韋堯兵，張學程

(蘭州理工大學機電工程學院，甘肅 蘭州 730050)

在旋轉(zhuǎn)機械變工況運行過程中存在著豐富的故障信息，一些在平穩(wěn)工況運行過程中不易反映出來的故障信息可能會在此時完全地顯現(xiàn)出來，因此變工況運行的旋轉(zhuǎn)機械振動信息對旋轉(zhuǎn)機械故障的診斷具有極高的利用價值[1]。為了使旋轉(zhuǎn)機械安全穩(wěn)定地運行，對旋轉(zhuǎn)機械進行狀態(tài)監(jiān)測與故障診斷非常重要。目前，基于振動信號的狀態(tài)監(jiān)測是主要的方式之一。旋轉(zhuǎn)機械升速、降速階段中的振動信號為典型的非平穩(wěn)信號，常規(guī)的分析方法已不適用。階次跟蹤法(order tracking technique,OT)是一種處理時變信號的方法，通過等角度重采樣將時域中非平穩(wěn)信號轉(zhuǎn)化為角域中平穩(wěn)信號，然后再對處理后的平穩(wěn)信號進行常規(guī)分析處理。然而，基于時-頻分布的階次跟蹤法[2]的重點和難點在于需要精準地獲得參考軸轉(zhuǎn)速所對應(yīng)的瞬時頻率(instantaneous frequency,IF)，它是準確進行階次跟蹤法中等角度重采樣的前提及關(guān)鍵。

在許多實際的信號分析處理過程中，估算一個時變過程的瞬時頻率是一項非常重要的工作。瞬時頻率的準確估計是時-頻分布的關(guān)鍵，其估算方法很多，有相位法、峰值搜索法、過零點法、求根估算法等。相位估計法主要是用振動信號的相位信息來得到瞬時頻率，分為相位差分法、相位建模法以及鎖相環(huán)法。相位差分法雖然計算簡便，但是抗噪聲性能不高；相位建模法雖可以較精準地估算出信號的瞬時頻率，但是其計算量大，對初始值要求嚴格，對適用場合要求較高；鎖相環(huán)法具有較高的抗噪能力，自適應(yīng)能力強，但是不能追蹤變化過快的頻率。過零點法是用信號過零點的次數(shù)來求得信號的瞬時頻率，一般使用于周期性信號頻率的檢測，在時變信號分析中其精準度不高。求根估算法是在解方程組過程中利用零點與頻率的關(guān)系來獲得瞬時頻率,計算速度慢， 難以選取初始值[3]。

目前常用的瞬時頻率的估計方法是峰值搜索法[4]，其基本思想是通過時-頻分布獲得待分析信號時間頻率的聯(lián)合分布，然后保留聯(lián)合分布中每個時刻的最大值所對應(yīng)的頻率，以此來獲得對信號瞬時頻率的估計。在轉(zhuǎn)速波動工況下，旋轉(zhuǎn)機械的運行可以看作是多次重復(fù)的升降速過程，因此振動信號往往不表現(xiàn)出線性調(diào)頻特征。如果用線性調(diào)頻小波變換對其瞬時頻率進行一階逼近，并不能夠準確、完整地反映信號的頻率構(gòu)成。在線性調(diào)頻小波變換基礎(chǔ)上，Angrisani和D′Arco[5]對核函數(shù)進行改進，引入頻率彎曲的概念，使線性調(diào)頻小波變換推廣為非線性調(diào)頻小波變換(nonlinear chirplet transform,NCT)，增加了時-頻分布(time-frequency distribution,TFD)的自由度，提高了對非線 性調(diào)頻信號的刻畫能力。Peng、Yang 和方楊[6-8]等在此基礎(chǔ)上定義了更具普遍性的多項式核函數(shù)并進行了深入的探討，使得NCT在分析信號時具有更高的時頻能量聚集性，因而抗噪性能更好，可以精確地估計信號的瞬時頻率。本文在NCT的基礎(chǔ)上提出了連續(xù)非線性調(diào)頻小波變換(CNCT)，并將其應(yīng)用到瞬時頻率估計中，此方法首先通過基于NCT的峰值搜索法粗略估計出滾動軸承的瞬時頻率，然后用最小二乘擬合方法對該頻率進行連續(xù)擬合，當達到設(shè)定的閾值時停止擬合，此方法有效地避免了交叉項的存在，提高了瞬時頻率的估計精度。

1 瞬時頻率估計

1.1 瞬時頻率

瞬時頻率的數(shù)學定義首先是基于Gabor解析信號提出的，在此基礎(chǔ)上又由Ville進行了改進[9-10]?，F(xiàn)有一時域內(nèi)的連續(xù)信號：

v(t)=β(t)cos[φ(t)]

(1)

式中：β(t)為信號的幅度；φ(t)為信號的相位。連續(xù)周期信號s(t)經(jīng)過Hilbert變換可得：

(2)

則其解析信號可表示為：

(3)

將瞬時頻率定義為解析信號的相位對時間的導(dǎo)數(shù)，即：

(4)

此瞬時頻率定義的物理意義明確，解析信號為復(fù)數(shù)平面的一個向量，該向量幅角的轉(zhuǎn)速即為瞬時頻率。基于時-頻分布的瞬時頻率的另一種定義如下：

(5)

式中：w(t,f)為信號的時-頻分布, 即某時刻的瞬時頻率為該信號在此時的頻率加權(quán)平均，是時-頻分布的一階矩。

1.2 非線性調(diào)頻小波變換

通過時-頻分布獲得的時變信號的瞬時頻率估計與工程實際更相符，因而得到了許多研究者的關(guān)注。

基于時-頻分布的瞬時頻率估計精度取決于時-頻平面內(nèi)的能量聚集程度，但凡信號具有局部能量的部位,它的時-頻分布也聚集在這些部位。高能量聚集的時-頻分布方法可提供更具抗噪能力、更加可靠的瞬時頻率估計。

引入時間平移、頻率平移等合成算子來表示頻率隨時間的非線性變化，時間平移、頻率平移、時間拉伸、時間傾斜、頻率傾斜可分別表示為：

(6)

式中：tc為時間中心；fc為頻率中心；Δt為尺度參數(shù)；lgΔt為對數(shù)時寬；d為時間傾斜參數(shù)；c為線性調(diào)頻斜率；q(t)為采用高斯函數(shù)作為窗函數(shù)；*為卷積運算符。合成算子中若某個參數(shù)等于零，則表明與之對應(yīng)的仿射變換不發(fā)生。

有了合成算子之后，將時頻分析中的基信號表示成：

qtc,fc,lgΔt,d,c(t)=Ntc,fc,lgΔt,d,cq(t)

(7)

式(7)稱為分析函數(shù)。則時頻分布可表示成信號s(t)與分析函數(shù)的內(nèi)積形式，如短時傅立葉變換：

STFT(t,f)=

(8)

五維連續(xù)線性調(diào)頻小波變換：

CT(t,f)=

(9)

對于瞬時頻率呈非線性變化的信號，擴大其頻率傾斜算子，擴大后的頻率傾斜算子稱為頻率彎曲算子，如式(10)所示：

(10)

式中：cl(l=2,3,…,k)為頻率彎曲參數(shù)，也即多項式系數(shù)。如果頻率彎曲算子的瞬時頻率與信號的瞬時頻率相一致，時頻分析就具有最佳時頻聚集性，所以只要選擇合適的頻率彎曲參數(shù)，就可以實現(xiàn)對信號瞬時頻率的精確描述。

頻率彎曲算子的推廣令時頻分析描述信號頻率的變化更加自由，此時線性調(diào)頻小波變換可稱為非線性調(diào)頻小波變換，是cn=0的特例(n=3,…,k)。在數(shù)學上，Weierstrass證明了多項式級數(shù)可對閉區(qū)間上的任意連續(xù)函數(shù)一致逼近，因此頻率彎曲算子可對任意頻率隨時間連續(xù)變化的信號進行描述。

1.3 譜峰檢測法

峰值檢測的目的是為了獲得各時刻的瞬時頻率,但是時頻面上的峰值檢測需具有良好時頻能量聚集[11]。根據(jù)時頻譜圖在參考軸轉(zhuǎn)頻附近進行譜峰搜索，將峰值對應(yīng)的坐標看做該時間點的瞬時頻率，算法如下：

ni=ni±1,ni±2,…,ni∈(0,N-1)

(11)

式中：arg max表示參數(shù)取最大值(在此為k)；D為搜尋范圍；(ni,ki)為某坐標對應(yīng)的峰值，也即ni時刻對應(yīng)的瞬時頻率為ki。為了選取最優(yōu)的頻率彎曲參數(shù)，可先采用某一初始參數(shù)對信號進行粗略NCT分析；然后利用最小二乘法對時頻譜峰進行擬合，將擬合得到的多項式系數(shù)作為頻率彎曲參數(shù)，再次對信號進行NCT分析。NCT分析有限長度的信號時，由于能量泄漏產(chǎn)生端點效應(yīng)，可通過自適應(yīng)波形匹配延拓改善端點效應(yīng)，將失真部分隔離在待分析信號的外部[12]。

1.4 最小二乘擬合法

用最小二乘擬合法處理峰值檢測后得到的瞬時頻率數(shù)據(jù)。設(shè)該數(shù)據(jù)時-頻面上坐標為(tk,fk),k=1,2,…,以二階方程擬合為例,其擬合方程為:

ui(t)=at2+bt+m

(12)

擬合誤差ε的平方和為：

(13)

(14)

式(14)對應(yīng)的數(shù)字算法為：

(15)

式中：ΔL=nΔt,Δt=1/us，us為瞬時頻率，由STFT時窗每次滑動點數(shù)來確定n。

2 仿真實驗

本文采用如下仿真信號進行分析來證明連續(xù)非線性調(diào)頻小波變換在時頻分析方面的優(yōu)異性能。

對上述仿真信號運用連續(xù)非線性調(diào)頻小波變換方法進行處理，圖1、圖2為第一次NCT處理后的時-頻分布結(jié)果。從圖中可以看出，非線性調(diào)頻成分能量分布的頻帶相當寬，所以該時-頻分布的能量聚集性較差，所對應(yīng)的瞬時頻率曲線波動較大。當進行首次最小二乘法逼近后，其時-頻分布的能量聚集性有較大改善，瞬時頻率曲線波動幅度 降低，如圖3、圖4所示。當再次逼近該多項式系數(shù)時，時-頻分布能量聚集性再次得到改善，如圖5、圖6所示，在時-頻分布圖上能量聚集性表現(xiàn)非常突出，由此估計的時變信號的瞬時頻率曲線更加靠近非線性調(diào)頻信號的準確頻率。圖7、圖8是判定條件達到閾值時的最后一次逼近，此時瞬時頻率波動已趨于穩(wěn)定。

圖1 第1次NCT后的時-頻分布

圖2 第1次NCT后的瞬時頻率

圖3 第2次NCT后的時-頻分布

圖4 第2次NCT后的瞬時頻率

圖5 第3次NCT后的時-頻分布

圖6 第3次NCT后的瞬時頻率

圖7 第4次NCT后的時-頻分布

圖8 第4次NCT后的瞬時頻率

3 結(jié)束語

基于CNCT的瞬時頻率估計法在低信噪比的情況下優(yōu)于傳統(tǒng)的瞬時頻率估計方法。采用最小二乘擬合方法可以進一步有效地提高瞬時頻率估計精度。對于一般階次分析方法，本文的方法是對其的有力補充，尤其在旋轉(zhuǎn)機械處于變轉(zhuǎn)速工況的場合有突出的優(yōu)勢。仿真和實驗測試驗證了該方法的有效性。