☉山東省濱州市北鎮(zhèn)中學(xué)初中部 邢成云

“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”.蘇軾的《題西林壁》富有哲理地道出了觀察視角的不同，觀察的結(jié)果會迥異.解題亦然，由于解題者知識儲備的不同、認(rèn)知結(jié)構(gòu)的差異，對相同問題的思維視角可能相異，從而出現(xiàn)了解題思路的多向性.本文擬通過3個典型題目，多方聯(lián)想，廣開思路，轉(zhuǎn)換視角，追求從另一角度觀察與思考問題，在不同的路徑中演繹不一樣的精彩，藉此為載體，立足數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)，發(fā)展學(xué)生思維，提高學(xué)生學(xué)力.

例1 現(xiàn)行人教版八下教材《勾股定理》一章復(fù)習(xí)題17（P39）加進(jìn)了一道拓廣探索題（14題），題目如下：

設(shè)直角三角形的兩條直角邊長及斜邊上的高分別為a，b及h.求證

視角一（勾股定理）：如圖1，由勾股定理知，a2+b2=c2，

將其代入a2+b2=c2得a2+b2，=，

圖1

說明：由直角三角形的圖形，另由求證的結(jié)果中的平方關(guān)系，聯(lián)想到勾股定理應(yīng)該說是順乎其理；又由求證結(jié)論中出現(xiàn)h，不難想到面積的關(guān)系，通過“ab=ch”把勾股定理中的c代換掉（亦即“消除差異”法）.以上實踐見證了勾股定理與面積關(guān)系攜手的作用.另外，本題可以衍生出幾個問題：

（1）求證：AC2-BC2=AD2-DB2；

（3）求證：以邊長分別為a+b，c+h，h的三角形是直角三角形.

視角二（射影定理）：設(shè)BD=m，則a2=mc，b2=（c-m）c，h2=m（c-m），

即左邊=右邊，故得證.

說明：筆者通過課程整合，現(xiàn)任的初二學(xué)生已經(jīng)完成了相似性的學(xué)習(xí)，為了與高中接軌還引入了射影定理，鑒于此，由求證結(jié)論的外在結(jié)構(gòu)（出現(xiàn)a2，b2，h2這恰是射影定理的三個“冠頭”）聯(lián)想，射影定理派上用場.從證明過程可見，這個證明從等式的兩端分別入手計算，殊途同歸，用到的僅是分式的運(yùn)算，這無疑是自然的思路、大眾化的思路，但前提是要學(xué)過射影定理.可見，所謂自然思路一定是基于學(xué)生的現(xiàn)實的思路，這個現(xiàn)實又與課程標(biāo)準(zhǔn)的基本要求和執(zhí)教者在教學(xué)定位下促成學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”有關(guān).

由于sin2B+cos2B=1，又A+B=90°，則有sin2B+sin2A=1，

兩邊同時除以h2，得

說明：這一思路同樣是較高要求下的產(chǎn)物，三角關(guān)系式在新課標(biāo)中明令不再學(xué)習(xí)，但筆者帶領(lǐng)學(xué)生研究三角函數(shù)時，很自然地獲得這一關(guān)系，非刻意求之而得，可見，把這一關(guān)系式淡出筆者認(rèn)為沒有必要，實踐證明，學(xué)生完全可以接受它、學(xué)好它.本思路源自“1”的聯(lián)想以及銳角三角函數(shù)的定義式——線段之比.

點(diǎn)評：三個視角，三個思路，各有千秋，且均基于“自然生成”：有結(jié)論的平方關(guān)系，廣泛聯(lián)想與之相關(guān)的數(shù)學(xué)知識有勾股定理、射影定理、三角函數(shù)關(guān)系式等，由于注目點(diǎn)的不同、主觀意識的差異等，導(dǎo)致了思路的相異.實踐證明，在教學(xué)中適時拋給學(xué)生去思考、去解決，除了鞏固現(xiàn)實所學(xué)的成果外，更重要的是擴(kuò)展了學(xué)生的思路與視域，使得面對同樣的問題，思路不至于逼窄于一隅.廣泛的聯(lián)想產(chǎn)生相異的思路能助推學(xué)生想象的積極性，給學(xué)生以信心.因此，通透題目的條件展開廣泛聯(lián)想至關(guān)重要.

例2 如圖2，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分線，O是AB上一點(diǎn)，以O(shè)A為半徑的⊙O經(jīng)過點(diǎn)D.

（1）求證：BC是⊙O切線；

（2）若BD=5，DC=3，求AC的長.

解：（1）證明：略，如圖3.

圖2

圖3

（2）視角1：構(gòu)造對稱.

方法1：如圖4，過D作DE⊥AB于E.所以∠AED=∠C=90°.

又因為AD=AD，∠EAD=∠CAD，所以△AED≌△ACD.所以AE=AC，DE=DC=3.

圖4

在Rt△BED中，∠BED=90°，由勾股定理，得BE==4.

在Rt△ABC中，（BE+AE）2=AC2+BC2，解得AC=6.

方法2：如圖5，延長AC到E，使得AE=AB.

因 為 AD=AD，∠EAD=∠BAD，所以△AED≌△ABD.所以ED=BD=5.

在Rt△DCE中，∠DCE=90°，由勾股定理，得CE=4. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=BD+DC=8.

由勾股定理，得AC2+BC2=AB2，

圖5

即AC2+82=（AC+4）2.

解得AC=6.

方法3：如圖6，記AB與⊙O的交點(diǎn)為E，連接ED并延長交AC的延長線于點(diǎn)F（等價于通過點(diǎn)D作AD的垂線構(gòu)造對稱，其實也是由直徑想到直徑所對圓周角的構(gòu)成圖的進(jìn)一步完善）.

圖6

視角二：構(gòu)造等腰.

方法4：①如圖7，過點(diǎn)C作CE∥AB交AD的延長線于點(diǎn)E，易證△ECD∽△ABD，AC=EC，得，設(shè)AC=3k，則AB=5k，由勾股定理得AC2+BC2=AB2，即（3k）2+82=（5k）2，解得k=2，故AC=6.

圖7

圖8

方法5：②如圖8，過點(diǎn)B作BE∥AC交AD的延長線于點(diǎn)E，過程基本同于①，略.

方法6：③過點(diǎn)B作BE∥AD交AC于點(diǎn)E，過程略.

方法7：④過點(diǎn)D作DE∥AC交AB于點(diǎn)E（說明：等同于下面的視角三）.

視角三：直接利用圖中已有的相似模型，如圖3.

方法8：由（1）得OD∥AC，易證OD=OA，設(shè)OD=x，則AO=x，可有（AB-x）∶x=5∶3，x∶AC=5∶8，則AB=x，AC=x，根據(jù)勾股定理得 （x ）2= （x ）2+82，解得x=，故AC=6.

點(diǎn)評：基于角平分線問題解決的基本視角有二：一是構(gòu)造等腰三角形視角（源于“角分線+平行線=等腰三角形”，再借助相似）；二是對稱視角（借力全等的三類構(gòu)造）.另有直接利用圖中已有的模型切入，不需要構(gòu)造其它的輔助線.這是最基本的視角，在一定意義上，這是最經(jīng)濟(jì)的思路.可見，視角不同，視點(diǎn)不同，均可生發(fā)不同的思路.

（1）構(gòu)造對稱的路徑.因為角的平分線就是軸對稱圖形角的對稱軸的一部分，把它復(fù)原成對稱的形態(tài)就會顯露內(nèi)蘊(yùn)的特性，給解題帶來轉(zhuǎn)機(jī)或生機(jī)，打開思路.而構(gòu)造的具體方式多樣，常見的有三個：由角平分線上的關(guān)鍵點(diǎn)向角的兩邊作垂線段；過角平分線上關(guān)鍵點(diǎn)作它本身的垂線；根據(jù)需求沿對角線翻折等.例2第（2）問題的解答（視角一）作了較好的注解.

（2）構(gòu)造等腰的路徑.由于角平分線的存在，若選擇好節(jié)點(diǎn)作平行線，可呈現(xiàn)出等腰三角形的模型，同時一條平行線托出了相似基本圖，兩個模型的聯(lián)手，外加勾股定理的助力，形成多姿多彩的思路.

所謂第三個視角，無非是一種基于現(xiàn)有圖形的直接利用，可歸入視角二.

總之，基于角平分線的兩個視角都是大眾的、常規(guī)的、樸實的、自然的，不是高蹈玄妙的雜技.這些返璞歸真之法，便于促進(jìn)學(xué)生“基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗”的積累，是好的“念頭”.

例3 已知兩個有公共頂點(diǎn)的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，連接AF，M是AF的中點(diǎn)，連接MB、ME.

（1）如圖9，當(dāng)CB與CE在同一直線上時，求證：MB∥CF；

（2）如圖9，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的長；

（3）如圖10，當(dāng)∠BCE=45°時，求證：BM=ME.（只解答第（1）問）

圖9

圖10

思路一（見中點(diǎn)試旋轉(zhuǎn)）：延長BM交EF于D，如圖11.

因為∠ABC=∠CEF=90°，所以AB⊥CE，EF⊥CE，所以AB∥EF，所以∠BAM=∠DFM，

因為M是AF的中點(diǎn)，所以AM=MF，

所以△ABM≌△FDM（ASA），所以AB=FD，

因為BE=CE-BC，DE=EF-DF，所以BE=DE，

所以△BDE是等腰直角三角形，

所以∠EBM=45°.

因為在等腰直角△CEF中，∠ECF=45°，所以∠EBM=∠ECF，所以MB∥CF.

圖11

圖12

思路二（構(gòu)造中位線）：如圖12，延長AB交CF于點(diǎn)D，則易知△ABC與△BCD均為等腰直角三角形，所以AB=BC=BD，所以點(diǎn)B為線段AD的中點(diǎn).

又因為點(diǎn)M為線段AF的中點(diǎn)，所以MB為△ADF的中位線，所以MB∥CF.

思路三（斜邊中線）：連接CM，如圖13.

在等腰Rt△ABC和等腰Rt△CEF中，AB=BC，∠ACB=∠ECF=45°，

則∠ACF=90°，所以AM=MC=MF，所以∠MCF=∠MFC，

所以∠AMB=∠CMB.

又∠AMB+∠BMC=∠MCF+∠MFC，所以∠BMC=∠MCF，所以MB∥CF.

圖13

圖14

思路四（借助斜邊中線，構(gòu)造中位線）：延長MB交AC于N，如圖14.

同思路三知，△ABM≌△CBM，所以∠AMB=∠CMB，所以MN⊥AC（三線合一），即∠ANM=90°.

又∠ACF=90°，所以∠ANM=∠ACF，所以MB∥CF

點(diǎn)評：縱然四個思路的視角不同，但都是基于條件中的核心——“M是AF的中點(diǎn)”而展開的聯(lián)想.作為一個孤零零的中點(diǎn)，其作用是有限的，但讓中點(diǎn)變成相關(guān)的線，作用就不同了，筆者帶領(lǐng)學(xué)生總結(jié)出了相關(guān)中點(diǎn)的基本策略：“有中點(diǎn)試旋轉(zhuǎn)，莫要忘了中位線，直角三角形，斜邊中線試試看.”對本題而言，這一基本策略屢試不爽，形成了別樣的景觀.

一題一世界，一解一菩提.當(dāng)找不到解題思路，或者只按照常規(guī)思路來思考，可能會生發(fā)“山重水復(fù)疑無路”的困惑，升騰起“獨(dú)上高樓，望盡天涯路”的茫然；而在“衣帶漸寬終不悔”的苦苦追索之下，一旦找對了思路，或換一個視角來思考，就會獲得“柳暗花明”“豁然洞開”的愉悅.當(dāng)此，就有了“驀然回首，那人卻在燈火闌珊處”的驚喜！

寫在最后：從不同的角度、不同的方位、不同的層次去審視分析同一題目中的邏輯關(guān)聯(lián)或數(shù)量關(guān)系，往往會有別樣的思路或解法.課堂教學(xué)中，努力去營造一個接納的、支持性的、寬容的課堂氛圍，釋放學(xué)生的智慧潛能，若再適當(dāng)安排上文的案例活動，給足學(xué)生思維的空間，可以激發(fā)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、去創(chuàng)造的強(qiáng)烈欲望，加深學(xué)生對所學(xué)知識的深刻理解，訓(xùn)練學(xué)生對數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法的有效運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性和深刻性、靈活性和獨(dú)創(chuàng)性等思維品質(zhì)，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的學(xué)力及創(chuàng)造性思維，使得學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)落地.