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        平面幾何命題建議:回歸教材與堅守課標(biāo)
        ——從2018年北京中考卷第27題說起

        2018-08-31 03:27:08江蘇省泰州市姜堰區(qū)實驗初級中學(xué)許小燕
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2018年16期
        關(guān)鍵詞:中考教材

        ☉江蘇省泰州市姜堰區(qū)實驗初級中學(xué) 許小燕

        每年全國各地中考試卷幾百份,真是盡顯中國文化的豐富多樣.僅就平面幾何這一塊的考查來看,各地的考查重點、難點真可謂“天上人間”,國家層面的“課標(biāo)”對平面幾何的教學(xué)要求似乎都被一些地方的命題專家們忽視,只是在填寫命題“雙向細(xì)目表”時,才想起把自己刻苦、深入鉆研出來的幾何難題貼上教材上某頁某題是原型的標(biāo)簽.然而,作為首都北京的中考試題,在全卷倒數(shù)第二題竟然考查了一道教材上的經(jīng)典幾何題,讓很多人不解,認(rèn)為北京這是在降難度、送分給學(xué)生.然而筆者有不同看法,本文就從北京這道幾何綜合題說起,提出一些自己的思考,拋磚引玉.

        一、從北京考題說起

        考題 (2018年北京卷,第27題)如圖1,在正方形ABCD中,E是邊AB上的一動點(不與點A,B重合),連接DE,點A關(guān)于直線DE的對稱點為F,連接EF并延長交BC于點G,連接DG,過點E作EH⊥DE交DG的延長線于點H,連接BH.

        (1)求證:GF=GC;

        (2)用等式表示線段BH與AE的數(shù)量關(guān)系,并證明.

        圖1

        圖2

        思路簡述:

        (1)根據(jù)“點A關(guān)于直線DE的對稱點為F”想到連接DF,這樣待證的“GF=GC”在△CDG和△FDG中,只要證它們?nèi)燃纯?這樣思路就連通如下:

        先證△ADE≌△FDE,可得AD=DF,∠DFE=90°,再借助于正方形ABCD的邊長溝通出DF=DC,∠DFG=90°,于是Rt△CDG≌Rt△FDG.從而問題獲證.

        (2)先由(1)問“成果擴(kuò)大”,在圖2中,△ADE≌△FDE可帶來∠ADE=∠FDE,Rt△CDG≌Rt△FDG可帶來∠CDG=∠FDG,于是∠EDG=∠ADC=45°,進(jìn)一步,可確認(rèn)△DEH是等腰直角三角形.這時我們將問題刪減無關(guān)線條,得出圖3這樣的簡化圖形,當(dāng)然這也是一個熟悉的“教材圖形”(八年級平行四邊形一章中有類似習(xí)題).

        圖3

        圖4

        圖5

        一個典型證明思路:如圖4,在AD上截取AM=AE,構(gòu)造等腰直角三角形AME,再證出△DME≌△EBH.即可把BH轉(zhuǎn)化為ME,從而實現(xiàn)問題突破BH=ME=AE.

        二、回顧反思

        北京卷出來后,有些老師對這道考題很是不解,說北京卷“倒二”怎么考了一個“老掉牙”的考題?熟題出現(xiàn)在這么重要的位置,似乎有些不可思議.筆者有不同見解,以下先對兩個小問所涉及的基本圖形梳理如下:

        第(1)問涉及的所謂“半角模型”,如圖5,設(shè)E、G為正方形邊BC、CD上的點,則下列命題等價:

        ①∠EAG=45°;②△CEG的周長等于正方形ABCD周長的一半;③EG=BE+DG.

        第(2)問涉及一道教材經(jīng)典問題,如圖6,四邊形ABCD是正方形,點E是邊AB上一點,∠DEG=90°,EG交正方形外角的平分線BG于G.求證:DE=EG.

        圖6

        圖7

        圖8

        這道經(jīng)典問題各種版本教材上都有,除了上面提供的構(gòu)造思路是有效的,以下兩思路也是常見的:

        思路1:如圖7,在DA延長上截取AN=AE,構(gòu)造等腰直角三角形ANE,再證△DAE≌△BAN,進(jìn)一步證出平行四邊形BGEN;

        思路2:如圖8,連接BD,作EH//AD,交BD于H點,可證△DEH≌△EGB,獲證.

        三、關(guān)于幾何綜合題命制的思考

        第一,嚴(yán)守課標(biāo),中考平面幾何的命題不宜創(chuàng)新

        《義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》對第三學(xué)段平面幾何的各個知識點都有明確的要求,比如關(guān)于“圖形的相似”有如下表述:“了解相似三角形的判定定理:兩角分別相等的兩個三角形相似;兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似;三邊成比例的兩個三角形相似.”可以發(fā)現(xiàn),相似三角形的判定只是“了解”要求,而檢索各地中考試卷最后一道大題,涉及復(fù)雜相似的綜合題不在少數(shù),有些涉及需要多次相似,而且需要添加輔助線構(gòu)造相似來處理,對比課標(biāo)“了解”要求,似乎都有些超標(biāo)了.這樣來看,中考平面幾何的命題考題,就不必過分創(chuàng)新,特別是由某個平幾圖形出發(fā),深入挖掘圖形中的很多奇異性質(zhì),并精心偽裝,讓學(xué)生通過較為復(fù)雜的輔助線構(gòu)造,才能轉(zhuǎn)化為一種所謂的模式圖形或基本圖形,也許這些探究在平時的教學(xué)或課外拓展挑戰(zhàn)中更加適合一些,而對于中考這樣的全員參與式的“畢業(yè)、升學(xué)”兩考合一的考試命題來看,還是應(yīng)該嚴(yán)守課標(biāo)不走樣,不打擦邊球,特別是不能憑著命題組個別成員的平面幾何興趣,設(shè)計出一些個性化成分很高的較難平幾題,這是對課標(biāo)的理解和執(zhí)行不到位,需要對照課標(biāo)啟動問責(zé)的命題行為.在這里我們還可提及這樣一種事實:高考數(shù)學(xué)試卷中,往往也有一道平幾何試題,但是難度只相當(dāng)于中考試卷中的幾何的中檔題的難度;那些較難的平幾難題基本都是出現(xiàn)在高中數(shù)學(xué)競賽試題中,而高中數(shù)學(xué)競賽參與的學(xué)生只有極少數(shù).在這個人數(shù)比來看,有些中考試卷中設(shè)計出一些很難的平面幾何題作為把關(guān)題實在是出力不討好的尷尬做法.筆者就曾聽很多高中老師抱怨:“你們初中教了那么多的平幾難題,我們高中又不再學(xué)習(xí),何苦浪費很多學(xué)生時間,影響學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心與興趣呢?”

        第二,回歸教材,重視教材經(jīng)典問題的變式考查

        如上分析,嚴(yán)守課標(biāo)的平面幾何命題不宜過分創(chuàng)新,那么一個重要的操作方法就是回歸教材,重視教材經(jīng)典問題的變式考查.具體來說,初中教材上有很多例題、習(xí)題都有大量的經(jīng)典問題,這類問題教材上練過、講過.有些命題者一方面在寫“命題雙向細(xì)目表”時每道題都對應(yīng)著教材上相關(guān)例、習(xí)題,然而另一方面對所謂教材原型問題改編得面目全非,所謂原型出在教材第幾冊第幾頁,只是標(biāo)簽式的解釋,不值一駁.而北京卷這道正方形考題就給我們提供了如何把教材問題進(jìn)行變式考查的示范.也就是在經(jīng)典問題的呈現(xiàn)方式上進(jìn)行適度包裝,待學(xué)生解讀條件之后就會有熟悉的經(jīng)典問題出現(xiàn),從而順利解決問題,重在整理規(guī)范的幾何推理語句進(jìn)行表述和推理書寫.

        第三,理解數(shù)學(xué),平幾教學(xué)價值著力點在于推理

        根據(jù)章建躍博士提出的“三個理解”,其中理解數(shù)學(xué)是第一位的,不只是課堂教學(xué)需要理解數(shù)學(xué),對于命題(中考、期末、學(xué)業(yè)水平測試等各級考試命題)都需要把理解數(shù)學(xué)放在第一位.很多命題中的亂象,根本上說就是理解數(shù)學(xué)出了問題.比如平面幾何的命題,這些年不少地區(qū)以函數(shù)圖像為背景、平面直角坐標(biāo)系為平臺,引出平面幾何的一些復(fù)雜模型、各種變換后探求某些點的存在性,本質(zhì)上說這些問題都是平面幾何問題,與所給的坐標(biāo)系、函數(shù)圖像無甚聯(lián)系,雖然最后也要求點的坐標(biāo)、或某函數(shù)圖象的解析式,然而問題的真正難點是“超越課標(biāo)要求”的幾何模型與輔助線構(gòu)造,這就使得學(xué)生負(fù)擔(dān)加重,進(jìn)入題海,大量練習(xí)這些偽坐標(biāo)系考題,到頭來出現(xiàn)一些學(xué)者眼中的“怪怪的試題”(北京 賀信淳老師),既不是函數(shù)題,也不是平面幾何題.我們現(xiàn)在的義務(wù)教育階段仍然保留了平面幾何教學(xué)內(nèi)容,但隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展,平面幾何中也有很多繁難內(nèi)容需要舍棄,保留很多經(jīng)典內(nèi)容的教育價值主要為了發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力,而不是繁雜或奇異幾何性質(zhì)的學(xué)習(xí).因為義務(wù)教育階段平面幾何是普適性,面向全體學(xué)生,從這個角度看,“課標(biāo)(2011年版)”再次降低平面幾何的要求,特別是對圓的很多內(nèi)容、相似的要求不斷削弱是值得肯定的.相應(yīng)的,各級命題人員應(yīng)積極跟進(jìn),嚴(yán)格執(zhí)行國家層面課標(biāo)要求,降低中考對平面幾何的考查要求,回歸教材經(jīng)典習(xí)題的考查.對個別地區(qū)無視國家課標(biāo)要求的,“個性化”命制超標(biāo)幾何題的命題行為,教育行政主管部門要加強(qiáng)命題培訓(xùn)和試題評審,讓命題超標(biāo)現(xiàn)象越來越少.

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