陳士云，范元勛，雷建杰

(南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，南京 210094)

0 引言

行星滾柱絲杠與滾珠絲杠類似，是一種將螺旋運(yùn)動轉(zhuǎn)化為直線運(yùn)動的裝置，其主要由絲桿、滾柱以及螺母三部分組成，并巧妙的將行星運(yùn)動與螺旋運(yùn)動結(jié)合在一起。行星滾柱絲杠具有承載能力強(qiáng)、剛度大、效率高、磨損小以及壽命長等優(yōu)點(diǎn)，目前，主要應(yīng)用在航空航天、精密機(jī)床、工業(yè)機(jī)器人、醫(yī)療器械以及精密光學(xué)儀器等高速重載或精密傳動領(lǐng)域[1]。

行星滾柱絲杠嚙合接觸狀態(tài)(既嚙合間隙量或干涉量)對其傳動性能有著很大的影響。行星滾柱絲杠在傳動間隙較大時會導(dǎo)致伺服系統(tǒng)難以實(shí)現(xiàn)精確的位置控制[2]；同樣，過多干涉會導(dǎo)致行星滾柱絲杠預(yù)緊力過高，摩擦磨損加劇，壽命降低[3]。行星滾柱絲杠的嚙合接觸狀態(tài)成為影響行星滾柱絲杠傳動性能的關(guān)鍵因素之一。

在行星滾柱絲杠嚙合接觸特性分析研究方面，趙英等將行星滾柱絲杠嚙合接觸區(qū)離散成多個平面，在離散的平面內(nèi)分析行星滾柱絲杠嚙合接觸狀態(tài)[4]。Velinsky S A 等基于空間螺旋曲線的Frenet坐標(biāo)系對行星滾柱絲杠嚙合點(diǎn)的位置進(jìn)行了計(jì)算[5]。徐強(qiáng)等對PWG型行星滾柱絲杠嚙合接觸干涉進(jìn)行了分析，提出了通過調(diào)整滾柱與絲桿嚙合中心矩的方法以消除嚙合干涉現(xiàn)象[6]。付曉軍等通過建立滾柱、絲桿以及螺母螺旋曲面方程，推導(dǎo)出行星滾柱絲杠嚙合方程，但并沒有考慮嚙合干涉問題[7]。

行星滾柱絲杠具有空間螺旋行星傳動的基本屬性，其嚙合點(diǎn)的分布具有空間特點(diǎn)，需要建立空間模型才能對其嚙合接觸狀態(tài)進(jìn)行定量分析。本文基于行星滾柱絲杠的特點(diǎn)，建立行星滾柱絲杠螺旋曲面方程。由于空間螺旋曲面嚙合問題的求解十分復(fù)雜，為簡化計(jì)算，對行星滾柱絲杠嚙合接觸區(qū)域進(jìn)行了分析，并將嚙合區(qū)螺旋曲面離散成有限個數(shù)的點(diǎn)，進(jìn)而對其嚙合接觸狀態(tài)進(jìn)行快速求解。在SolidWorks中對行星滾柱絲杠建模并虛擬裝配，對其干涉量進(jìn)行分析，分析結(jié)果與本文提出的計(jì)算方法所得結(jié)果一致，驗(yàn)證了方法的正確性。在嚙合分析計(jì)算的基礎(chǔ)上，提出了通過調(diào)整絲桿螺紋幾何中徑的方法以消除行星滾柱絲杠在實(shí)際裝配過程中的干涉問題，理論分析計(jì)算結(jié)果與實(shí)際加工裝配情況一致，驗(yàn)證了方法和分析結(jié)果的有效性。

1 螺旋曲面方程

1.1 坐標(biāo)系的建立

根據(jù)行星滾柱絲杠的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，建立如圖1所示的空間坐標(biāo)系。主要有固定坐標(biāo)系(Oxyz)、滾柱坐標(biāo)系(ORxRyRzR)、滾柱截面坐標(biāo)系(Orxryrzr)、絲桿截面坐標(biāo)系(Osxsyszs)、螺母截面坐標(biāo)系(Onxnynzn)。圖中，rs、rr、rn分別表示滾柱、絲桿和螺母螺旋面幾何半徑(即螺紋中徑)，a為嚙合中心距，即滾柱軸線與絲桿軸線之間的距離。

圖1 嚙合接觸分析坐標(biāo)系

1.2曲面方程

行星滾柱絲杠牙型輪廓如圖2a、圖2b、以及圖2c所示，圖中P0表示螺距，Rr為滾柱型面圓弧半徑，β為型面牙型半角。

圖2 絲桿、螺母及滾柱牙型輪廓

考慮到對稱性，僅對行星滾柱絲杠滾柱、絲桿以及螺母一側(cè)螺旋曲面建立參數(shù)方程。

滾柱左側(cè)母線上一點(diǎn)M在滾柱坐標(biāo)系中的參數(shù)方程為：

(1)

式中，ur為角參變量，xrM、yrM、zrM為M點(diǎn)在滾柱坐標(biāo)系中坐標(biāo)。

該母線繞滾柱軸線做螺旋運(yùn)動所形成的螺旋曲面參數(shù)方程為[8]：

(2)

式中，θr為滾柱母線繞滾柱軸線zr的轉(zhuǎn)角，Pr為滾柱導(dǎo)程，一般有Pr=P0。

同理，絲桿右側(cè)母線繞絲桿軸線z形成的螺旋曲面可以分別表示為：

(3)

式中，θs為絲桿右側(cè)母線繞絲桿軸線z的轉(zhuǎn)角，Ps為絲桿導(dǎo)程，有Ps=nsP0，ns為絲桿頭數(shù)，us為參變量。

螺母右側(cè)母線繞螺母軸線z形成的螺旋曲面可以分別表示為：

(4)

式中，θn為螺母右側(cè)母線繞絲桿軸線z的轉(zhuǎn)角，Pn為螺母導(dǎo)程，有Pn=nnP0，nn為螺母頭數(shù)，un為參變量。

螺母螺旋面與絲桿螺旋面坐標(biāo)系與固定坐標(biāo)系重合，滾柱坐標(biāo)系與固定坐標(biāo)系滿足下式:

(5)

根據(jù)矩陣運(yùn)算法則，式中需假設(shè)一個新的參數(shù)t=tR=1[8]，a嚙合中心距距離。

2 嚙合狀態(tài)計(jì)算

嚙合狀態(tài)計(jì)算的目的是：通過改變行星滾柱絲杠絲桿、滾柱、螺母螺紋的相關(guān)參數(shù)，理論上精確控制行星滾柱絲杠的嚙合干涉量或嚙合間隙量。

由于用解析法計(jì)算一對空間螺旋曲面的嚙合問題十分復(fù)雜，文獻(xiàn)[4]將螺旋曲面離散成有限個相互平行的平面內(nèi)的曲線，然后對曲線接觸情況進(jìn)行分析，但該方法對復(fù)雜螺旋曲面的求解依然有一定的難度。本文對文獻(xiàn)[4]方法進(jìn)行改進(jìn)，將螺旋曲面離散成有限個數(shù)的點(diǎn)，求解相應(yīng)點(diǎn)的軸向距離，從而對行星滾柱絲杠嚙合狀態(tài)進(jìn)行精確求解。以滾柱與絲桿嚙合狀態(tài)仿真計(jì)算為例，具體步驟如下：

(1)將滾柱、絲桿螺旋曲面離散成有限個點(diǎn)。為減小計(jì)算量，僅對滾柱、絲桿螺旋曲面可能出現(xiàn)嚙合接觸的區(qū)域(如圖3陰影部分)離散成有限個點(diǎn)。得到行星滾柱絲杠端面(XOY平面)內(nèi)滾柱、絲桿嚙合接觸區(qū)離散點(diǎn)坐標(biāo)PRSi(xRSi,yRSi)。

圖3 嚙合接觸區(qū)域示意圖

(2)求解PRSi點(diǎn)處滾柱與絲桿螺旋曲面上點(diǎn)軸向坐標(biāo)值。將式：

(6)

代入滾柱螺旋曲面方程(2)可以求解出PRSi點(diǎn)處滾柱螺旋曲面坐標(biāo)PRi(xRSi,yRSi,zRi)。同理將式(6)代入式(3)可以求出PRSi點(diǎn)處絲桿螺旋曲面坐標(biāo)PSi(xRSi,yRSi,zSi)。

(3)求解嚙合干涉量或嚙合間隙量。通過計(jì)算點(diǎn)PRi、PSi在z軸方向坐標(biāo)差值即可得出螺旋曲面軸向干涉或軸向間隙量。同時沿z軸坐標(biāo)方向，坐標(biāo)差值最小點(diǎn)為嚙合點(diǎn)。

(4)改變滾柱或絲桿螺紋參數(shù)，循環(huán)計(jì)算，直到得到滿足實(shí)際需求嚙合狀態(tài)，得到實(shí)際裝配螺紋參數(shù)。

滾柱與螺母的嚙合狀態(tài)計(jì)算和滾柱與絲桿計(jì)算類似，不再贅述。

3 算法實(shí)現(xiàn)與驗(yàn)證

在Matlab中對上述算法進(jìn)行編程實(shí)現(xiàn)。為驗(yàn)證算法的正確性，通過改變絲桿、螺母螺紋幾何中徑，使用本文計(jì)算方法計(jì)算行星滾柱絲杠嚙合干涉量，同時在SolidWorks中建立行星滾柱絲杠虛擬裝配模型[9]，對行星滾柱絲杠嚙合干涉量進(jìn)行計(jì)算，將所得到的結(jié)果進(jìn)行對比。

根據(jù)行星滾柱絲杠運(yùn)動特性，計(jì)算出如表1所示行星滾柱絲杠理論幾何參數(shù)[10]。

表1 行星滾柱絲杠理論幾何參數(shù)

使用本文所述嚙合狀態(tài)計(jì)算方法對表1參數(shù)行星滾柱絲杠嚙合狀態(tài)進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算時絲桿和滾柱的嚙合中心距采用理論值a=13mm。

在對嚙合狀態(tài)進(jìn)行計(jì)算時，本文方法計(jì)算結(jié)果為螺旋面軸向距離，負(fù)值為嚙合干涉狀態(tài)，正值為嚙合間隙狀態(tài)。在SolidWorks中進(jìn)行虛擬裝配時，嚙合干涉狀態(tài)計(jì)算所得結(jié)果為干涉體積,虛擬裝配模型如圖4所示。滾柱和絲桿嚙合干涉量計(jì)算部分結(jié)果如表2所示。

圖4 行星滾柱絲杠虛擬裝配

絲桿幾何中徑直徑(mm)虛擬裝配(mm3)本文算法(mm)19.52.17-2.07×10-219.491.25×10-3-1.57×10-219.485.81×10-4-1.07×10-219.471.66×10-4-5.7×10-319.462.71×10-6-7.31×10-419.45865.46×10-9-3.13×10-519.458544×10-11-1.25×10-619.45852 0(無干涉)8.75×10-6

從表2中可以看出，隨絲桿幾何中徑的減小，SolidWorks中虛擬裝配計(jì)算所得到的干涉量體積變化趨勢與本文算法所計(jì)算干涉量變化趨勢一致。虛擬裝配與本文算法計(jì)算所得結(jié)果均顯示為絲桿幾何中徑在19.45852mm時，存在嚙合間隙，絲桿幾何中徑在19.45854mm時存在嚙合干涉，可得兩種計(jì)算方法所得零側(cè)隙嚙合狀態(tài)下絲桿中徑直徑均為(19.45852mm，19.45854mm)區(qū)間內(nèi)，本文方法計(jì)算結(jié)果與SolidWorks中虛擬裝配計(jì)算結(jié)果吻合。且通過本文方法計(jì)算，可將滾柱和絲桿軸向螺旋面軸向距離控制在10-5mm以內(nèi)。滾柱和螺母之間嚙合干涉計(jì)算驗(yàn)證與滾柱和絲桿計(jì)算方法相同，其計(jì)算結(jié)果與虛擬裝配計(jì)算結(jié)果吻合。此外，在對多種不同規(guī)格行星滾柱絲杠進(jìn)行計(jì)算驗(yàn)證時，本文方法計(jì)算結(jié)果均與虛擬裝配計(jì)算結(jié)果相符，而且均可以將軸向間隙控制在0.001mm以內(nèi)，完全滿足實(shí)際工程需求，證明了算法的正確性及實(shí)用性。

4 嚙合干涉消除

由上文計(jì)算可知，當(dāng)行星滾柱絲杠絲桿和滾柱以理論中心距a=rr+rs進(jìn)行裝配時，會出現(xiàn)嚴(yán)重的干涉現(xiàn)象，計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[6，10]所述相同。對表1中所給參數(shù)行星滾柱絲杠進(jìn)行計(jì)算時，得到絲桿與滾柱嚙合軸向距離分布如圖5左圖所示，可以看出，滾柱與絲桿嚙合區(qū)域干涉明顯。實(shí)際計(jì)算結(jié)果中螺旋面最小軸向距離為-0.0207mm，嚙合干涉區(qū)很大，嚙合點(diǎn)在行星滾柱絲杠端面內(nèi)投影坐標(biāo)為Pxy(9.7648,0.3191)。

圖5 滾柱與絲桿軸向距離分布

通過實(shí)例計(jì)算可以看出，在通過調(diào)整絲桿幾何中心距調(diào)整絲桿與滾柱的嚙合干涉量時，不改變嚙合點(diǎn)在行星滾柱絲杠端面內(nèi)投影位置。在對多種其它規(guī)格行星滾柱絲杠進(jìn)行計(jì)算時，所得到結(jié)果相同。通過調(diào)整絲桿幾何中徑，在達(dá)到消除嚙合干涉的同時，不影響行星滾柱絲杠的運(yùn)動特性[11]。

在按理論參數(shù)對螺母與滾柱嚙合干涉量進(jìn)行計(jì)算時，螺母與滾柱間無干涉現(xiàn)象，與實(shí)際裝配情況相符。在對行星滾柱絲杠進(jìn)行設(shè)計(jì)時，可以通過適當(dāng)調(diào)整螺母幾何中徑值實(shí)現(xiàn)對滾柱和螺母之間的預(yù)緊量或間隙量進(jìn)行調(diào)節(jié)，且不改變滾柱與螺母嚙合點(diǎn)在行星滾柱絲杠端面內(nèi)投影位置，即不改變行星滾柱絲杠的運(yùn)動特性。

5 結(jié)論

(1)文中通過建立了行星滾柱絲杠螺旋曲面嚙合的空間坐標(biāo)系及螺旋曲面方程，將螺旋曲面離散成有限個點(diǎn)，對行星滾柱絲杠嚙合干涉量定量分析計(jì)算，并通過虛擬裝配驗(yàn)證了方法的正確性；

(2)通過對絲桿、螺母幾何中徑對行星滾柱絲杠裝配干涉量影響分析計(jì)算，提出調(diào)整絲桿、螺母幾何中徑的方法實(shí)現(xiàn)消除或控制嚙合干涉量，且對絲桿、滾柱螺紋幾何中徑的調(diào)整不改變行星滾柱絲杠運(yùn)動特性，在實(shí)際加工裝配中，通過調(diào)整絲桿螺紋幾何中徑有效的控制了干涉問題。