了量子異或邏輯功能,為量子異或門的實現(xiàn)提供了一套較為可行的理論方案。在我們所采取的方案中,根據(jù)量子博弈理論,經(jīng)典搖動不會改變量子操作的結(jié)果,因而表明我們的方案可以很好地避免經(jīng)典擾動的影響。值得一提的是,本文所提方案可用于解決多個輸入信號的量子異或邏輯功能問題。