，，

(1.中國電建集團(tuán)華東勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院有限公司，浙江 杭州 310014；2.杭州強(qiáng)夯基礎(chǔ)工程有限公司，浙江 杭州 310014)

0 引言

分?jǐn)?shù)階微積分FOC(fractional order calculus)是求解任意階次微、積分的一種數(shù)學(xué)方法，其為整數(shù)階微積分的自然延伸。FOC理論的研究已有300多年的歷史，早在 1695年 ，Hospital L與Leibnitz G W就對(duì)某個(gè)函數(shù)的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)問題進(jìn)行過討論[1]。由于當(dāng)時(shí)FOC缺乏明確的物理意義及有效的數(shù)學(xué)工具，致使FOC理論發(fā)展較為緩慢，故在實(shí)際應(yīng)用中大都采用整數(shù)階的概念。直至1974年，在流變學(xué)、電化學(xué)、分形學(xué)及電力傳輸線理論等領(lǐng)域出現(xiàn)了FOC的應(yīng)用背景，F(xiàn)OC理論才逐漸被國內(nèi)外學(xué)者所重視。隨著FOC數(shù)值算法的不斷發(fā)展、各種分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)的不斷提出，更加推動(dòng)了分?jǐn)?shù)階控制理論的發(fā)展，尤其是在20世紀(jì)末，F(xiàn)OC理論在控制系統(tǒng)中的應(yīng)用已取得一些成果[2-5]。

FOC算子sα的數(shù)字實(shí)現(xiàn)是應(yīng)用分?jǐn)?shù)階控制理論的基礎(chǔ)，由于sα通常是復(fù)變量的無理函數(shù)，故其在實(shí)際應(yīng)用中難以直接實(shí)現(xiàn)，此時(shí)需進(jìn)行有理化近似，即采用高階有理傳遞函數(shù)對(duì)上述無理函數(shù)進(jìn)行逼近。目前，常見的有理近似方法有多種，比較有代表性有：CFE法、Carlson法、Chareff法、Matsuda法及Oustaloup濾波算法等，其中又以O(shè)ustaloup濾波算法應(yīng)用最為廣泛[2-3]。

標(biāo)準(zhǔn)Oustaloup濾波算法對(duì)FOC算子的幅頻、相頻特性具有很好的逼近效果，且擬合頻率段范圍較大，但其在擬合頻率段端點(diǎn)附近的逼近效果相對(duì)較差。為改善上述缺陷，薛定宇等[4]對(duì)原算法進(jìn)行了改進(jìn)，提出一種改進(jìn)Oustaloup濾波算法。分析上述算法可知，參數(shù)b與d的數(shù)值大小，將直接影響到改進(jìn)Oustaloup濾波算法對(duì)分?jǐn)?shù)階微分算子sa的逼近精度，文獻(xiàn)[4]已給出其推薦值(b=10，d=9)，但它在擬合頻域段[wl,wh]端點(diǎn)附近的擬合效果仍不夠理想。鑒此，為進(jìn)一步提高上述改進(jìn)算法的逼近精度，利用文獻(xiàn)[6]提出的改進(jìn)自適應(yīng)混沌粒子群優(yōu)化算法(IACPSO算法)對(duì)參數(shù)b與d進(jìn)行整定，進(jìn)而使改進(jìn)Oustaloup濾波算法在擬合頻域段內(nèi)達(dá)sa到實(shí)際幅頻、相頻特性的近似最優(yōu)逼近。

1 標(biāo)準(zhǔn)Oustaloup濾波算法及其改進(jìn)算法

1.1 標(biāo)準(zhǔn)Oustaloup濾波算法

標(biāo)準(zhǔn)Oustloup濾波算法采用有理函數(shù)級(jí)聯(lián)的方式實(shí)現(xiàn)了對(duì)該無理函數(shù)的逼近，它的具體表達(dá)式為：

(1)

(2)

由式(1)可以看出，為實(shí)現(xiàn)對(duì)FOC算子sα的合理逼近，標(biāo)準(zhǔn)Oustaloup濾波算法需滿足wμ=(wlwh)1/2=1的要求，即wlwh=1。

1.2 改進(jìn)Oustaloup濾波算法

標(biāo)準(zhǔn)Oustaloup濾波算法對(duì)FOC算子的幅頻、相頻特性均有很好近似，且近似頻率段的范圍相對(duì)較大，但它在頻率段端點(diǎn)附近逼近效果較差。為改善上述缺陷，文獻(xiàn)[4]提出了一種改進(jìn)Oustaloup濾波算法，其實(shí)質(zhì)為在標(biāo)準(zhǔn)Oustaloup濾波算法前增加一個(gè)濾波器，它的具體表達(dá)式為：

sa≈Go(s)

(3)

(4)

2 基于最優(yōu)參數(shù)的改進(jìn)Oustaloup濾波算法

2.1 目標(biāo)函數(shù)的確定

為定量評(píng)價(jià)改進(jìn)Oustaloup濾波算法對(duì)分?jǐn)?shù)階微分算子sα幅頻、相頻特性的逼近精度，分別對(duì)擬合頻域段[wl,wh]內(nèi)的頻率與幅度絕對(duì)誤差乘積積分以及頻率與相位絕對(duì)誤差乘積積分進(jìn)行了定義，其計(jì)算公式分別為：

(5)

(6)

由式(5)與式(6)可知，ME與PE值越小，則說明改進(jìn)Oustaloup濾波算法對(duì)sα幅頻、相頻特性的逼近精度越高。此外，為便于IACPSO算法對(duì)b與d進(jìn)行參數(shù)尋優(yōu)，將ME與PE的加權(quán)和作為參數(shù)b與d的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，即：

(7)

α1與α2為加權(quán)系數(shù)，用于調(diào)整幅頻及相頻特性近似的側(cè)重，取α1=0.9，α2=0.1。

2.2 參數(shù)設(shè)置及尋優(yōu)過程

IACPSO算法的參數(shù)設(shè)置為：wmax=0.9，wmin=0.4，c1max=c2max=2.5，c1min=c2min=0.5，閾值δ=5，適應(yīng)度閾值fδ=0.1，η1=0.5，η2=10 000，自適應(yīng)調(diào)節(jié)系數(shù)β=0.5，混沌迭代次數(shù)Cmax=10，算法種群規(guī)模N=20，最大迭代次數(shù)Tmax=100；改進(jìn)Oustaloup濾波算法的參數(shù)設(shè)置為：wl=10-3，wh=103，擬合階次N=6，參數(shù)優(yōu)化范圍為0

為直觀反映出改進(jìn)Oustaloup濾波算法參數(shù)b與d的尋優(yōu)過程，圖1與圖2分別示出了該過程的適應(yīng)度值收斂曲線以及改進(jìn)Oustaloup濾波算法最優(yōu)參數(shù)的收斂曲線。由圖1與圖2可知，由于需確定的參數(shù)僅有2個(gè)，故IACPSO算法只經(jīng)過20代左右的優(yōu)化計(jì)算，b與d的參數(shù)尋優(yōu)過程就已基本收斂，最終得到的最優(yōu)參數(shù)為b=5.387 8，d=0.752 6，此時(shí)MPE=0.081 3。

圖1 最優(yōu)適應(yīng)度值收斂曲線

圖2 改進(jìn)Oustaloup濾波算法參數(shù)的收斂曲線

2.3 參數(shù)設(shè)置及尋優(yōu)過程

為了驗(yàn)證基于最優(yōu)參數(shù)(b=5.387 8，d=0.752 6)的改進(jìn)Oustaloup濾波算法的有效性，利用該算法對(duì)分?jǐn)?shù)階微分算子sα(0<α<1)進(jìn)行整數(shù)階近似，并與標(biāo)準(zhǔn)Oustaloup濾波算法及基于推薦參數(shù)(b=10，d=9)的改進(jìn)Oustaloup濾波算法進(jìn)行對(duì)比，其中各算法的擬合階次N=6，擬合頻域段為[10-3,103]。上述各算法所對(duì)應(yīng)的s0.5頻域特性曲線如圖3所示，表1給出了各算法下s0.5的幅值與相位值。

圖3 分?jǐn)?shù)階微分算子s0.5的頻域特性曲線

結(jié)合圖3的幅頻、相頻特性曲線及表1中數(shù)據(jù)可知，在擬合頻域段[10-3,103]端點(diǎn)附近，基于最優(yōu)參數(shù)的改進(jìn)Oustaloup濾波算法對(duì)s0.5的幅、頻特性有最好的逼近效果，其次是基于推薦參數(shù)的改進(jìn)Oustaloup濾波算法，標(biāo)準(zhǔn)Oustaloup濾波算法則逼近效果最差。以角頻率等于10-3rad/s為例，在對(duì)s0.5幅頻特性逼近方面，標(biāo)準(zhǔn)Oustaloup濾波算法與基于推薦參數(shù)的改進(jìn)Oustaloup濾波算法所對(duì)應(yīng)的幅值分別為-28.578 dB與-29.597 dB，其與實(shí)際值(-30 dB)的相對(duì)誤差分別為4.740%與1.343%，而基于最優(yōu)參數(shù)的改進(jìn)Oustaloup濾波算法的相對(duì)誤差僅為0.026 7%，較上述兩種算法，分別下降了99.43%、98.01%；同時(shí)，在對(duì)s0.5相頻特性逼近方面，標(biāo)準(zhǔn)Oustaloup濾波算法與基于推薦參數(shù)的改進(jìn)Oustaloup濾波算法所對(duì)應(yīng)的相位值分別為22.495 dB與48.296 dB，其與實(shí)際值(45 dB)的相對(duì)誤差分別為50.01%、7.324%，而基于最優(yōu)參數(shù)的改進(jìn)Oustaloup濾波算法的相對(duì)誤差僅為0.688 9%，較上述兩種算法，則分別下降了98.62%、90.59%。綜上可知，b取5.387 8、d取0.752 6對(duì)提升改進(jìn)Oustaloup濾波算法在擬合頻域段端點(diǎn)附近的逼近精度具有明顯地促進(jìn)作用。此外可見，基于最優(yōu)參數(shù)的改進(jìn)Oustaloup濾波算法的理想擬合頻域段也得到較為明顯的擴(kuò)展，由原先設(shè)定的[10-3,103]擴(kuò)展到[10-4,104]左右，這在某種程度上彌補(bǔ)了改進(jìn)Oustaloup濾波算法僅在設(shè)定頻域段具有較高逼近精度的不足。

為驗(yàn)證基于最優(yōu)參數(shù)的改進(jìn)Oustaloup濾波算法是否對(duì)任意階次(0<α<1)的分?jǐn)?shù)階微分算子均具有更高的逼近精度，圖4與圖5分別示出了各算法所對(duì)應(yīng)的ME，PE的對(duì)數(shù)值與分?jǐn)?shù)階微分算子階次α的關(guān)系曲線，其中縱坐標(biāo)分別為ME，PE的對(duì)數(shù)值。不同階次下各算法對(duì)應(yīng)的ME，PE值如表2所示，從表中可以看出最優(yōu)參數(shù)。

圖4 ME與分?jǐn)?shù)階微分算子階次α的關(guān)系曲線

結(jié)合圖4、圖5及表2可知，隨著階次α由0增至1，標(biāo)準(zhǔn)Oustaloup濾波算法的ME，PE值均呈逐漸增大之趨勢(shì)，而基于最優(yōu)參數(shù)的改進(jìn)Oustaloup濾波算法及基于推薦參數(shù)的改進(jìn)Oustaloup濾波算法的ME，PE值則先增大后減小。此外可以看出，對(duì)(0,1)之間的任意階次α，基于最優(yōu)參數(shù)的改進(jìn)Oustaloup濾波算法的ME，PE值均為三種算法中的最低值，以s0.1為例，其ME，PE值分別僅為0.014，0.124，較其它兩種算法則分別降低了92.09%、63.28%及97.54%、78.69%，可見下降幅度非常明顯，由此可說明，當(dāng)wl=10-3，wh=103，擬合階次N=6時(shí)，基于最優(yōu)參數(shù)的改進(jìn)Oustaloup濾波算法對(duì)任意階次(0<α<1)的分?jǐn)?shù)階微分算子均具有更高的逼近精度，從而為間接實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器提供有力保證。

圖5 PE與分?jǐn)?shù)階微分算子階次α的關(guān)系曲線

表1 各算法下分?jǐn)?shù)階微分算子s0.5的幅值與相位值

表2 不同階次下各算法對(duì)應(yīng)的ME，PE值

3 FOC算子的Simulink自定義仿真模塊

為便于構(gòu)建分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器的Simulink模型，分別對(duì)分?jǐn)?shù)階微分算子sα(0<α<2)及積分算子sβ(-2<β<0)設(shè)計(jì)了一個(gè)基于上述連續(xù)整數(shù)階濾波器的Simulink自定義仿真模塊。由式(3)可知，連續(xù)整數(shù)階濾波器的分子與分母具有相同的階次，該情況易造成Simulink在仿真過程中出現(xiàn)代數(shù)環(huán)(algebraic loop)現(xiàn)象，致使計(jì)算失效。鑒此，在該濾波器后面接一個(gè)帶寬為10wh的低通濾波器以切斷代數(shù)環(huán)，在不影響仿真模塊計(jì)算精度的同時(shí)，盡可能地保證了計(jì)算穩(wěn)定性。基于Simulink模塊封裝技術(shù)，構(gòu)造出的分?jǐn)?shù)階微分算子sα(0<α<2)Simulink仿真模塊的內(nèi)部結(jié)構(gòu)見圖6。分?jǐn)?shù)階積分算子sβ(-2<β<0)Simulink仿真模塊的內(nèi)部結(jié)構(gòu)見圖7。

圖6 分?jǐn)?shù)階微分算子sα(0<α<2)的 Simulink仿真模塊

圖7 分?jǐn)?shù)階積分算子sβ(-2<β<0)的 Simulink仿真模塊

4 結(jié)束語

針對(duì)基于推薦參數(shù)(b=10，d=9)的改進(jìn)Oustaloup濾波算法在擬合頻域段端點(diǎn)附近對(duì)分?jǐn)?shù)階微分算子逼近精度較低的問題，提出了一種基于IACPSO算法的改進(jìn)Oustaloup濾波算法參數(shù)優(yōu)化方法，該方法將擬合頻域段內(nèi)的頻率與幅度、相位絕對(duì)誤差乘積積分的加權(quán)和作為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，利用IACPSO算法對(duì)常數(shù)b與d進(jìn)行參數(shù)尋優(yōu)，經(jīng)多次獨(dú)立計(jì)算確定了一組最優(yōu)參數(shù)(b=5.387 8，d=0.752 6)。與標(biāo)準(zhǔn)Oustaloup算法、基于推薦參數(shù)的改進(jìn)Oustaloup算法的對(duì)比結(jié)果表明，基于最優(yōu)參數(shù)的改進(jìn)Oustaloup算法對(duì)任意階次(0<α<1)的分?jǐn)?shù)階微分算子均具有更高的逼近精度，更寬的理想擬合頻域段。