萬澤青

摘 要 能量原理是本科基礎力學課程中的基本理論，能量法是計算結(jié)構(gòu)位移、內(nèi)力等的基本方法。針對現(xiàn)行本科階段力學課程中能量原理知識點分散的現(xiàn)狀，從問題的基本變量選取的角度，分三個方面整理和歸納能量原理的知識體系，指出能量法與靜力法的對偶關系，可供教師作為教學參考。

關鍵詞 力學課程；能量原理；能量法；靜力法；變分原理

中圖分類號：G642 文獻標識碼：B

文章編號：1671-489X（2018）06-0098-03

Teaching Discussion of Energy Principles in Mechanics Courses//

WAN Zeqing

Abstract Energy principles are the basic theories in undergraduate mechanics course. Energy method is a basic method to calculate the displacements， internal forces of various structures. Currently， the relationship is loose about energy principle content between courses of mechanics. In this paper， from the point of view of selection of basic variables， the knowledge system of energy principles divided into three parts was concluded. The duality relation between energy method and static method was pointed out. These contents can be used by teachers for teaching reference.

Key words mechanics course； energy principle； energy method； static method； variational principle

1 引言

在固體力學中對結(jié)構(gòu)進行靜力分析時，有兩種不同的途徑：一是從幾何條件、物理條件、平衡條件三個方面來求解結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和位移，這就是所謂的靜力法；二是用能量泛函駐值或極值條件來研究力的平衡和變形協(xié)調(diào)條件，這種解法叫作能量法。

在現(xiàn)行本科力學課程體系中，從理論力學、材料力學、結(jié)構(gòu)力學到彈性力學，靜力法的教學知識體系搭建較為完善，各課程間的知識聯(lián)系也較為緊密。根據(jù)多年的基礎力學教學觀察，學生整體上對靜力法求解問題的知識脈絡還是比較清晰的。而在各門力學課程中關于能量原理的教學內(nèi)容卻相對松散，知識點的連續(xù)性也有所欠缺[1-2]。目前，在基礎課學時普遍減少的背景下，不少教師通常還不得不對能量部分的內(nèi)容進行刪減，這也導致學生普遍反映學習較困難，很難將相關知識點由點串成一條線。

2 能量原理概述

在變形固體力學中，與能量有關的一些原理、定理統(tǒng)稱為能量原理。彈性結(jié)構(gòu)靜力分析的能量原理，以及結(jié)構(gòu)動力分析的哈密頓原理，在數(shù)學上都歸屬于泛函變分原理。所以可以認為能量原理就是以能量變分形式表述的力學定律。應用能量原理解決問題的方法稱為能量法，它是與靜力學方法平行的一種方法。

能量原理根據(jù)其基本變量的個數(shù)，可分為基本能量原理和廣義變分原理兩大類[3]。基本能量原理，也稱自然能量原理，是取單類變量作為基本變量的，包括最小勢能原理和最小余能原理；其中最小勢能原理以位移為基本變量，最小余能原理以應力為基本變量。廣義變分原理是取多類變量為基本變量的，常用的有Hellinger-Reissner變分原理（H-R原理）和胡海昌-鷲津久一郎變分原理（H-W原理）；其中H-R原理以位移和應力作為基本變量，H-W原理以位移、應變和應力作為基本變量。

能量原理有兩個基本特點：1）對于各種桿系結(jié)構(gòu)的計算非常方便；2）它是針對任意復雜的工程結(jié)構(gòu)數(shù)值分析方法——有限元法的理論基礎。

3 能量原理的知識體系

在靜力法中，有位移法和力法兩種基本方法，有時也采用基本變量是多類變量的混合解法。與之對應，在能量法中分別有以位移為基本變量的最小勢能原理、以應力為基本變量的最小余能原理，以及有多類變量的廣義變分原理。下面就以這樣的分類方法介紹能量原理的知識體系。

最小勢能原理 在外力作用下，變形固體發(fā)生變形，設材料是非線性彈性的，力-位移曲線如圖1所示。當外力從零開始緩慢增加到F1時，外力作用點沿外力作用方向的位移也從零增大到Δ1，此時外力功為：

從圖1可見，外力功的定義式（1）中FdΔ相當于圖中帶陰影線的長條面積，由此可知，外力功就相當于Δ從0到Δ1之間F-Δ曲線下的面積。根據(jù)功能原理，在彈性變形范圍內(nèi)，外力所做的功將全部轉(zhuǎn)化為變性固體內(nèi)儲存的能，稱為應變能Vε。

虛功原理是靜力學的重要原理，在理論力學中有關于質(zhì)點系的虛功原理。對于變形體，虛功原理可表述為：設結(jié)構(gòu)在外力作用下處于平衡狀態(tài)，假定由于其他任何原因，使結(jié)構(gòu)從其平衡位置偏離任意一個滿足位移邊界條件和變形連續(xù)條件的虛位移（可看作真實位移的一個變分），那么外力對虛位移所做的虛功必等于各微段上的內(nèi)力在其變形上所做的變形虛功（虛應變能）。

上面的描述中，位移狀態(tài)是虛設的，這時的虛功原理可稱為虛位移原理。在虛位移原理表述中，沒有涉及結(jié)構(gòu)材料的本構(gòu)關系，也沒有涉及在外力作用下實際變形的過程和大小，因此，虛位移原理不限定用于線彈性問題。虛位移原理是結(jié)構(gòu)在外力作用下處于平衡狀態(tài)的充要條件，它等價于平衡條件和靜力邊界條件。

單位位移法是虛位移原理的一個應用，如所設虛位移為單位位移，則可用于求解與虛設的單位位移相對應的未知力，其關鍵是找出虛位移狀態(tài)的位移關系，其特征是用幾何方法解決靜力平衡問題。

虛位移原理對應彈性力學之最小勢能原理：在所有滿足結(jié)構(gòu)位移邊界條件和變形連續(xù)條件的位移中，真實的位移即滿足結(jié)構(gòu)平衡條件的位移使結(jié)構(gòu)的總勢能取得駐值。這里的總勢能定義為結(jié)構(gòu)在可能位移狀態(tài)下的應變能和外力勢能之和。對于線彈性結(jié)構(gòu)，總勢能的二階變分恒為正，因而使總勢能取最小值，所以這個原理又稱最小勢能原理。顯然，最小勢能原理與虛位移原理等效，實質(zhì)是用能量形式表示的平衡方程。

卡氏第一定理：如果結(jié)構(gòu)的應變能Vε表示成廣義位移Δi的函數(shù)，則應變能Vε對任一廣義位移Δi的一階偏導數(shù)等于相應的廣義力Fi?？ㄊ系谝欢ɡ磉m用于一切受力狀態(tài)下線性或非線性的彈性體，它可以用來求解兩類問題，即已知位移求相應的力或已知力求相應的位移。在第二類問題中，其用法實際上與最小勢能原理相同。

在能量原理的上述體系中，以虛位移原理為基礎，推導出最小勢能原理、卡氏第一定理，它們都事先滿足變形協(xié)調(diào)條件和位移邊界條件，所要建立的是能量形式的平衡方程。

最小余能原理 與外力功對應的一個概念是余功。如圖2所示的力-位移曲線，當外力從0緩慢增加到F1時，仿照外力功的定義計算另一積分：

Wc與外力功具有相同的量綱，由圖2可見，它是外力F從0到F1之間F-Δ曲線以上的面積，與對應的外力功之和正好等于F1Δ1矩形面積，所以習慣上稱之為余功。由于材料是彈性的，仿照外力功與應變能相等的關系，將與余功相應的能稱為余能Vc。

需要指出的是，余能并沒有具體的物理意義，只是具有與應變能相同的量綱，引進這一概念是為了討論能量原理的需要。在線彈性問題中，由于力-位移呈線性關系，因此余能和應變能在數(shù)值上是相等的，但兩者在概念和計算方法上截然不同。

虛力原理是與虛位移原理對偶的基本能量原理，其內(nèi)容可表述為：設結(jié)構(gòu)在外力作用下處于平衡狀態(tài)，如果給外力一個滿足平衡條件和靜力邊界條件的虛變化，即虛力，則虛力對外力所引起的位移所做的功（稱為虛余功）必等于結(jié)構(gòu)的虛余能。必須指出，同虛位移原理一樣，虛力原理既不限定用于彈性問題，也不限定用于線性問題。虛力原理是結(jié)構(gòu)變形協(xié)調(diào)的充要條件，它等價于變形協(xié)調(diào)條件和位移邊界條件。

單位荷載法是虛力原理的一個應用，如所設虛力為單位力，則可用于求解與虛設的單位力相對應的位移，其關鍵是找出虛力狀態(tài)下的靜力平衡關系，其特征是用靜力平衡方法求解幾何問題。材料力學中的莫爾定理實質(zhì)就是虛力原理，它用虛設單位力的方法求解結(jié)構(gòu)真實的位移，但通常只介紹荷載作用下結(jié)構(gòu)位移的計算。至于結(jié)構(gòu)力學中的虛力原理，公式的表述與莫爾積分完全一致，但綜合考察了荷載、溫度和支座沉降等三種因素對結(jié)構(gòu)位移的影響。在結(jié)構(gòu)力學中，為了簡化計算，對于以彎曲變形為主的桿系結(jié)構(gòu)，忽略軸力和剪力的影響，更多地利用內(nèi)力圖形將莫爾積分轉(zhuǎn)化成圖形互乘的圖乘法。

虛力原理對應彈性力學之最小余能原理：在所有滿足平衡條件和應力邊界條件的應力中，真實的應力即滿足結(jié)構(gòu)變形條件和位移邊界條件的應力，使總余能取得駐值。這里的總余能定義為結(jié)構(gòu)在可能應力狀態(tài)下的應變余能和邊界位移余能之和。如果彈性體無位移已知邊界，則應變余能即為總余能?？梢宰C明，對于穩(wěn)定平衡來講，真實的應力使總余能取極小值，所以該原理稱為最小余能原理。最小余能原理實質(zhì)是用能量形式表示的變形協(xié)調(diào)方程。

卡氏第二定理：如果結(jié)構(gòu)的余能Vc表示成廣義外力Fi的函數(shù)，則余能Vc對廣義外力Fi的一階偏導數(shù)等于相應的廣義位移Δi；對于超靜定結(jié)構(gòu)，余能要表示成廣義外力Fi和多余未知力Xi的函數(shù)，而不能只表示為廣義外力Fi的函數(shù)。這一定理稱為Crotti-Engesser定理，既適用于線彈性結(jié)構(gòu)，也適用于非線性彈性結(jié)構(gòu)。但在線彈性結(jié)構(gòu)體系中，由于力與位移成正比，結(jié)構(gòu)的應變能Vε在數(shù)值上等于余能Vc，因此，對于線彈性體，結(jié)構(gòu)的應變能對于任一外力的偏導數(shù)等于與該外力對應的位移，稱為卡氏第二定理。顯然，卡氏第二定理是Crotti-Engesser定理在線彈性情況下的特例，該定理為計算靜定線彈性結(jié)構(gòu)的位移提供了一個非常簡便的方法。

在能量原理的上述體系中，以虛力原理為基礎，推導出最小余能原理、卡氏第二定理，它們事先都滿足平衡條件，所要建立的是變形協(xié)調(diào)方程。

廣義變分原理 前面分別討論了最小勢能原理和最小余能原理，在應用最小勢能原理時，選取位移為基本變量，原理等效于問題的平衡方程和靜力邊界條件；在應用最小余能原理時，選取力（或應力）作為基本變量，原理等效于問題的幾何方程和位移邊界條件。顯然，在把位移和力（或應力）作為基本變量時，它們都有約束條件，最小勢能原理的位移變量受到幾何變形協(xié)調(diào)和位移邊界條件的約束，最小勢能原理的力（或應力）變量受到平衡條件和靜力邊界條件的約束。在這樣的背景下就發(fā)展了廣義變分原理。

赫林格（E.Hellinger）和瑞思納（E.Reissner）分別于1914年和1950年研究推廣了最小余能原理，提出以位移和應力為基本變量的混合變分原理，稱為H-R變分原理。胡海昌和鷲津久一郎分別于1954年和1955年將最小勢能原理進行推廣，提出以位移、應變和應力為基本變量的混合變分原理，稱為H-W變分原理。這兩個廣義變分原理通過引入可以識別物理意義的Lagrange乘子，放松了約束條件，在有限元方法和工程彈性理論中，廣義變分原理具有廣泛的應用。

4 能量法與靜力法的對偶關系

能量法和靜力法是彈性結(jié)構(gòu)靜力分析中兩種并行的解法，兩種解法之間存在共性，也有區(qū)別。在靜力法中，有位移法、力法和混合法。在能量法中，分別由最小勢能原理、最小余能原理和廣義變分原理導出的解法實際上與位移法、力法和混合法是等價的。能量法和靜力學的共性體現(xiàn)在兩種解法都要求真解滿足幾何條件、物理條件和平衡條件，兩種解法都可按照基本變量的選取方式分為三類方法。

1）位移法：選取位移作為基本變量（在結(jié)構(gòu)力學中選取獨立的節(jié)點位移作為基本變量）。

2）力法（應力法）：在超靜定結(jié)構(gòu)分析中選取多余未知力為基本變量（在彈性力學中選取應力作為基本變量）。

3）混合法：選取的基本變量不是單類變量，而是多類變量，如混合選取位移和應力作為基本變量，或選取位移、應變、應力作為基本變量。

基于最小勢能原理的解法本質(zhì)上是以能量形式表示的位移法，唯一的區(qū)別是采用能量表述形式，用勢能駐值條件代替位移法基本方程?；谧钚∮嗄茉淼慕夥ū举|(zhì)上是以能量形式表示的力法，唯一的差別是改用能量的表述形式，把力法基本方程換成與其等價的余能駐值條件。

5 結(jié)束語

本文將能量原理分成兩個系統(tǒng)：一是從外力功和應變能的概念出發(fā)，將“虛位移原理—單位位移法—最小勢能原理—卡氏第一定理”這些點串成一條線，基本思想與靜力法中的位移法對偶；二是從余功和余能的概念出發(fā)，將“虛力原理—單位荷載法—最小余能原理—卡氏第二定理”串成線，其思想與靜力法中的力法（彈性力學中的應力法）對偶。廣義變分原理是彈性力學最小勢能原理和最小余能原理的推廣，其特點是變分式中各量都可以有獨立的變分，并且事前不受任何限制。在能量原理教學中，如果能夠按照上述體系講授，并注意能量法與靜力法中的力法和位移法的對偶關系，可以期望取得更好的教學效果。

參考文獻

[1]龔相超，胡百鳴.力學課程中能量原理教學相關性初探[J].大慶師范學院學報，2011，31（6）：129-132.

[2]劉又文.虛位移原理與變形體能量法的教學銜接[J].力學與實踐，2007，29（3）：71-72.

[3]龍馭球，劉光棟.能量原理新論[M].北京：中國建筑工業(yè)出版社，2007.