魏 祥，李 穎，駱榮劍

（陸軍工程大學通信士官學校，湖北 武漢 430000）

“當前”統(tǒng)計模型作為處理機動目標的重要方法之一，在目標處于機動狀態(tài)下，利用該算法對目標進行跟蹤一直是該領域的研究熱點，“當前”統(tǒng)計模型采用非零均值的時間相關模型，該模型相對Singer模型來說，一個最大的不同在于假設具有機動的目標加速度不能任意變化，機動目標下一時刻的加速度只能在機動目標當前時刻的加速度附近進行變化，因此基于“當前”統(tǒng)計模型的機動目標跟蹤得到了廣泛的研究[1-3]，并且對機動目標的跟蹤性能相對較好[4-5]。

在多目標跟蹤中，基于“當前”統(tǒng)計模型的自適應卡爾曼濾波的聯(lián)合概率數(shù)據(jù)關聯(lián)算法對雜波環(huán)境下的多機動目標跟蹤具有良好的性能。但由于基于“當前”統(tǒng)計模型的自適應卡爾曼濾波需根據(jù)經(jīng)驗值對機動頻率和加速度方差進行預先設定，根據(jù)經(jīng)驗值預先設定往往難以滿足復雜環(huán)境下的多機動目標跟蹤，預先設定的經(jīng)驗值可能造成狀態(tài)過程噪聲過大或過小，在利用聯(lián)合概率數(shù)據(jù)關聯(lián)算法對多目標進行關聯(lián)跟蹤時，這樣的狀態(tài)過程噪聲將直接影響目標的量測預測值，影響落入跟蹤門內(nèi)的量測數(shù)目。在雜波數(shù)的增加、目標相互交叉以及目標發(fā)生機動等情況下，目標誤跟及跟蹤丟失現(xiàn)象就會發(fā)生，嚴重情況下，將會導致大量目標跟蹤丟失，通過控制跟蹤門可以有效減少雜波數(shù)進入跟蹤門內(nèi)的數(shù)量，也可以有效減少相互交叉的公共區(qū)域，從而減小計算量以及雜波之間的相互干擾。因此好的跟蹤門可以大大提高Java平臺調(diào)適架構（Java Platform Debugger Architecture，JPDA）算法的跟蹤性能，為解決基于“當前”統(tǒng)計模型的自適應卡爾曼濾波的聯(lián)合概率數(shù)據(jù)關聯(lián)算法在跟蹤多機動目標時出現(xiàn)的這種問題，本文在已有算法的工作基礎上，采用數(shù)學推導的方式導出了機動頻率的近似數(shù)學表達式，一定程度上避免了對不合理經(jīng)驗值設定的依賴。最后通過仿真實驗，對所提算法進行了仿真驗證。

1 基于“當前”統(tǒng)計模型的單目標自適應卡爾曼濾波算法

將“當前”統(tǒng)計模型和卡爾曼濾波算法相結合，就得到了自適應卡爾曼濾波算法。

離散時間情況下目標狀態(tài)方程表達如下

式（1）中，X(k)為目標k時刻的狀態(tài)向量，F(xiàn)(k)為狀態(tài)轉移矩陣，G(k)是控制輸入矩陣；u(k)為已知輸入。V(k)是高斯白噪聲，均值為零、協(xié)方差為Q(k)，且不同時刻的過程噪聲是相互獨立的，過程噪聲表達式如下。

與目標狀態(tài)方程對應的量測方程為：

式中，H(k+1)為目標對應的量測矩陣，W(k+1)為高斯白噪聲序列，其均值為零、協(xié)方差為R(k+1)，不同時刻的觀測噪聲也假定是相互獨立的，則對應表達式為：

從式（1）及式（3）可得標準卡爾曼濾波算法如下：

“當前”統(tǒng)計模型將˙˙(k+1)的一步預測值˙(k+1 |k)看作是(k+1)T時刻瞬時機動加速度均值，即：

在采樣周期較小時，將k時刻的加速度值看作是k+1時刻加速度一步預測值，即：

結合“當前”統(tǒng)計模型和上述假設可得如下表達式：

其中：

加速度方差為：

基于“當前”統(tǒng)計模型的自適應卡爾曼濾波算法主要步驟如下：

α為目標機動頻率，根據(jù)目標機動情況而設定的常數(shù)，通常根據(jù)經(jīng)驗值進行設定。實際情況下，機動目標不可能一直處于某種機動狀態(tài)進行運動，此時如果預先根據(jù)經(jīng)驗值對機動頻率進行設置，就不能實時反應目標的機動狀態(tài)，機動頻率設置的不合理，通過式（15）至式（20）可以直觀看出，將直接影響機動目標的過程噪聲、影響機動目標的狀態(tài)協(xié)方差，從而影響機動目標的狀態(tài)，造成機動目標跟蹤精度的下降。為加速度方差，式（14）加速度方差表達式中也需要根據(jù)經(jīng)驗值設定機動目標機動的最大加速度，因此同樣會導致和機動頻率設置不合理一樣的問題。

2 基于“當前”統(tǒng)計模型的單目標自適應卡爾曼濾波算法改進

通過基于“當前”統(tǒng)計模型自適應卡爾曼濾波算法的分析可知，在經(jīng)典的“當前”統(tǒng)計模型中，機動頻率和加速度極大值需根據(jù)經(jīng)驗設定，這類方法在處理多目標跟蹤時往往由于依據(jù)經(jīng)驗值設置不合理使得每一步濾波算法得到的目標狀態(tài)、預測值的協(xié)方差與實際嚴重不符合，在利用基于“當前”統(tǒng)計模型的自適應卡爾曼濾波算法對多目標進行關聯(lián)跟蹤時，將會影響數(shù)據(jù)關聯(lián)門的合理設置，而數(shù)據(jù)關聯(lián)門的設置不合理，又會對雜波環(huán)境下多目標跟蹤數(shù)據(jù)關聯(lián)算法實現(xiàn)帶來影響，增加算法的計算量，降低算法跟蹤精度。因此機動頻率及加速度極大值的設定已經(jīng)成為自適應卡爾曼濾波算法研究的瓶頸，針對此問題許多學者提出了改進的算法[4-6]，但多數(shù)都只是針對加速度方差進行改進[7-8]，對機動頻率自適應改進較少。針對機動頻率根據(jù)經(jīng)驗值設定不合理現(xiàn)象，本節(jié)提出了相應的改進措施，一定程度上實現(xiàn)了機動頻率自適應。

2.1 機動頻率自適應

從2節(jié)的分析可知在基于“當前”統(tǒng)計模型的自適應卡爾曼濾波算法中，通常假定機動頻率α為常數(shù)，而實際在目標機動過程中機動頻率應該是隨著時間的變化而時刻變化的，因此設為常數(shù)是不合理的。

a(t)為加速度am(t)的加速度噪聲，在“當前”統(tǒng)計模型中，在一個采樣周期內(nèi)，其瞬間的加速度均值為一個常數(shù)，實際情況下，加速度均值是時刻在變化的。

通過文獻[9]可知，經(jīng)典“當前”統(tǒng)計模型加速度、加速度噪聲及加速度均值之間有如下表達式：對式（22）兩邊進行求導，得到如下表達式：

將式 （23）代入式（21），得到如下表達式：

假設式（24）中w(t)是均值為0，方差為的白噪聲，并服從高斯分布，在這種假設下，可以得到如下表達式：

式（25）中x服從正態(tài)分布，即x～N(0,1)，將式（25）代入式（24）并整理可得如下表達式：

對式（26）進一步整理可得：

對式（27）可以分兩種情況進行討論：

對式（28）進行離散化處理得：

對式（29）兩邊進行求期望，即：

因為x服從N(0,1)正態(tài)分布，故E(x2)=1，因此上式可以近似表示為：

由式（31）可以進一步得出k時刻機動頻率近似表達式如下：

(k)表示k時刻機動加速度均值變化率，文獻[9]指出(k)可以用k時刻的狀態(tài)的一步預測值來表示，在采樣周期較小時也可以用目標在k－1時刻的狀態(tài)值來表示。因此可以利用前兩個時刻的加速度變化來近似表示k時刻機動加速度均值變化率，表達式如下：

將式（33）、（34）代入式（32）可得

（2）如果am(t)?(t) ≠ 0，即目標當前時刻的速度和目標在此時刻的瞬間加速度均值不相等，表明此時目標正在進行變加速運動。在該情況下式（27）可以看作關于機動頻率α的一元二次方程，利用求根公式可以得出機動頻率的表達式如下：

對式（36）離散化得：

對式（37）兩邊同時求期望得：

式（38）中E(x)=0，E(x2)=1，故對式（38）進行整理可得：

機動頻率都為正數(shù)，由式（39）可以進一步得到k時刻機動頻率α的近似表達式如下：

式中為加速度方差，將式（3-33）、（3-34）代入式（40）整理得：

通過式（35）及式（41）可得機動頻率自適應的近似表達式為：

2.2 加速度方差自適應

根據(jù)文獻[10]可知，利用目標狀態(tài)估計值與狀態(tài)預測估計值之間的差值可以得到了一種新的加速度方差自適應表達式。

加速度方差σ2α(k)的物理含義為：目標加速度的方差應該和加速度的變化率相關，在一個采樣周期內(nèi)，加速度變化率越大，對應的加速度方差就越大，反之加速度方差就越小。從式（43）可以看出當目標處于非機動或者弱機動時，目標k時刻的狀態(tài)值與狀態(tài)一步預測值相差較小，此時加速度方差較小，當目標處于強機動時，k時刻狀態(tài)估計值與k時刻狀態(tài)一步預測值相差很大，此時加速度方差較大，符合加速度方差)的物理含義。本文參考文獻[10]結論，一定程度上解決了預先設定加速度極限值帶來的跟蹤誤差。

3 基于聯(lián)合概率數(shù)據(jù)關聯(lián)的多目標自適應跟蹤算法（IAFJPDA）

通過分析可知，在利用聯(lián)合概率數(shù)據(jù)關聯(lián)算法進行機動目標數(shù)據(jù)關聯(lián)跟蹤時，第一步應該首先確定跟蹤門，跟蹤門是以目標量測預測位置為中心，向外延伸的一塊區(qū)域，這塊區(qū)域表示目標下一時刻觀測量測值可能出現(xiàn)的位置。跟蹤門設置的目的在于盡可能將與目標相關的量測放入門內(nèi)，將來自其他目標的量測和雜波干擾拒之門外。從橢圓（球）跟蹤門以及濾波算法可以看出，機動目標狀態(tài)過程噪聲Q(k)影響目標狀態(tài)一步預測協(xié)方差，從而影響目標狀態(tài)更新，隨著時間的不斷迭代，進一步不斷影響目標量測值，影響到橢圓門限的取值大小，最終影響落入目標N的跟蹤門內(nèi)量測數(shù)的數(shù)量，如果Q(k)取值過大，可能導致更多與目標關聯(lián)的量測值被拒之門外，如果取值過小，可能導致更多與目標不相關的量測值落入跟蹤門內(nèi)，這樣將增加算法的計算量，嚴重情況下將會出現(xiàn)組合爆炸現(xiàn)象，大大降低算法的跟蹤性能，因此Q(k)如果僅僅根據(jù)經(jīng)驗值進行設定，在復雜的運動場景下將很難設置合理的狀態(tài)過程噪聲來調(diào)整落入跟蹤門內(nèi)的量測值的數(shù)量。自適應卡爾曼濾波算法的出現(xiàn)較好解決了這一問題，但是存在機動頻率和加速度方差不能自適應一定程度上也會出現(xiàn)上述問題。為解決此問題，本文首先對機動頻率和加速度方差進行調(diào)整，提出了改進的自適應卡爾曼濾波算法，然后將改進的自適應卡爾曼濾波算法和聯(lián)合概率數(shù)據(jù)關聯(lián)算法相結合，得到了基于聯(lián)合概率數(shù)據(jù)關聯(lián)的多目標自適應跟蹤算法。該算法一定程度上解決了原自適應卡爾曼濾波跟蹤算法中存在的問題。該算法具體步驟如下：

第一步，給定目標初始狀態(tài)

第二步，狀態(tài)的一步預測

第三步，量測的一步預測

第四步，預測協(xié)方差

第五步，新息

第六步，新息協(xié)方差

第七步，橢圓跟蹤門門限

第八步，生成確認矩陣Ω

第九步，得到全部聯(lián)合事件θt(k)

第十一步，根據(jù)聯(lián)合事件概率計算關聯(lián)概率βji(k+1)

第十二步，卡爾曼濾波狀態(tài)更新

第十三步，狀態(tài)估計協(xié)方差更新

4 仿真實驗

本節(jié)目的在于通過仿真實驗驗證3節(jié)所提改進的自適應聯(lián)合概率數(shù)據(jù)關聯(lián)算法的有效性。仿真在目標進行非機動（勻速）及圓周機動場景下進行。

目標1的初始位置為x0=16 000 m，y0=10 000 m，z0=1 000 m，目標2的初始位置為x0=15 000 m，y0=9 000 m，z0=1 000 m，目標剛開始作勻速直線運動，目標1初始速度為v=-310 m/s，目標2初始速度為v=-320 m/s,目標1和目標2初始時刻以加速度為10 m/s2做勻加速運動，初始勻速運動時間為[0，5]s，而后目標在平面內(nèi)作一周圓周機動，目標1圓周機動時間為89 s，目標2圓周機動時間為86 s，最后目標繼續(xù)作勻速直線運動，目標1勻速運動時間為21 s，目標2勻速運動時間為24 s，仿真中量測噪聲建模：假設量測噪聲與距離存在關系式V(k)=(βx(k)+Δx0)ω(k)，其中ω(k)是均值為0，方差為1的正態(tài)偽隨機數(shù)，Δx0=100 m，則R(k)=(βx(k)+Δx0)2E[ω2(k)]為噪聲方差。

算法性能評價指標為均方根誤差：

式（67）中N為蒙特卡洛仿真次數(shù)，實驗中N=20，i為第i次蒙特卡洛仿真，x(k)，分別為k時刻目標狀態(tài)的真實值和估計值。仿真對比了基于自適應卡爾曼濾波結合JPDA的AF-JPDA算法及本文提出的基于聯(lián)合概率數(shù)據(jù)關聯(lián)的多目標自適應跟蹤算法（IAF-JPDA）。在機動頻率和加速度極大值取不同值情況下進行了兩組對比仿真實驗，目的在于驗證本文所提基于聯(lián)合概率數(shù)據(jù)關聯(lián)的多目標自適應跟蹤算法的有效性。

實驗一：雜波密度：λ=0.000 04，門限g=16，檢測概率PD=0.99。最大加速度αmax=20，α=0.01，Q=100，仿真結果如圖1—2所示。

將式（51）代入式（62）得：

第十四步，過程噪聲的實時更新

式中字母的具體含義參考2節(jié)，基于“當前”統(tǒng)計模型。第十五步，循環(huán)，k=k+1時，跳轉到第二步。

圖1 目標跟蹤軌跡

圖2 位移均方根誤差

實驗二：雜波密度：λ=0.000 04，門限g=16，檢測概率PD=0.99。最大加速度αmax=50，α=0.3，Q=100，仿真結果如圖3—4所示。

兩組實驗主要是在不同機動頻率和加速度極大值情況下進行的仿真實驗。機動頻率越大，表示目標機動越大，此時可以設置較大加速度，反之機動頻率設置較小，對應最大加速度也應該設置較小，本章根據(jù)經(jīng)驗設定兩組實驗參數(shù)，實驗一最大加速度αmax=20，機動頻率α=0.01，實驗二最大加速度αmax=50，機動頻率α=0.3。可以看出，目標1在圓周機動時間[6，94]s和目標2在圓周機動時間[6，91]s內(nèi)，基于自適應卡爾曼濾波的JPDA算法（AF-JPDA）及本文所提基于聯(lián)合概率數(shù)據(jù)關聯(lián)的多目標自適應跟蹤算法（IAFJPDA），在對多目標進行跟蹤時，跟蹤性能相差不大，本文所提算法（IAF-JPDA）性能只是稍好于自適應卡爾曼濾波的JPDA算法（AF-JPDA）。目標1、目標2處于弱機動（[0，5]）s和勻速運動時，跟蹤性能相對較差。從目標1勻速運動時間（[95，116]）s和目標2勻速運動時間（[92，116]）s，實驗一中目標1和目標2在x方向的位移均方根誤差（見圖2）和實驗二中目標1和目標2在x方向的位移均方根誤差（見圖4），通過對比可以發(fā)現(xiàn)，隨著機動頻率和加速度極大值設置較大，處于勻速運動的目標1和目標2跟蹤性能急劇下降，跟蹤誤差較大，而本文所提基于聯(lián)合概率數(shù)據(jù)關聯(lián)的多目標自適應跟蹤算法（IAF-JPDA），在對目標進行跟蹤時，保持了較好的跟蹤性能，目標跟蹤性能并未出現(xiàn)較大跟蹤誤差。

5 結語

本文首先介紹了基于“當前”統(tǒng)計模型的自適應卡爾曼濾波算法，并針對基于“當前”統(tǒng)計模型自適應卡爾曼濾波算法中需根據(jù)經(jīng)驗值設定機動頻率和加速度極大值不合理現(xiàn)象進行了改進，提出了一種新的機動頻率自適應表達式，重新設計了自適應卡爾曼濾波算法。提出了改進的基于“當前”統(tǒng)計模型的自適應卡爾曼濾波算法，將改進算法結合JPDA算法，形成了對多機動目標跟蹤的IAF-JPDA算法。通過兩組仿真實驗，從實驗結果可以看出，本文所提算法一定程度上解決了基于“當前”統(tǒng)計模型自適應卡爾曼濾波算法在進行機動目標跟蹤時，參數(shù)預先設置不合理導致的機動目標跟蹤誤差問題，有效提高了機動目標跟蹤精度，表明本文所提算法的有效性。

圖3 目標跟蹤軌跡

圖4 位移均方根誤差