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        第二類Wiener-Hopf積分方程的復合Nystr?m-Clenshaw-Curtis方法

        2018-08-28 02:46:10郭魏麗林福榮
        汕頭大學學報(自然科學版) 2018年3期
        關鍵詞:方程組插值預處理

        郭魏麗,林福榮

        (汕頭大學數(shù)學系,廣東 汕頭 515063)

        0 引言

        本文考慮第二類Wiener-Hopf積分方程的高精度快速解法,這是一類定義在正半軸上的卷積方程:

        其中 k(t-s)是核函數(shù),f(t)為已知函數(shù),u(t)是待求函數(shù).這類方程有廣泛的應用背景[1]145-146,186-189,其數(shù)值方法吸引了眾多學者[2-5].

        Wiener-Hopf積分方程的數(shù)值解法可分為兩類.一類是對半無限區(qū)間進行截斷,化為求解有限區(qū)間上的積分方程.截斷方程的形式如下[3-5].

        Gohberg等提出應用預處理共軛梯度法求解該方程,并引進循環(huán)預處理算子提高算法的效率[3].Lin等則提出用卷積算子作為逆預處理算子[5].Kang等提出Nystr?m-Clenshaw-Curtis(NCC)求積方法,并應用于方程(2)的離散[4].NCC方法是求解具有半光滑核函數(shù)的積分方程的高精度方法,但離散矩陣沒有結(jié)構(gòu),而且穩(wěn)定性也存在問題.Chen等提出了修正的NCC求積方法,使得NCC求積方法更加穩(wěn)定[6].另一類數(shù)值解法則不作截斷,直接對方程(1)進行離散[2,7].

        本文在NCC方法的基礎上,提出復合NCC求積公式,并對離散方程組做適當?shù)奶幚?,使得系?shù)矩陣有Toeplitz塊結(jié)構(gòu).然后引進循環(huán)塊矩陣作為預處理矩陣提高預處理迭代方法的收斂速度.

        本文余下部分安排如下.第2節(jié)介紹NCC方法及其主要性質(zhì),第3節(jié)討論用復合NCC方法離散Wiener-Hopf的截斷方程(2),第4節(jié)考慮離散方程組的快速解法,第5節(jié)給出若干例子說明本文提出的算法的有效性.

        1 Nystr?m-Clenshaw-Curtis求積方法

        先介紹Chebyshev網(wǎng)格上的插值函數(shù)的逼近性質(zhì).設Tj(s)=cos(j arccos(s)),j=0,1,2,…,是一列 Chebyshev 多項式,

        是n次Chebyshev多項式Tn(s)=cos(n arccos(s))的根.

        引理1.1(Jackson第五定理[8]95-96)設h∈C[-1,1]且存在正整數(shù)k使得h的k階導數(shù)h(k)連續(xù).用表示用Qn表示次數(shù)不超過(n-1)次的多項式的集合.設(Bnh)(x)是 h(x)的最佳逼近多項式,即

        則當n≥k時,有

        Lebesgue函數(shù)和Lebesgue常數(shù)是分析插值多項式的誤差的有用工具.對于一個給定的插值網(wǎng)格{s1,…,sn},Lebesgue函數(shù)定義為

        是第k個Lagrange插值基函數(shù),Lebesgue常數(shù)定義為對于Chebyshev網(wǎng)格有用(Tnh)(s)表示 h(s)在 Chebyshev網(wǎng)格上的插值多項式

        下面引理給出(Tnh)(s)的誤差估計[9].

        引理 1.2 設 k 為正整數(shù),h(s)∈Ck[-1,1].如果 n>k,則

        可見,用Chebyshev網(wǎng)格對光滑函數(shù)進行插值非常有效.

        下面介紹NCC求積方法.考慮積分方程

        其中右端函數(shù) g(t)和未知函數(shù) x(t)是光滑函數(shù),h(t,s)是一個 p-半光滑核函數(shù)(p 為正整數(shù)),即

        其中hi(t,s)∈Cp([-1,1]×[-1,1]),i=1,2.注意到

        由于h1(t,s)和h2(t,s)在[-1,1]×[-1,1]中光滑,h1(t,s)x(s)和h2(t,s)x(s)也在[-1,1]×[-1,1]光滑.NCC求積方法的關鍵點是對固定的t,把(4)中的被積函數(shù)看作s的函數(shù),在整個區(qū)間[-1,1]進行有效逼近.

        定義

        其中系數(shù) αl,j由插值條件

        確定,即

        上式中

        于是

        經(jīng)計算得

        則由(7)和(8)可得

        由(5),(6),(11),(12)得

        其中W=CSLC-1,

        類似地,設

        其中S由(9)給出,

        由(13)和(14)可得(3)的 NCC離散方程組

        說明:(1)對于一般區(qū)間[a,b]上的積分方程

        可以通過簡單的仿射變換化為[-1,1]上的積分方程:

        (2)設h1(t,s)x(s)∈Cp([-1,1]2),h2(t,s)x(s)∈Cq([-1,1]2),則當NCC方法用于(15)時,數(shù)值解有如下的誤差界:其中 c 為正常數(shù),r=min(p,q).

        2 求解第二類Wiener-Hopf積分方程的NCC方法

        考慮截斷Wiener-Hopf積分方程(2)的離散.必須指出,當積分區(qū)間比較大時,直接應用NCC方法可能導致核函數(shù)的函數(shù)值過大,造成很大的舍入誤差.比如像這樣的函數(shù),當積分區(qū)間較大時用NCC方法得不到高精度的解.復合NCC公式可以作為一種解決方法.其基本思想是對區(qū)間進行合理的分段,然后在每個小區(qū)間上應用NCC方法,從而避免出現(xiàn)較大的舍入誤差的現(xiàn)象.通過分析我們發(fā)現(xiàn):如果把區(qū)間[0,T]劃分為等長的子區(qū)間,應用復合NCC公式并將求積節(jié)點作適當?shù)闹嘏牛瑒t系數(shù)矩陣具有Toeplitz塊結(jié)構(gòu).這樣可以由Toeplitz塊結(jié)構(gòu)和循環(huán)塊結(jié)構(gòu)設計快速算法,顯著減少計算量.

        積分方程(2)可以寫成如下積分方程組:

        考慮在每個小區(qū)間[bj-1,bj],j=1,2,…,m,應用NCC求積公式,每個小區(qū)間都取n個節(jié)點.令

        則(16)的離散方程為

        定義如下的mn維向量f和u:

        設A為m×m分塊矩陣

        其中 Aij為 n×n 矩陣,其(k,l)元素為

        上述方程組可以寫成如下緊湊格式:

        當mn很大時,用直接法求解離散方程組的計算量很大.因此,我們考慮用迭代法求解,以提高解方程的效率.

        3 離散方程組的預處理迭代解法

        由(18)定義的分塊矩陣沒有特殊的結(jié)構(gòu).經(jīng)過研究,我們發(fā)現(xiàn)對求積節(jié)點作適當重排后,系數(shù)矩陣具有Toeplitz塊結(jié)構(gòu).由此我們得到求解線性方程組(17)的快速算法.文獻[10]研究了核函數(shù)光滑的情形.如果 Tn=[ti,j]n×n滿足 ti,j=ti-j,則稱 Tn是一個 n 階Toeplitz 矩陣.特別地,如果 Cn=[ci-j]n×n滿足 ci=ci-n,i=1,2,…,n-1,則稱 cn是一個 n階循環(huán)矩陣.循環(huán)矩陣可由傅里葉矩陣對角化:

        則方程組(17)化為

        其中Λij為對角陣(其對角元由的第一列經(jīng)快速傅里葉變換得到),有

        其中P是一個mn×mn的置換矩陣,Dk是n×n的矩陣,滿足

        由于線性方程組(19)的系數(shù)矩陣可能不是對稱正定的,我們考慮對其法方程組應用共軛梯度法(CGNR)和預處理共軛梯度法(PCGNR).記則(19)的法方程組為

        其中B*表示B的轉(zhuǎn)置.

        取預處理矩陣為Q=M*M,用PCGNR方法求解下列方程組

        為完整起見,我們給出求解(20)的PCGNR方法(如果Q改為單位矩陣,則為CGNR方法).

        應用PCGNR方法求解線性方程組(20)的每步迭代的主要工作是計算和求解下面簡要說明快速算法的步驟:

        因此,在求解這類積分方程時,我們可以選取不太大的n(如n=16),這樣,每步迭代的計算量比較小.

        4 數(shù)值例子

        本節(jié)給出數(shù)值例子說明本文提出的方法的有效性.在CGNR和PCGNR方法中,初始解為零向量,終止條件為剩余向量的相對誤差小于10-14,即∈=10-14.所有的計算在Dell Optiplex 9020臺式計算機上用Matlab運行.在下面的表格中,“誤差”表示數(shù)值解的相對誤差,即其中分別表示數(shù)值解和精確解;分別表示高斯消去法,CGNR方法(矩陣-向量相乘用快速算法),CGNR方法(矩陣-向量相乘不用快速算法),PCGNR方法的計算時間,單位為秒;ICGNR,IPCGNR分別表示兩種方法的迭代次數(shù).

        例4.1.考慮

        取T=80,n=16,相關的結(jié)果如表1所示.從表1可以看出:(1)PCGNR方法的收斂比CGNR方法快得多,但在計算時間方面并沒有優(yōu)勢.主要原因在于構(gòu)造預處理矩陣需要較多的時間.(2)隨著m的增大,數(shù)值解的精度提高非???(3)當m較小時,快速算法的優(yōu)勢不明顯;隨著m增大,快速算法的優(yōu)勢越來越大,如m=128時,TCGNR約為的1/9,為TGE的1/7.

        表1 誤差、計算時間和迭代次數(shù)(例題4.1)

        例4.2.考慮

        取T=80,n=16,相關的結(jié)果如表2所示.我們看到與例題4.1類似的結(jié)果:(1)PCGNR方法的收斂比CGNR方法快得多,但在計算時間方面并沒有優(yōu)勢.(2)隨著m的增大,數(shù)值解的精度提高非常快.(3)當m較小時,快速算法的優(yōu)勢不明顯;隨著m增大,快速算法的優(yōu)勢越來越大.

        表2 誤差、計算時間和迭代次數(shù)(例題4.2)

        從以上的數(shù)值結(jié)果我們看到:復合NCC方法是一個精度非常高的方法,這與理論結(jié)果相符;利用矩陣的Toeplitz塊結(jié)構(gòu),快速矩陣-向量乘法可以提高算法的效率;引進預處理矩陣雖然能加快迭代方法的收斂速度,但在計算時間方面沒有優(yōu)勢.如何更加高效的預處理矩陣,是一個值得進一步研究的問題.

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