杜妍辰， 王 彬

(上海理工大學(xué) 醫(yī)療器械與食品學(xué)院，上海 200093)

碰撞阻尼屬于振動(dòng)的被動(dòng)控制技術(shù)，它利用振動(dòng)過程中自由質(zhì)量(沖擊器)與主系統(tǒng)的碰撞來控制主系統(tǒng)的響應(yīng)。碰撞阻尼器構(gòu)造簡(jiǎn)單、成本低廉、易于實(shí)施、無需外電源、適合在惡劣環(huán)境下使用并且減振效果良好。關(guān)于碰撞阻尼的研究在最近得到了迅猛的發(fā)展，目前有代表性的碰撞阻尼包括：?jiǎn)误w碰撞阻尼[1-4]、豆包碰撞阻尼[5]、多體碰撞阻尼[6]、顆粒碰撞阻尼[7-13]、非阻塞性顆粒碰撞阻尼(Non Obstructive Particlc Damper, NOPD)[14-15]、帶顆粒減振劑的碰撞阻尼[16-20]等。

雖然碰撞阻尼器種類繁多，但他們之間存在著共性。從減振機(jī)理上看，主要的原理是動(dòng)量交換和碰撞耗能機(jī)理；從理論研究方法上看，大部分沿用或借鑒了單體碰撞阻尼的模型，因此，單體碰撞阻尼是這一領(lǐng)域研究的基礎(chǔ)模型。現(xiàn)有的關(guān)于單體碰撞阻尼的研究成果認(rèn)為：每周期兩次對(duì)稱碰撞是碰撞阻尼器中典型的和具有較好減振性能的運(yùn)動(dòng)模式；但這種好的減振效果只在共振點(diǎn)附近出現(xiàn)，遠(yuǎn)離共振點(diǎn)的地方，則效果不好甚至出現(xiàn)放大的情況。因此，當(dāng)使用頻率位于一段頻率范圍內(nèi)而非僅在共振點(diǎn)附近時(shí)，現(xiàn)有的理論分析認(rèn)為每周期兩次對(duì)稱碰撞所取得的減振效果并不理想。作者通過實(shí)驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)恢復(fù)系數(shù)較低時(shí)，碰撞阻尼器頻率適應(yīng)范圍寬，即在很大的一段頻率范圍內(nèi)均有較好的表現(xiàn)，這與以往關(guān)于單體碰撞阻尼的理論研究結(jié)論有較大的差別。通過數(shù)值模擬考察其運(yùn)動(dòng)模式，發(fā)現(xiàn)在減振效果較好的運(yùn)動(dòng)軌跡中，存在顫振和黏滯的現(xiàn)象，即顫振和黏滯有可能是碰撞阻尼器取得良好減振效果的新的有效的途徑。所謂顫振，是指自由質(zhì)量在短時(shí)間內(nèi)與主系統(tǒng)之間發(fā)生很多次甚至無窮次碰撞的情況。所謂黏滯，是指自由質(zhì)量與主系統(tǒng)同步運(yùn)動(dòng)的情況。關(guān)于碰撞阻尼器中的顫振研究，目前還沒有任何報(bào)導(dǎo)。

在兩種情況下，顫振可以直接轉(zhuǎn)化為黏滯，一種是恢復(fù)系數(shù)為零的情況，此時(shí)，沒有顫振，碰撞后直接產(chǎn)生黏滯；另一種為顫振結(jié)束后自由質(zhì)量與主系統(tǒng)相對(duì)運(yùn)動(dòng)為零，產(chǎn)生了黏滯，這種顫振稱為“完全顫振”，而顫振結(jié)束后自由質(zhì)量與主系統(tǒng)相對(duì)速度不為零，則不會(huì)產(chǎn)生黏滯，這種顫振稱為“不完全顫振”。國(guó)際上，關(guān)于顫振方面的研究是從Budd等[21]和Toulemonde等[22]以及Wagg等[23]開始的，重點(diǎn)是對(duì)擦邊分岔及引發(fā)的運(yùn)動(dòng)周期和碰撞次數(shù)的變化以及多峰值等現(xiàn)象做了研究。其他關(guān)于碰撞顫振的報(bào)道還非常有限，H?s等[24]研究了由擦邊引起的減壓閥與底座間的自激振動(dòng)，發(fā)現(xiàn)低的流速會(huì)引發(fā)顫振，閥門預(yù)緊力是引發(fā)顫振的另外一個(gè)因素；Demeio等[25]研究了倒立擺碰撞中顫振持續(xù)時(shí)間的近似計(jì)算方法，研究表明，顫振持續(xù)時(shí)間主要與振幅相關(guān)，與激振頻率和阻尼比關(guān)系不大；Singh等[26]研究了雙擺碰撞問題、Davis等[27]研究了一個(gè)擺與旋轉(zhuǎn)的障礙(moving obstacle)之間的碰撞，Wagg等[28]研究了一根懸臂梁與一個(gè)剛性障礙的碰撞，在這些不同類型的碰撞過程中，均發(fā)現(xiàn)了顫振和黏滯運(yùn)動(dòng)。目前關(guān)于顫振和黏滯的研究，均未涉及到阻尼器，還沒有發(fā)現(xiàn)關(guān)于碰撞阻尼器中顫振方面的報(bào)道。一方面，這些系統(tǒng)大多有固定的約束，其振幅已被限定在一定的范圍內(nèi)，另一方面，關(guān)于碰撞阻尼器的研究大多關(guān)注每周期兩次的對(duì)稱碰撞，幾乎都沒有涉及到顫振。由于碰撞阻尼器中的約束是一個(gè)自由質(zhì)量，其位置并不固定，因此，關(guān)于碰撞阻尼器中的顫振研究與現(xiàn)有的研究會(huì)有較大的不同。

本文以經(jīng)典的碰撞阻尼器為模型，分別通過理論推導(dǎo)和數(shù)值模擬驗(yàn)證兩個(gè)方面對(duì)系統(tǒng)的顫振行為進(jìn)行研究，確定了系統(tǒng)的顫振持續(xù)時(shí)間和顫振完成點(diǎn)，對(duì)不同參數(shù)條件對(duì)顫振行為的影響進(jìn)行了研究。

1 系統(tǒng)力學(xué)模型及運(yùn)動(dòng)微分方程

以經(jīng)典的碰撞阻尼減振器為模型，研究碰撞阻尼減振系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為。系統(tǒng)的簡(jiǎn)化動(dòng)力學(xué)模型如圖1所示。

圖1 碰撞阻尼器模型示意圖Fig.1 A model for Impact damper

圖1是多體碰撞阻尼器的簡(jiǎn)化力學(xué)模型，其中的自由質(zhì)量以m(t)來表示，主系統(tǒng)由主質(zhì)量M，彈簧剛度K1及阻尼C1組成，在外加激振力F0sin(Ωt)的作用下產(chǎn)生振動(dòng)。自由質(zhì)量m(t)置于主系統(tǒng)M內(nèi)部，在振動(dòng)過程中自由質(zhì)量只在主系統(tǒng)M內(nèi)部做水平方向的運(yùn)動(dòng)，且當(dāng)自由質(zhì)量m(t)與主系統(tǒng)M的相對(duì)位移為D時(shí)，二者發(fā)生碰撞，然后以新的速度反方向運(yùn)動(dòng)，如此反復(fù)碰撞，通過動(dòng)量交換使系統(tǒng)部分機(jī)械能轉(zhuǎn)換成內(nèi)能，達(dá)到減振的目的。

取系統(tǒng)的中心位置為坐標(biāo)原點(diǎn)。當(dāng)自由質(zhì)量m(t)與主系統(tǒng)M發(fā)生相互碰撞，改變速度方向后，又以新的初值運(yùn)動(dòng)，然后再次碰撞，如此反復(fù)。為方便計(jì)算，采取以下幾個(gè)基本假設(shè)：

(1)在兩次碰撞過程之間，主系統(tǒng)與自由質(zhì)量之間無摩擦；

(2)將多個(gè)介質(zhì)簡(jiǎn)化為一個(gè)球體，即質(zhì)量為m(t)；

(3)在一個(gè)激勵(lì)周期內(nèi)發(fā)生n次對(duì)稱性碰撞，且碰撞發(fā)生在瞬間，因而碰撞只改變m與M的速度，不改變其位移(滿足動(dòng)量守恒定律)；

(4)碰撞時(shí)非彈性的，用恢復(fù)系數(shù)R加以表示；

(5)只考慮水平方向的碰撞。

圖1所示的碰撞阻尼系統(tǒng)，在兩次碰撞過程之間，描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的微分方程為：

(1)

(2)

當(dāng)X1-X2=D時(shí)，M與m(t)發(fā)生碰撞，且碰撞被理想化為一個(gè)不連續(xù)的過程，由動(dòng)量守恒定律及碰撞恢復(fù)系數(shù)R的定義可得：

(3)

(4)

自由質(zhì)量m(t)是時(shí)間的函數(shù)，具有時(shí)變性。因?yàn)閷?duì)于系統(tǒng)來說，自由質(zhì)量m(t)引起的非線性動(dòng)力學(xué)行為變化是緩慢的，因此自由質(zhì)量m(t)可以用其在一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)的平均值代替，即：

式中：m0為質(zhì)量常數(shù)；Ksc，Kss為亞諧碰撞的余弦和正弦項(xiàng)系數(shù)；Kic，Kis為余弦和正弦諧波項(xiàng)系數(shù)。

事實(shí)上，亞諧碰撞頻率常常是系統(tǒng)激振頻率的整約數(shù)，即

(5)

式中:n為整數(shù)。

為簡(jiǎn)便計(jì)算，這里僅計(jì)入常數(shù)項(xiàng)和亞諧波項(xiàng)，略去諧波項(xiàng)部分，并化簡(jiǎn)得

m(t)=m0+kssin(ωat+φ)

(6)

在振動(dòng)過程中，自由質(zhì)量m(t)與主系統(tǒng)M相互碰撞產(chǎn)生沖擊力，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)可以考慮為一個(gè)分段線性過程。根據(jù)碰撞阻尼振動(dòng)系統(tǒng)自身的特性，對(duì)圖1所示的碰撞阻尼器模型做出如下修改：

(1)相互碰撞之間無摩擦，且只考慮水平方向上的振動(dòng)。

(2)當(dāng)m與主系統(tǒng)發(fā)生碰撞時(shí)，在碰撞點(diǎn)產(chǎn)生一個(gè)局部變量，且碰撞時(shí)主系統(tǒng)M對(duì)碰撞體m具有剛度制約作用，因此用彈簧剛度K2來模擬這一過程。

(3)碰撞恢復(fù)系數(shù)，采用黏性阻尼C2來實(shí)現(xiàn)。

基于上述假設(shè)，可將上圖所示的碰撞模型簡(jiǎn)化為圖2所示的兩自由度振動(dòng)模型。

圖2 兩自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng)示意圖Fig.2 Schematic diagram of the impact dampingsystem with two degree of freedom

圖2是由碰撞阻尼器模型簡(jiǎn)化而來的兩自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的模型示意圖，主系統(tǒng)M和自由質(zhì)量m(t)分別通過彈簧剛度K1，K2和線性阻尼器C1，C2連接于固定約束端，主系統(tǒng)受到水平方向的F0sin(Ωt)的作用，當(dāng)主系統(tǒng)M和自由質(zhì)量m(t)的位移差等于D時(shí)，二者發(fā)生碰撞。

系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為：

(7)

(8)

式中：D為間隙。

適當(dāng)?shù)倪x擇K2，非線性彈簧可以模擬任意大小的剛性屏障，常數(shù)C2H乘積的值則可以恰當(dāng)?shù)啬M各種彈塑性碰撞，只要選取適當(dāng)?shù)腃2便可以確定任意恢復(fù)系數(shù)R的值。

化簡(jiǎn)方程(7)和(8)可得：

(9)

(10)

上述方程中“·”表示對(duì)時(shí)間t的求導(dǎo)。

引入無量綱參量：

化簡(jiǎn)得到系統(tǒng)的無量綱運(yùn)動(dòng)微分方程：

(11)

(12)

式中：符號(hào)“ ′ ”表示對(duì)無量綱時(shí)間T的求導(dǎo)。

2 顫振現(xiàn)象的理論推導(dǎo)

以自由質(zhì)量m的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)作為討論對(duì)象，碰撞面∑(x,t)={x│H(x)=d,v(x)=0}。第一次碰撞后m的相對(duì)位置和速度為：

X1(x,v)=x+W(x)v，V1(x,v)=-rv

(13)

繼續(xù)討論下一次碰撞后m的狀態(tài)：

(14)

X3(x,v)=x+K(x)v+O(v2)，V1(x,v)=rv

(15)

x=X4(x*,v)=x*+θ(x*)v+O(v2)

(16)

且有X3(X4(x,v),v)=X4(x,V3(X4(x,v),v))，代入v(x)表達(dá)式可以求得

(17)

3 顫振現(xiàn)象的數(shù)值模擬

在上一節(jié)中對(duì)兩自由度碰撞振動(dòng)模型的顫振現(xiàn)象進(jìn)行了詳細(xì)的理論計(jì)算和推導(dǎo)，得到了顫振完成點(diǎn)和顫振過程所經(jīng)歷的時(shí)間。顫振可以分為“完全顫振”和“不完全顫振”，在顫振結(jié)束后自由質(zhì)量與主系統(tǒng)相對(duì)運(yùn)動(dòng)為零，產(chǎn)生了黏滯，這種現(xiàn)象稱為“完全顫振”；而在顫振結(jié)束后自由質(zhì)量與主系統(tǒng)相對(duì)速度不為零，則不會(huì)產(chǎn)生黏滯，這種現(xiàn)象稱為“不完全顫振”。

為了對(duì)此類碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的顫振現(xiàn)象有更加深入的研究，本節(jié)將通過四階Runge-Kutta法對(duì)其進(jìn)行數(shù)值模擬。

對(duì)方程(11)～(12)進(jìn)行降階處理，得到了以下的四維等價(jià)系統(tǒng)：

(18)

其中，

為簡(jiǎn)化計(jì)算可?。?/p>

則方程(18)中的參數(shù)可以寫為：

在其他參數(shù)一定的情況下，首先以間距d作為控制參數(shù)，得到主系統(tǒng)M的位移在d=0～2區(qū)間內(nèi)變化的分岔圖。

圖3 x1最大值隨間距d的分岔圖Fig.3 Bifurcation diagram of maximum x1with distanced

由上述討論結(jié)果可取d=0.2，以系統(tǒng)的激振頻率ω作為控制參數(shù)，利用四階Runge-Kutta法進(jìn)行數(shù)值模擬進(jìn)一步研究系統(tǒng)的顫振現(xiàn)象。圖4為頻率ω=0～5范圍內(nèi)，主系統(tǒng)M的位移隨其變化的分岔圖。

圖4 x1最大值隨頻率ω的分岔圖Fig.4 Bifurcation diagram of maximum x1with frequency ω

由分岔圖4可以看出，主系統(tǒng)M的位移隨著激振頻率ω的逐漸增大發(fā)生了明顯的變化，且在ω=0～0.35的范圍內(nèi)系統(tǒng)發(fā)生了顫振行為。

由自由質(zhì)量m的時(shí)域變化圖5,6,7可以看到當(dāng)ω分別取0.2,0.25,0.3時(shí)m的相對(duì)位移和相對(duì)速度隨時(shí)間變化的情況。由圖5(a)可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)ω=0.2時(shí)，顫振現(xiàn)象約從t=332 s開始，持續(xù)時(shí)間約為11 s，表現(xiàn)在圖中為出現(xiàn)了一條平行于x2-x1=0.2的線段，且在圖5(b)中自由質(zhì)量m的相對(duì)速度趨于0，也就是完全顫振完成的狀態(tài)。同樣地，由圖6(a)可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)ω=0.25時(shí)，顫振現(xiàn)象約從t=316 s開始，到t=327 s結(jié)束，持續(xù)時(shí)間也約為11 s。進(jìn)一步觀察圖7(a)，當(dāng)ω=0.3時(shí)，系統(tǒng)雖然也發(fā)生了顫振現(xiàn)象，但是與圖5(a)和圖6(a)相比較可以發(fā)現(xiàn)，在顫振結(jié)束時(shí)并未出現(xiàn)一條平行于x2-x1=0.2的線段，且其相對(duì)速度的時(shí)域圖7(b)與圖5(b)和圖6(b)相比較也可以更為清晰的看出完全顫振與非完全顫振的分別。

(a)位移時(shí)域圖

(b)速度時(shí)域圖圖5 ω=0.20時(shí)自由質(zhì)量m的時(shí)域變化圖Fig.5 Time-domain diagram of m with ω=0.20

(a)位移時(shí)域圖

(b)速度時(shí)域圖圖6 ω=0.25時(shí)自由質(zhì)量m的時(shí)域變化圖Fig.6 Time-domain diagram of m with ω=0.25

(a)位移時(shí)域圖

(b)速度時(shí)域圖圖7 ω=0.30時(shí)自由質(zhì)量m的時(shí)域變化圖Fig.7 Time-domain diagram of m with ω=0.30

為對(duì)完全顫振和非完全顫振的運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象有更深入的認(rèn)識(shí)，下面分別對(duì)圖5和圖6進(jìn)行局部放大，得到ω=0.2，0.25時(shí)自由質(zhì)量m的時(shí)域變化放大圖。

(a)位移時(shí)域圖

(b)速度時(shí)域圖圖8 ω=0.20時(shí)自由質(zhì)量m的時(shí)域變化放大圖Fig.8 Enlarge time-domain diagram of m with ω=0.20

(a)位移時(shí)域圖

(b)速度時(shí)域圖圖9 ω=0.25時(shí)自由質(zhì)量m的時(shí)域變化放大圖Fig.9 Enlarge time-domain diagram of m with ω=0.25

4 結(jié) 論

本文針對(duì)由經(jīng)典的碰撞阻尼器簡(jiǎn)化而來的兩自由度碰撞阻尼振動(dòng)系統(tǒng)，通過理論推導(dǎo)和數(shù)值模擬相結(jié)合的方法，計(jì)算得到了系統(tǒng)的完全顫振持續(xù)時(shí)間和顫振完成點(diǎn)，并借助Matlab編程得到的分岔圖和時(shí)域圖，深入研究了不同參數(shù)條件下系統(tǒng)的顫振變化過程，計(jì)算結(jié)果與理論推導(dǎo)得到的結(jié)論一致，證明了理論計(jì)算的正確性。本文主要結(jié)論如下：

(2)由不同參數(shù)條件下自由質(zhì)量m的相對(duì)位移和速度時(shí)域圖可知，在經(jīng)歷了一段時(shí)間的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)響應(yīng)后發(fā)生顫振運(yùn)動(dòng)，且顫振的持續(xù)時(shí)間和結(jié)束狀態(tài)與理論推導(dǎo)結(jié)論相吻合。

(3)系統(tǒng)經(jīng)歷了完全顫振和不完全顫振，且其時(shí)域圖清晰地說明黏滯是完全顫振收尾時(shí)的重要特征。