☉山東省博興縣教學(xué)研究室 劉克光

☉山東省鄒平縣黃山實(shí)驗(yàn)初中 由學(xué)芹

我們有幸參加了本市2018的中考數(shù)學(xué)命題工作.試卷中第19題如下：如圖1，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，若AE=，∠EAF=45°，則AF的長(zhǎng)為___________.

圖1

現(xiàn)把本試題命制的過(guò)程、思考、感悟與大家分享如下.

一、試題的前世

第19題來(lái)自新課標(biāo)人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第60頁(yè)的課本例題：如圖2，E是正方形ABCD中邊CD上任意一點(diǎn)，以點(diǎn)A為中心，把△ADE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形.

例題分析1：旋轉(zhuǎn)變換的特征有三個(gè)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.

例題分析2：正方形的特征有三個(gè)，正方形的各邊都相等，恰好便于旋轉(zhuǎn)后邊的重合；正方形的內(nèi)角等于90°，恰好為本題中的旋轉(zhuǎn)角；經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)后所得三角形的邊BF，恰好在正方形的邊BC所在直線上.

圖2

例題分析3：正方形的特征決定了它本身是考查旋轉(zhuǎn)變換知識(shí)的很好載體.同樣正三角形等正多邊形也具有同樣的特征.

二、試題的今生

從此問(wèn)題出發(fā)，通過(guò)固定點(diǎn)E的位置，在正方形內(nèi)部作∠EAF，使其等于45°而得以下問(wèn)題：

圖3

題1：如圖3，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)E、F分別在CD、BC上，若AF=，且∠EAF=45°，則AE的長(zhǎng)為_________.

此問(wèn)題的突破口就是把△ADE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到“前世”的基本圖形（如圖4），利用∠BAF+∠DAE=45°， 證 明△AEF≌△AMF，得到MF=EF，在Rt△EFC中，利用勾股定理構(gòu)造方程，使問(wèn)題得以解決.

我們知道，一份考卷既是考查區(qū)分、學(xué)情反饋，同時(shí)又要發(fā)展師生、引領(lǐng)教學(xué).但是在本次整份試題的命制過(guò)程中，一是感覺(jué)對(duì)矩形知識(shí)的考查較弱，二是感覺(jué)此題的區(qū)分度還不夠，于是思考能否把題一中設(shè)置的情景置于矩形之中.就是在這樣的思考下，得到了試卷中的第19題.

圖4

圖5

試卷中19題分析：此題的背景是矩形，但可通過(guò)分割矩形得到正方形.取AD中點(diǎn)M，作MN⊥BC于N，交AF于點(diǎn)P，從而得到題45°，求AF的長(zhǎng).1的基本圖形，易求得MP=，根據(jù)中位線定理可求得DF=2MP=，在Rt△AFD中利用勾股定理可求得

三、試題的拓展

對(duì)試題進(jìn)行進(jìn)一步思考，如果改變題目中的條件，問(wèn)題能否得解呢？

變式1：如圖6，矩形ABCD的邊長(zhǎng)為AB=3，AD=6，若點(diǎn)E、F分別在BC、DC上，BE=1，且∠EAF=

圖6

變式2：如圖7，矩形ABCD的邊長(zhǎng)為AB=3，AD=6，若點(diǎn)E、F分別在線段BC、直線DC上，BE=，且∠EAF=45°，求AF的長(zhǎng).

圖7

變式3：如圖8，矩形ABCD的邊長(zhǎng)為AB=3，AD=6，若點(diǎn)E、F均在BC上，BE=，且∠EAF=45°，求AF的長(zhǎng).

圖8

變式4：如圖9，矩形ABCD的邊長(zhǎng)為AB=3，AD=8，若點(diǎn)E、F分別在BC、DC上，BE=2，且∠EAF=45°，求AF的長(zhǎng).

分析1：此題中，邊長(zhǎng)不是整數(shù)倍的關(guān)系，但我們可以類比以上問(wèn)題的解決方法，取AM=3，作MN⊥BC于點(diǎn)N，交AF于點(diǎn)P，可分割得到正方形.然后采用試題中第19題的方法求得MP=，根據(jù)平行線分線段成比例定理求得DF=＜DC，說(shuō)明點(diǎn)F在邊DC上，在Rt△AFD中利用勾股定理可求得

圖9

分析2：通過(guò)變式4的解答過(guò)程，我們可以看到邊長(zhǎng)為任意數(shù)的矩形問(wèn)題也可以通過(guò)轉(zhuǎn)化為正方形的問(wèn)題來(lái)解決，從而使學(xué)生真正體驗(yàn)到“千題萬(wàn)題不離母題”的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

四、試題命制過(guò)程的思考

1.維護(hù)學(xué)業(yè)水平考試的公平性、客觀性

源自教材的問(wèn)題背景，學(xué)生能從教材中找到它的影子，更易于接納并思考.面對(duì)這樣的問(wèn)題，學(xué)生的心理活動(dòng)是積極主動(dòng)的，因而可以有效激發(fā)學(xué)生的探究欲望，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，鼓勵(lì)學(xué)生的創(chuàng)造性思維.同時(shí)源于教材背景的問(wèn)題，更有利于學(xué)生找到解決問(wèn)題的切入點(diǎn)，提高思維的效率和效度，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，進(jìn)而掌握有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法.

2.積累解題方法，提高解題能力

問(wèn)題中的不變量，為試題的“前世、今生和拓展”搭橋.上述問(wèn)題中，無(wú)論它的前世、今生和拓展，都是借助了正方形的特殊性質(zhì)：四條邊都相等、四個(gè)角都是直角.正是有了這樣的圖形背景，為圖形的旋轉(zhuǎn)變換創(chuàng)造了必要的條件，為問(wèn)題的解決提供了思考方向，也為我們命制試題、解答問(wèn)題提供了方法支持.所以在教學(xué)中，我們要引導(dǎo)學(xué)生善于從變化中找到不變的特性，用“執(zhí)果索因”的聯(lián)想法，體會(huì)一題多變、多題同法之?dāng)?shù)學(xué)化歸思想的精髓，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

3.引領(lǐng)教學(xué)，告別題海

源于教材、又高出教材的原創(chuàng)命題，讓人會(huì)有“回味無(wú)窮、漸入佳境”的感覺(jué).面對(duì)這樣的問(wèn)題，勢(shì)必會(huì)引領(lǐng)教師重視教材，創(chuàng)造性地利用教材，告別題海，告別對(duì)題型的死訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生走上學(xué)習(xí)解題、積累方法、感悟思想、開發(fā)智慧的“數(shù)學(xué)育人”之路，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)傳授知識(shí)和技能，關(guān)注過(guò)程和方法，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)情感、積極的學(xué)習(xí)態(tài)度和正確的價(jià)值觀三維目標(biāo)的高效落實(shí).