李 俊，楊忠炯，2，張高峰，蔡岳林

（1.中南大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，長(zhǎng)沙 410083；2.中南大學(xué) 高性能復(fù)雜制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)沙 410083）

由于硬巖掘進(jìn)機(jī)（TBM）在工作過(guò)程中，基礎(chǔ)會(huì)產(chǎn)生強(qiáng)烈振動(dòng)，振動(dòng)會(huì)加劇膠管與管內(nèi)流體流固耦合作用，流體波動(dòng)也會(huì)加劇，流體瞬態(tài)變化會(huì)對(duì)下游液壓系統(tǒng)的元件產(chǎn)生較大沖擊且加劇膠管疲勞破壞[1–2]。因此研究液壓膠管在振動(dòng)情況下流固耦合特性是有必要的。

目前國(guó)內(nèi)外對(duì)液壓復(fù)合管研究主要集中在對(duì)其結(jié)構(gòu)強(qiáng)度、破壞機(jī)理的研究。楊忠炯[3–4]等人應(yīng)用層合板建立了強(qiáng)振動(dòng)環(huán)境下液壓膠管的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)仿真和實(shí)驗(yàn)計(jì)算了鋼絲層級(jí)間應(yīng)力分布、強(qiáng)振動(dòng)環(huán)境下液壓膠管的壽命。D.H.Su[5]根據(jù)液壓軟管集總參數(shù)建立其數(shù)學(xué)模型，研究管路系統(tǒng)為恒壓油源時(shí)，管徑和管長(zhǎng)對(duì)軟管出口液壓沖擊的影響規(guī)律；對(duì)液壓管路動(dòng)力學(xué)研究，目前主要集中在對(duì)硬管的研究。周進(jìn)行等人研究了TBM液壓硬管等效固有頻率以及管路失穩(wěn)的影響因素[6]。劉森研究分析了各種邊界條件（如兩端支撐狀態(tài)）和振動(dòng)參數(shù)對(duì)液壓硬管出口流體壓力脈動(dòng)特性影響規(guī)律[7]；王宇研究了高壓氣井管道動(dòng)力學(xué)模型并預(yù)測(cè)了氣體的不穩(wěn)定性對(duì)流體管道互動(dòng)效應(yīng)的影響規(guī)律[8]。ZHANG T X研究了振動(dòng)沖擊下液壓管路的可靠性模型，提出液壓管路普遍應(yīng)用的優(yōu)化方法[9]。Gü C Y分析了外界環(huán)境變化引起管路結(jié)構(gòu)行為變化的規(guī)律[10]。由此可知學(xué)者對(duì)液壓膠管的流固耦合動(dòng)力學(xué)尚未作出太多的研究。文中將液壓膠管看成是復(fù)合材料管，運(yùn)用復(fù)合材料力學(xué)、流體力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)建立液壓膠管軸向基礎(chǔ)振動(dòng)的流固耦合簡(jiǎn)化模型，并研究振動(dòng)參數(shù)和膠管結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)流體穩(wěn)定性影響規(guī)律，為TBM液壓管系設(shè)計(jì)提供理論支撐。

1 纏繞式液壓膠管軸向流固耦合模型

1.1 液壓膠管工程常數(shù)

液壓膠管一般由內(nèi)膠層、鋼絲增強(qiáng)層、外膠層組成。液壓膠管鋼絲增強(qiáng)層可以看做鋼絲和橡膠的復(fù)合層，將鋼絲看成復(fù)合材料纖維體，橡膠看成復(fù)合材料基體，由分析可知其縱向微觀模型為復(fù)合材料力學(xué)層合板模型中串聯(lián)模型如圖1（a）所示，橫向微觀模型為并聯(lián)模型如圖1（b）所示；其中方向1為鋼絲纏繞方向，方向2垂直于鋼絲纏繞方向。

圖1 彈性模量計(jì)算示意圖

從而可知其單層板的工程常量

E1、υ1為縱向彈性模量、泊松比；E2、υ2為橫向彈性模量、泊松比；Ef、υf為纖維的彈性模量、泊松比；Em、υm為基體的彈性模量、泊松比；G12、Gf、Gm為平面內(nèi)、纖維、基體剪切彈性模量；Vf為纖維所占的體積分量；Vm為基體所占的體積分量；

在材料處于線彈性狀態(tài)情況下，其應(yīng)力應(yīng)變遵守Hooke定律，即

式中：S為材料的柔度矩陣。根據(jù)單層板主方向的工程常數(shù)可得

對(duì)Sd求逆得到剛度矩陣Qd。

由于實(shí)際應(yīng)用中膠管的受力是沿著膠管軸向和徑向的，那么要對(duì)單層板剛度（1，2）矩陣進(jìn)行偏軸轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)為笛卡爾的剛度矩陣（x、y），其示意圖見(jiàn)圖2。

圖2 單層板分離體

由圖2可以分析出其轉(zhuǎn)化矩陣為

由分析可知其坐標(biāo)轉(zhuǎn)換角等于鋼絲的纏繞角?，奇數(shù)層(k=2n)取θ=?,偶數(shù)層(k=2n+1)取θ=-?，從而得到單層板的偏軸剛度矩陣

由于液壓膠管內(nèi)外層材料特性與復(fù)合層材料特性差異較大；經(jīng)典層板理論不適用于液壓膠管的整體彈性常數(shù)的推導(dǎo)。本文應(yīng)用P.C.Chou[11]應(yīng)用多層板宏觀模量分析方法。將偏軸剛度矩陣和內(nèi)外層橡膠的剛度矩陣代入文獻(xiàn)中的公式可得整體剛度矩陣Q，再次求其逆得液壓膠管的柔度矩陣S，可知液壓膠管的總體軸向工程常數(shù)

1.2 軸向振動(dòng)環(huán)境下纏繞式液壓膠管的流固耦合數(shù)學(xué)模型

1.2.1 假設(shè)條件

(1)膠管內(nèi)的流體無(wú)內(nèi)外熱量交換且為一維流體；

(2)將液壓膠管作為線性材料處理且橫觀軸向各向同性；

(3)模型中只考慮摩擦耦合和泊松耦合，忽略結(jié)構(gòu)阻尼和流體內(nèi)部阻尼；

(4)僅考慮流體擾動(dòng)沿軸向的變化且忽略徑向慣性力；

(5)只考慮流體與膠管的穩(wěn)態(tài)摩擦力；

(6)液壓膠管傾斜的角度α為900；

(7)液壓膠管安裝在沿膠管軸向做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的基礎(chǔ)上。其表達(dá)式為A1=Asin2πft，A、f為簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅、頻率（見(jiàn)圖3）。

圖3 液壓膠管理論模型

1.2.2 膠管軸向基礎(chǔ)振動(dòng)的流固耦合四方程模型

針對(duì)流體誘發(fā)液壓膠管振動(dòng)的研究，本文采用許多學(xué)者應(yīng)用的流固耦合四方程模型[12–1（3]該模型得到眾多學(xué)者的論證）和管路受迫振動(dòng)相結(jié)合的理論，通過(guò)與四方程模型相似的推導(dǎo)建立液壓膠管路軸向基礎(chǔ)振動(dòng)的流固耦合四方程模型（如式(7)至式(10）)。

流體軸向運(yùn)動(dòng)方程

流體連續(xù)性方程

膠管軸向運(yùn)動(dòng)方程

膠管的應(yīng)力-位移的關(guān)系方程

式中：V，P分別為流體的流速和壓力：uz，σz分別為膠管的軸向速度和軸向應(yīng)力；e，R分別為膠管的厚度和內(nèi)半徑；K為流體體積模量；ρf,ρt為流體密度和液壓膠管的密度，λf為流體與膠管的穩(wěn)態(tài)摩擦系數(shù)。

2 耦合模型特征線法求解

2.1 特征線方程[14]的推導(dǎo)

為了計(jì)算方便，將方程寫(xiě)成矩陣的形式

由分析可知式（12）的特征值方程

方程的特征根為

忽略p和cf2中ν2項(xiàng)可得

cf、ct分別表示液壓膠管流體壓力和管壁軸向應(yīng)力的古典波速為對(duì)應(yīng)的實(shí)際波速。

由分析可知A-1B可逆，那么肯定存在

將式（12）兩端同時(shí)乘以S-1A-1得

為了方便求解，不妨令轉(zhuǎn)換矩陣

由此式(19)可以轉(zhuǎn)化為

使用有限差分方法對(duì)這個(gè)難于解析的復(fù)雜偏微分方程進(jìn)行數(shù)值求解。求解過(guò)程中沿膠管軸向和時(shí)間方向按最小波速劃分最小網(wǎng)格，將膠管管道等分成N段，取Δt為時(shí)間步長(zhǎng)；各段的長(zhǎng)度Δz將平面轉(zhuǎn)化為如圖4所示的z－t特征線差分網(wǎng)格。

圖4 特征線差分網(wǎng)格

加入邊界條件選擇合適的Δt和Δz，應(yīng)用MATLAB[15]進(jìn)行編程用數(shù)值方法計(jì)算求解差分方程。

3 模型的應(yīng)用及分析

3.1 模型參數(shù)及邊界條件

根據(jù)實(shí)際液壓膠管在全斷面硬巖掘進(jìn)機(jī)中使用狀況取液壓膠管及所需仿真基本參數(shù)見(jiàn)表1。

表1 液壓膠管參數(shù)

膠管材料由普通的鋼絲(Q235)和丁晴橡膠(NBR)構(gòu)成，其參數(shù)如表2所示。

表2 材料參數(shù)

膠管內(nèi)流體的流速V0=5 m/s，進(jìn)口油壓P0=10 MPa，液壓油密度為890 kg/m3，穩(wěn)態(tài)摩擦系數(shù)λf=0.023；液壓油體積模量K=1 600 Mpa，l為管長(zhǎng)。

由上述參數(shù)可知其邊界條件為

進(jìn)口邊界條件

出口邊界條件

3.2 系統(tǒng)參數(shù)對(duì)泊松流固耦合振動(dòng)特性的影響

3.2.1 有無(wú)基礎(chǔ)振動(dòng)對(duì)流體振動(dòng)響應(yīng)影響

無(wú)基礎(chǔ)振動(dòng)和基礎(chǔ)振動(dòng)振幅為3 mm、頻率為35 Hz條件下液壓膠管出口壓力波動(dòng)見(jiàn)圖5。

圖5 有無(wú)基礎(chǔ)振動(dòng)條件下膠管出口壓力波動(dòng)對(duì)比圖

由圖5可知無(wú)基礎(chǔ)振動(dòng)時(shí)，膠管出口波動(dòng)較小，這是膠管流固耦合作用產(chǎn)生自激振動(dòng)引起的；有基礎(chǔ)振動(dòng)時(shí)膠管出口壓力波動(dòng)峰值是無(wú)基礎(chǔ)振動(dòng)時(shí)的1.12倍且波動(dòng)幅值明顯增大，這是自激振動(dòng)和外界強(qiáng)迫振動(dòng)共同作用的結(jié)果，其波形圖符合兩壓力波疊加的規(guī)律。

3.2.2 基礎(chǔ)振動(dòng)參數(shù)對(duì)流體振動(dòng)響應(yīng)影響

基礎(chǔ)振動(dòng)頻率為35 Hz振幅在1 mm到3 mm變化時(shí)，液壓膠管的出口壓力波動(dòng)見(jiàn)圖6。由圖可知，在振幅為1 mm到3 mm時(shí)，出口壓力最大值分別為10.316 Mpa、10.759 Mpa、11.208 Mpa，隨著基礎(chǔ)振動(dòng)幅值增大，液壓膠管出口壓力波動(dòng)幅值增大，且接近線性增加，振幅增加1mm，波動(dòng)幅值增加0.45 Mpa。穩(wěn)定狀態(tài)下其出口壓力平均值小于10 Mpa，這是因?yàn)橛胁糠謸p失的壓力能轉(zhuǎn)化為流體的勢(shì)能，一部分轉(zhuǎn)化為沿程損失的熱能。

圖6 振幅對(duì)膠管出口壓力影響規(guī)律

基礎(chǔ)振動(dòng)振幅為2 mm、頻率為15 Hz到100 Hz時(shí)膠管出口壓力波動(dòng)幅值如圖7所示。

圖7 頻率對(duì)壓力波動(dòng)幅值的影響規(guī)律

由圖7可知在15 Hz到40 Hz，出口波動(dòng)幅值逐漸增大且在40 Hz時(shí)波動(dòng)幅值達(dá)到最大值約為1.32 Mpa，在40 Hz到60 Hz時(shí)，其逐漸減小。這是由于系統(tǒng)共振頻率在40 Hz左右（文獻(xiàn)［3］已用實(shí)驗(yàn)測(cè)得系統(tǒng)的振動(dòng)頻率是38 Hz）。在60 Hz到80 Hz波動(dòng)幅值有上升的趨勢(shì)，80 Hz到100 Hz波動(dòng)幅值幾乎不變，這是因?yàn)殡S著頻率增加，外界傳遞的能量增加，加強(qiáng)了流固互動(dòng)作用的效果，而且這種作用是需要時(shí)間的，這才導(dǎo)致頻率繼續(xù)加大時(shí)壓力波動(dòng)幾乎不變。

3.2.3 結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)流體振動(dòng)響應(yīng)影響

基礎(chǔ)振動(dòng)振幅為2 mm、頻率為40 Hz的條件下，膠管長(zhǎng)度在0.5到3 m時(shí)，液壓膠管出口壓力峰值分布規(guī)律見(jiàn)圖8。

圖8 壓力峰值隨膠管長(zhǎng)度變化規(guī)律

由圖8可知，出口壓力波動(dòng)幅值在液壓膠管長(zhǎng)度在0.5 m到3 m的仿真區(qū)間內(nèi)逐漸減小，這是由于基礎(chǔ)振動(dòng)加在入口端，振動(dòng)傳遞過(guò)程是一個(gè)有阻尼的傳遞過(guò)程，離振源越遠(yuǎn)傳遞能量越小，沿管長(zhǎng)方向流固耦合作用逐漸減弱。

同樣振動(dòng)條件下，膠管長(zhǎng)度為1 m、膠管內(nèi)徑為8 mm至30 mm時(shí)，出口壓力峰值的變化規(guī)律見(jiàn)圖9。

由圖9可知，出口壓力波動(dòng)峰值在內(nèi)徑為8 mm至16 mm變化時(shí)先增大后減小，且最大值為11.32 Mpa，這是由于基礎(chǔ)振動(dòng)頻率接近液壓膠管內(nèi)徑在13 mm時(shí)的固有頻率。液壓膠管內(nèi)徑從16 mm至30 mm變化時(shí)，出口壓力波動(dòng)峰值逐漸減小后趨于穩(wěn)定，這是由于流體域增加，使流固耦合作用減弱，液壓膠管傳遞到流體振動(dòng)能量減弱。

圖9 壓力峰值隨膠管內(nèi)徑變化規(guī)律

基礎(chǔ)振動(dòng)振幅為2 mm，頻率為35 Hz，液壓膠管等效泊松比為0.2到0.5時(shí)，液壓膠管的出口壓力波動(dòng)見(jiàn)圖10。

圖10 壓力波動(dòng)峰值隨膠管泊松比變化規(guī)律

由圖10可知液壓膠管的出口壓力波動(dòng)幅值隨著泊松比增加而增大，在泊松比為0.3和0.4時(shí)壓力波動(dòng)峰值相對(duì)于泊松比為0.2時(shí)分別增大了20 kpa和50 kpa，說(shuō)明泊松比對(duì)膠管流固耦合的影響不能忽略。

4 結(jié)語(yǔ)

（1）基礎(chǔ)振動(dòng)下液壓膠管出口壓力波動(dòng)是系統(tǒng)的自激振動(dòng)和強(qiáng)迫振動(dòng)共同作用的結(jié)果，其波形圖符合波的疊加規(guī)律。

（2）液壓膠管出口壓力波動(dòng)幅值隨基礎(chǔ)振動(dòng)振幅呈線性增加，頻率在40 Hz時(shí)，波動(dòng)幅值達(dá)到最大，振動(dòng)最為劇烈，此時(shí)振動(dòng)頻率接近系統(tǒng)固有頻率。

（3）膠管出口壓力峰值隨液壓膠管長(zhǎng)度增加而減小，隨膠管內(nèi)徑增加先增大后減小，而且膠管泊松比對(duì)其影響不能忽略。

（4）外界振動(dòng)會(huì)增強(qiáng)流體與液壓膠管間互動(dòng)效應(yīng)，但是可以通過(guò)優(yōu)化液壓膠管參數(shù)來(lái)削弱這種效應(yīng)。