丁黎黎，孫文霄，韓 夢，康旺霖

（1.中國海洋大學(xué)a.經(jīng)濟(jì)學(xué)院；b.海洋發(fā)展研究院，山東 青島266100;2.山東科技大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，山東青島266590）

0 引言

GDP為評價和衡量國家經(jīng)濟(jì)狀況、經(jīng)濟(jì)增長趨勢及社會財富的經(jīng)濟(jì)表現(xiàn)提供了一個最為綜合的尺度，它是影響經(jīng)濟(jì)生活乃至社會生活的最重要的經(jīng)濟(jì)指標(biāo)。目前，國內(nèi)外學(xué)者對于GDP的預(yù)測在學(xué)術(shù)研究方面取得較好的研究成果。在預(yù)測方法選擇方面，國內(nèi)學(xué)者多采用時間序列ARIMA模型、灰色GM（1,1）模型、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等方法[1]，但這些方法都無法利用高頻數(shù)據(jù)攜帶的有效信息直接對低頻GDP數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測，這就體現(xiàn)了MIDAS模型的優(yōu)勢，目前國內(nèi)外關(guān)于MIDAS模型在宏觀經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的應(yīng)用還不多見[2-7]。在解釋變量的選擇方面，很多學(xué)者都證明PMI對GDP有著很好的預(yù)測作用[8-11]。但是在證明兩者之間關(guān)系的基礎(chǔ)上，很少有學(xué)者選取PMI指標(biāo)運(yùn)用MIDAS模型對GDP進(jìn)行預(yù)測。

本文針對現(xiàn)有研究的不足，基于PMI指數(shù)采用MIDAS模型對GDP增長率預(yù)測問題進(jìn)行了研究。本文的創(chuàng)新之處為：第一，將MIDAS模型引入到對GDP預(yù)測中，充分利用高頻數(shù)據(jù)攜帶的有效信息，對比其他模型預(yù)測精度更高；第二，將PMI指數(shù)作為解釋變量對GDP進(jìn)行預(yù)測，充分利用PMI指數(shù)的先導(dǎo)性。

1 模型構(gòu)建、變量選取和數(shù)據(jù)說明

1.1 MIDAS模型構(gòu)建

混頻數(shù)據(jù)抽樣模型（MIDAS）最早由Ghysels等（2004）[12]

其中，m是高頻率數(shù)據(jù)和低頻率數(shù)據(jù)的頻率倍差，本文中GDP是季度數(shù)據(jù)，PMI是月度數(shù)據(jù)，因此m=3；W（L1m，θ）是多項(xiàng)式權(quán)重，L1m是滯后因子。提出，該模型源于分布滯后模型的思想，允許模型兩邊的解釋變量和被解釋變量具有不同的頻率，是用高頻率數(shù)據(jù)來解釋、預(yù)測低頻率數(shù)據(jù)的一種模型。

1.1.1 單變量MIDAS模型

單變量MIDAS模型只考慮一種解釋變量對被解釋變量的影響，研究兩者之間的動態(tài)關(guān)系。本文涉及的單變量MIDAS模型主要有以下幾種：

（1）基礎(chǔ)MIDAS（m,K）模型

MIDAS（m,K）模型通過多項(xiàng)式權(quán)重函數(shù)直接利用高頻解釋變量數(shù)據(jù)和低頻被解釋變量數(shù)據(jù)構(gòu)建模型，GDP預(yù)測的MIDAS模型可以表示為：

其中，K為高頻解釋變量的最大滯后階數(shù)，k=0表示第3個月的PMI指數(shù)，k=1表示第2個月的PMI指數(shù)以此類推。

（2）向前 h 步的混頻數(shù)據(jù)抽樣模型 （MIDAS（m,K,h））

MIDAS（m,K,h）與基礎(chǔ)混頻數(shù)據(jù)抽樣模型和傳統(tǒng)的同頻預(yù)測模型相比，具有可以對GDP季度數(shù)據(jù)實(shí)時預(yù)報和修正的優(yōu)點(diǎn)。一般來說，傳統(tǒng)的同頻預(yù)測模型在預(yù)測季度數(shù)據(jù)時，使用的都是季度數(shù)據(jù)，而實(shí)時季度數(shù)據(jù)的獲取具有一定的時滯性，MIDAS（m,K,h）可以充分利用已更新的月度數(shù)據(jù)來對季度數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)時預(yù)測，并不斷地更新和修正預(yù)測的結(jié)果。當(dāng)h=1，即向前1步混頻數(shù)據(jù)抽樣模型，用第t季度前2個月度及之前的數(shù)據(jù)來預(yù)測第t季度的季度數(shù)據(jù)，當(dāng)h＞3時，即可以對季度外數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測，因此該模型不僅可以進(jìn)行樣本內(nèi)預(yù)測，還可以進(jìn)行樣本外預(yù)測。

其中，m是高頻率和低頻率數(shù)據(jù)的頻率倍差；W（L1m，θ）是多項(xiàng)式權(quán)重，L1m是滯后因子。

（3）非限制混頻數(shù)據(jù)抽樣模型（U-MIDAS（m，K））

非限制混頻數(shù)據(jù)抽樣模型沒有基礎(chǔ)模型中的多項(xiàng)式權(quán)重的限制，其模型可以表示為：

其中：

（4）自回歸單變量混頻數(shù)據(jù)抽樣模型（AR（P）-MIDAS（m,K ））

自回歸單變量混頻數(shù)據(jù)抽樣模型在基礎(chǔ)混頻數(shù)據(jù)抽樣模型的基礎(chǔ)上考慮了之前其GDP增長率對當(dāng)期的影響，即考慮了GDP增長率自身之間的動態(tài)效應(yīng)。其模型表達(dá)式為：

其中，P為GDP增長率的滯后階數(shù)。

1.1.2 多項(xiàng)式權(quán)重的選取

混頻數(shù)據(jù)抽樣模型中最常用的多項(xiàng)式權(quán)重有貝塔密度函數(shù)和阿爾蒙指數(shù)權(quán)重函數(shù)。

（1）貝塔密度函數(shù)（Beta）

其中：

Beta 函數(shù)根據(jù) θ1，θ2，θ3取值的不同可分為 Beta 權(quán)重函數(shù)和Beta-Non-Zero權(quán)重函數(shù)。

①Beta權(quán)重函數(shù)

當(dāng)θ3=0時，貝塔密度函數(shù)為Belta權(quán)重函數(shù)，其表達(dá)式如下所示：

②Beta-Non-Zero權(quán)重函數(shù)

當(dāng)θ1=1時，貝塔密度函數(shù)為Belta-Non-Zero權(quán)重函數(shù)，其表達(dá)式為：

（2）阿爾蒙指數(shù)權(quán)重函數(shù)（ExpAlmon）

1.2 變量選取與數(shù)據(jù)來源

本文選取季度GDP為被解釋變量，研究季度GDP與PMI指數(shù)之間的關(guān)系并實(shí)現(xiàn)GDP的短期預(yù)測。PMI來源于國家統(tǒng)計局、中國采購和物流聯(lián)合會，本文使用的是2005.1至2017.8期間的月度數(shù)據(jù)。GDP也是來自于國家統(tǒng)計局，由于考慮到PMI指數(shù)本身是相對數(shù)，所以采用GDP增長率指標(biāo)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測，同樣選取2005—2017年期間的季度數(shù)據(jù)。本文以月度PMI指數(shù)和實(shí)際季度GDP的增長率為研究對象，其計算公式為：

其中，growthit表示指標(biāo)i在t時期的增長率，i在本文中指實(shí)際季度GDP?；祛l數(shù)據(jù)增長率的變化趨勢如圖1所示。

圖1混頻數(shù)據(jù)增長率趨勢圖

由圖1可知，在研究樣本期間，PMI指數(shù)和實(shí)際GDP增長率整體隨著時間的推移具有相同的變化趨勢。2005—2012年期間兩者均波動范圍較大，PMI指數(shù)的增長率在（-9,13）之間波動，GDP增長率在（-2.7,13）之間波動。而在2012年以后，兩者波動范圍變小，PMI指數(shù)增長率在（3.5,6.7）之間波動，GDP增長率在（0.4，7）之間波動。因此，PMI指數(shù)與GDP增長率之間的波動范圍和波動趨勢均具有一致性。

2 實(shí)證結(jié)果及分析

2.1 MIDAS模型預(yù)測結(jié)果分析

本文首先根據(jù)MIDAS模型的樣本內(nèi)預(yù)測精度確定出月度PMI指數(shù)和季度GDP增長率的最優(yōu)滯后階數(shù)和最優(yōu)參數(shù)估計。本文以2005年第一季度到2017年第二季度GDP數(shù)據(jù)和2005年1月份到2017年8月份的PMI數(shù)據(jù)為模型估計樣本，在此基礎(chǔ)上對2015—2017年的GDP數(shù)據(jù)進(jìn)行樣本內(nèi)預(yù)測。在分析過程中，本文選取最為常用的五種多項(xiàng)式權(quán)重：Beta權(quán)重函數(shù)、Beta-Non-Zero權(quán)重函數(shù)、阿爾蒙權(quán)重函數(shù)（Almon）、阿爾蒙指數(shù)權(quán)重函數(shù)（Ex-pAlmon）和步函數(shù)（Stepfun），以均方根誤差RMSE指標(biāo)作為模型的樣本內(nèi)預(yù)測精度，結(jié)合擬合優(yōu)度R2和AIC指標(biāo)確定最優(yōu)的MIDAS模型。

在下文的分析中，高頻PMI指數(shù)的滯后階數(shù)由1階變化至23階，低頻GDP增長率的滯后階數(shù)由0階變化至4階。5種參數(shù)權(quán)重和具有不同GDP增長率滯后階數(shù)的MIDAS模型組合共形成30種混頻數(shù)據(jù)抽樣模型，本文選取該30種模型模擬高頻月度PMI指數(shù)對季度GDP增長率的影響效應(yīng)。在進(jìn)行參數(shù)估計時，以均方根誤差RMSE最小原則為主、AIC最小和擬合優(yōu)度R2最大原則為輔，確定最優(yōu)權(quán)重函數(shù)形式及高頻PMI指數(shù)和低頻GDP增長率的最優(yōu)滯后階數(shù)。隨著階數(shù)的變動，30種混頻數(shù)據(jù)模型的樣本內(nèi)預(yù)測結(jié)果如表1所示。由于篇幅的限制，本文只列出了一些具有代表性滯后階數(shù)的混頻數(shù)據(jù)抽樣模型的預(yù)測精度。30種混頻數(shù)據(jù)抽樣模型隨著高頻PMI指數(shù)滯后階數(shù)的變動，其樣本內(nèi)預(yù)測精度也在不斷變化。當(dāng)高頻PMI指數(shù)滯后階數(shù)為9階、GDP增長率滯后階數(shù)為4階時，U-AR（4）-MIDAS（3,9）模型的 RMSE 值為 5.585，在 30 種混頻數(shù)據(jù)抽樣模型中是最小的。該模型的權(quán)重函數(shù)如圖2所示。

由圖2 可知，U-AR（4）-MIDAS（3,9）模型的多項(xiàng)式權(quán)重在（-0.3,0.3）范圍內(nèi)波動，每月份權(quán)重不一，可見該模型多項(xiàng)式權(quán)重的變化具有合理性，同時表明月度PMI指數(shù)對GDP增長率具有正負(fù)兩種效應(yīng)，正效應(yīng)更為明顯，并且這種效應(yīng)會持續(xù)9個月。此模型的擬合度也較好，高達(dá)0.961。因此，本文認(rèn)為 U-AR（4）-MIDAS（3,9）模型在模擬高頻月度PMI指數(shù)和低頻GDP增長率之間關(guān)系時更具有合理性。U-AR（4）-MIDAS（3,9）模型在不同 GDP 滯后階數(shù)下的均方根誤差RMSE和多項(xiàng)式權(quán)重分別如圖3（a）和圖3（b）所示。

表1 不同混頻模型樣本內(nèi)預(yù)測結(jié)果分析

圖2 MIDAS模型權(quán)重變化趨勢圖

圖3 U-AR（4）-MIDAS（3,K）模型RMSE和多項(xiàng)式權(quán)重變化趨勢圖

通過對30種混頻數(shù)據(jù)抽樣模型進(jìn)行比較確定出 U-AR（4）-MIDAS（3,9）模型的擬合精度具有比較優(yōu)勢，該模型的參數(shù)估計結(jié)果見下頁表2。

表2的估計結(jié)果表明GDP增長率會受自身4年內(nèi)變化的影響，其影響因子分別為-0.308、-0.305、-0.331、0.634。向前 1個季度、2個季度和3個季度的GDP增長率對當(dāng)季GDP增長率具有負(fù)向影響，其影響因子分別為-0.308、-0.305、-0.331，即隨著向前1個季度、向前2個季度和向前3個季度GDP增速放緩，當(dāng)季GDP增長率反而會有一定程度的增加，向前四個季度的GDP增長率對當(dāng)季度GDP量增長率具有正向影響，其影響因子為0.634，即隨著向前4季度的GDP增長率的增加，當(dāng)季度的GDP增長率也會有一定程度的增加。這意味著向前4個季度內(nèi)GDP的絕對額增加，就會引起當(dāng)季度GDP絕對額的增加；月度PMI指數(shù)對季度GDP增長率的影響也具有正負(fù)兩個方向，且這種影響會持續(xù)9個月。

表2 U-AR（4）-MIDAS（3,19）模型參數(shù)估計結(jié)果

2.2 MIDAS模型與基準(zhǔn)模型結(jié)果比較分析

基準(zhǔn)模型是用來比較分析本文所構(gòu)建的U-AR（4）-MIDAS（3,19）模型預(yù)測優(yōu)劣的一些簡單的宏觀經(jīng)濟(jì)預(yù)測模型，本文主要采用PDL、ADL、AR、MA、ARMA這5種模型作為基準(zhǔn)模型?；鶞?zhǔn)模型在預(yù)測的過程中均采用同頻率的低頻數(shù)據(jù)，即只能運(yùn)用樣本區(qū)間內(nèi)（2005—2017年）的季度PMI指數(shù)和GDP增長率來進(jìn)行預(yù)測。同樣選擇2007年第二季度至2015第二季度數(shù)據(jù)進(jìn)行樣本內(nèi)估計，然后對2015年第三季度至2017第二季度GDP增長率進(jìn)行樣本內(nèi)預(yù)測。U-AR（4）-MIDAS（3,9）模型與基準(zhǔn)模型的優(yōu)劣性比較是通過其RMSE比值和擬合優(yōu)度比值實(shí)現(xiàn)的，如 RMSEPDL表示U-AR（4）-MIDAS（3,9）模型與相應(yīng)的基準(zhǔn)模型PDL的RMSE的比值，若該比值小于1，則說明U-AR（4）-MIDAS（3,9）模型的預(yù)測精度要高于基準(zhǔn)模型PDL的預(yù)測精度。表示U-AR（4）-MIDAS（3,9）模型與相應(yīng)的基準(zhǔn)模型PDL的擬合優(yōu)度比值，若該比值大于1，則說明U-AR（4）-MIDAS（3,9）模型的擬合優(yōu)度要高于基準(zhǔn)模型PDL的擬合優(yōu)度。6種基準(zhǔn)模型對2016-2017年GDP增長率預(yù)測的RMSE值、擬合優(yōu)度及U-AR（4）-MIDAS（3,9）模型與基準(zhǔn)模型的RMSE比值和擬合優(yōu)度比值如表3所示。）

表3 U-AR（4）-MIDAS（3,9）模型與基準(zhǔn)模型對比分析表

由表3 可知，U-AR（4）-MIDAS（3,9）模型的擬合優(yōu)度要高于基準(zhǔn)模型的擬合優(yōu)度且 U-AR（4）-MIDAS（3,9）模型的RMSE值要小于基準(zhǔn)模型的RMSE值，即U-AR（4）-MIDAS（3,9）模型對GDP增長率的預(yù)測比5種基準(zhǔn)模型都要準(zhǔn)確。

2.3 向前h步MIDAS模型短期預(yù)測結(jié)果

在上文分析的基礎(chǔ)上，本文構(gòu)建的U-AR（4）-MIDAS（3,9）模型對GDP增長率的樣本內(nèi)預(yù)測精度具有比較優(yōu)勢，但是該模型并不能對樣本外的GDP增長率進(jìn)行預(yù)測。因此，本文在U-AR（4）-MIDAS（3,19）模型的基礎(chǔ)上構(gòu)建向前h步MIDAS模型U-AR（4）-MIDAS（3,9,h），該模型不僅可以進(jìn)行樣本外預(yù)測，還可以及時運(yùn)用最新公布的月度PMI指數(shù)數(shù)據(jù)對GDP增長率進(jìn)行實(shí)時報道，并對GDP增長率不斷進(jìn)行更新和修正。當(dāng)h=0時，運(yùn)用本季度3個月及之前的PMI指數(shù)對GDP增長率進(jìn)行預(yù)測；當(dāng)h=1時，運(yùn)用本季度前2個月及之前的PMI指數(shù)對GDP增長率進(jìn)行預(yù)測。因此，當(dāng)h＞3時便可以對樣本外的GDP增長率進(jìn)行預(yù)測。U-AR（4）-MIDAS（3,9）模型在不同向前步數(shù)情況下的RMSE值和多項(xiàng)式權(quán)重變化趨勢分別如圖4（a）和圖4（b）所示。

圖4 U-AR（4）-MIDAS（3,9,h）模型RMSE和多項(xiàng)式權(quán)重變化趨勢圖

由圖4可知，當(dāng)h=4時，即U-AR（4）-MIDAS（3,9,4）模型的預(yù)測精度最好，其RMSE值為5.068。當(dāng)h超過4最低點(diǎn)時，會呈現(xiàn)跳躍式增長的趨勢，即隨著h的增大，對GDP進(jìn)行增長率預(yù)測時，預(yù)測精度會不斷下降。這意味著在進(jìn)行GDP走勢預(yù)測時，運(yùn)用最新的PMI指數(shù)數(shù)據(jù)會提高模型的預(yù)測精度，且GDP主要受最近幾年P(guān)MI指數(shù)數(shù)據(jù)的影響，隨著時間的向前推移，PMI指數(shù)對GDP增長率的影響逐漸下降。U-AR（4）-MIDAS（3,9,h）模型適合進(jìn)行短期預(yù)測，該模型對GDP增長率的短期預(yù)測結(jié)果如表4所示。

表4 U-AR（4）-MIDAS（3,9,h）模型短期預(yù)測結(jié)果

表4選取滯后9階高頻PMI指數(shù)，向前1～8步的自回歸非限制混頻數(shù)據(jù)抽樣模型，運(yùn)用最新公布的2017年第三個季度七八月份的PMI指數(shù)數(shù)據(jù)，對2017年第三季度的實(shí)際GDP增長率數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測。以U-AR（4）-MIDAS（3,9,4）模型的預(yù)測結(jié)果為例，該預(yù)測結(jié)果顯示2017年第三季度較第二季度GDP增長率約為3.97%，即2017年第三季度實(shí)際GDP約為199633.8367億元。以U-AR（4）-MIDAS（3,9,8）模型的預(yù)測結(jié)果為例，該預(yù)測結(jié)果顯示2017年第三季度GDP較第二季度增長率約為4.16%，即2017年第三季度實(shí)際GDP約為172985.71億元，2017年第三季度GDP約為199998.6576億元。

3 結(jié)論

本文構(gòu)建混頻數(shù)據(jù)抽樣模型（MIDAS），選取2007年6月至2015年6月的GDP增長率數(shù)據(jù)和相應(yīng)的月度PMI指數(shù)數(shù)據(jù)對模型進(jìn)行估計，并對2015第三季度到2017年第二季度的GDP增長率進(jìn)行樣本內(nèi)預(yù)測，通過比較不同混頻數(shù)據(jù)模型的樣本內(nèi)預(yù)測精度，確定自回歸非限制性混頻數(shù)據(jù)抽樣模型（U-AR（4）-MIDAS（3,9）的預(yù)測精度具有比較優(yōu)勢且優(yōu)于PDL、ADL、AR、MA、ARMA 這5種基準(zhǔn)模型。在此基礎(chǔ)上構(gòu)建向前h步自回歸非限制性混頻數(shù)據(jù)抽樣模型（U-AR（4）-MIDAS（3,9,h），利用最新公布的月度PMI指數(shù)數(shù)據(jù)對GDP增長率進(jìn)行實(shí)時預(yù)測和修正。綜合以上分析，本文主要得出以下結(jié)論：第一，對GDP增長率預(yù)測具有比較優(yōu)勢的U-AR（4）-MIDAS（3,9）模型的估計結(jié)果顯示高頻PMI指數(shù)每一滯后期均具有較高的估計系數(shù)，這表明混頻數(shù)據(jù)抽樣模型可以充分利用高頻數(shù)據(jù)攜帶的有效信息。第二，U-AR（4）-MIDAS（3,9）模型估計結(jié)果表明高頻月度PMI指數(shù)對GDP增長率具有較強(qiáng)的解釋能力，并且其對GDP的影響會持續(xù)9個月，GDP自身之間也存在著相互影響，這種影響會持續(xù)4個季度之久。第三，U-AR（4）-MIDAS（3,K,h）利用最新公布的2017年第三季度前兩個月的PMI指數(shù)數(shù)據(jù)對第三季度GDP增長率進(jìn)行短期預(yù)測，預(yù)測結(jié)果顯示第三季度GDP的環(huán)比增長率比以往年度第三季度的環(huán)比增長率有所偏低。