謝根全， 王建平， 張琦瓏

(1. 湖南科技大學 土木工程學院， 湖南 湘潭 411201； 2. 綿陽職業(yè)技術學院， 四川 綿陽 621000)

納米材料具有高強度和很好的儲能性，在化學領域具有很好的催化效果等優(yōu)點，因而具有很好的應用前景。為了充分利用納米材料的優(yōu)良性質(zhì)，研究這種材料的物理和力學性質(zhì)顯得十分重要。因為納米材料的小尺度效應和表面效應，如果用經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)力學方法研究納米材料的力學問題會導出不精確甚至錯誤的結論。值得慶幸的是Eringen等[1]提出的非局部彈性理論能夠克服經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)力學的這一缺陷。 Zhang等[2]應用非局部彈性理論研究了多壁碳納米管的屈曲問題Xie等[3-5]研究了碳納米管的小尺度效應和振動特性。Snchez-Portal等[6]基于非局部彈性和高階剪切理論研究了單層石墨烯片的屈曲。 Zhang等[7]應用雜交非局部梁模型研究了微觀/納米梁的彎曲、屈曲以及振動。 Reddy[8]提出了可用于梁和板的經(jīng)典彎曲和剪切變形的非局部非線性理論。 Fang等[9]基于非局部理論研究了雙壁碳納米管的非線性振動。Liang等[10]對石墨烯片的非局部小尺度參數(shù)進行了預測。最近，Miandoab等[11]應用非局部和應變梯度模型研究了靜電驅(qū)動的硅納米梁。

本文將非局部模型引入石墨烯片的動力響應研究中， 研究了石墨烯片動力響應的小尺度效應。

1 理論公式

1.1 非局部應力

在Eringen[12]的非局部彈性理論模型中，Eringen認為彈性體內(nèi)某點的應力不僅與該點的應變有關而且與彈性體內(nèi)其它點的應變有關，這是因為納米材料內(nèi)的原子或分子之間的長程力相互作用引起的，由非局部理論得到的結論與晶體動力學的原子理論以及聲子散射的實驗觀察一致。非局部彈性體的本構方程最一般的形式是整個影響區(qū)域的積分形式。

對于均質(zhì)各向同性材料, 其本構方程為

(1)

式中： “:”為雙點積；C0為經(jīng)典各向同性連續(xù)介質(zhì)的彈性模量矩陣；σ(x)為在x點非局部應力張量；ε(x′)為彈性體內(nèi)任意點x′處的應變張量；核函數(shù)α(|x′-x|,τ)為非局部模量, |x′-x|為歐幾里得距離,τ=e0a/l中的e0為適合所有材料的常數(shù),a為一個內(nèi)部特征長度(如原子間距離， 晶格空間, 顆粒間距等)，l為一個外部特征長度(如裂紋長度，波長等)。式(1)中的體積積分是對整個彈性體而言的。 但是，雖然文獻[10]對“扶手椅”和“鋸齒形”石墨烯片的非局部小尺度參數(shù)做了預測，而且作者認為小尺寸參數(shù)與邊界條件有關，沒有對螺旋形石墨烯片的小尺寸參數(shù)進行預測。為了研究簡支石墨烯片的小尺度效應和螺旋角對小尺度效應的影響，基于非局部彈性理論的概念，我們選擇石墨烯片的基本六邊形單元作為研究對象，如圖1所示。

圖1 石墨烯片的一個代表單元

六邊形代表單元內(nèi)一點(x1,x2)處的應力分量可以展開成泰勒級數(shù)形式

(2)

式(2)兩邊對六邊形代表單元積分，并求平均值，根據(jù)單元關于坐標的對稱性，并略去2階以上的高階項為

(3)

式中：l為C-C鍵長；〈σij(x1,x2)〉為非局部應力。

對式(3) 求逆有

(4)

2.2 幾何方程

整體坐標系中，石墨烯片的幾何方程為

εi′j′=-zw,i′j′

(5)

根據(jù)應變變換關系，局部坐標系中的應變張量為

εij=lij′εi′j′li′j

(6)

其中,

(7)

εij=-zwij

(8)

圖2 螺旋形石墨烯片

1.3 非局部本構方程

基于式(4), 石墨烯片的非局部本構方程為

(9)

式中：E為石墨烯的楊氏模量；μ為泊松比。

式(9)能近似表示為

(10)

將式(6)代入式(10)中

(11)

(12)

1.4 動力學方程

忽略橫向剪切變形能，石墨烯片的應變能為

(13)

石墨烯片振動的動能為

(14)

假設施加在石墨烯片上的均布力集度為q，忽略體力做功，外力做功為

Wq=?AqwdA

(15)

(16)

(17)

2.5 動力學方程求解

設薄板自由振動的撓度為

(18)

將式(18)代入式(16)，并且令q=0，得石墨烯片自由振動微分方程為

(19)

將動載荷展開成振型函數(shù)的級數(shù)形式

(20)

把微分方程式(16)的解答設為

(21)

將式(20)和式(21)代入式(16)得到

(22)

將式(19)代入式(22)的左邊，然后比較兩邊的Wm的系數(shù)，得到為

(23)

常微分式(23)的解為

Tm=Amcosωmt+Bmsinωmt+τm(t)

(24)

式中：τm(t)為任一特解。

2 數(shù)值計算

對于簡支石墨烯片，其振型函數(shù)取為

(25)

將式(24)、式(25)代入式(21)，得到

(26)

假設在石墨烯片上施加幅值為q0均布余弦動載荷。將動載荷幅值q0展開成振型函數(shù)的級數(shù)

(27)

根據(jù)三角函數(shù)的正交性，有

(28)

假設初始位移和初始速度都為0，石墨烯片的動撓度為

(29)

當l=0時，式(29)的解為石墨烯片的經(jīng)典理論解。

因為基于經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)力學和非局部彈性力學所得的石墨烯片的固有頻率不一樣，兩種方法所得的最大動撓度所對應的時間點就不一樣，為了研究小尺度效應，將小尺度效應定義為基于經(jīng)典理論和非局部理論的石墨烯片中心點動撓度的最大值之比，即小尺度效應因子為

(30)

式中：wcd和wnd分別為基于經(jīng)典和非局部理論石墨烯片中心點動撓度的最大值。

為了研究石墨烯片動力響應的小尺度效應，應用遺傳算法得到時間范圍為t=[0,40]×π/ωm內(nèi)的中心點動撓度最大值，計算了各種長寬和螺旋角以及不同頻率激勵下石墨烯片動力響應的小尺度因子。

圖3～圖8表示在頻率為ωm×107的簡諧激勵下，螺旋角分別為0°,π/16,2π/16,3π/16,4π/16的不同邊長的石墨烯片的中心點的動撓度的小尺度因子，從圖3(a)～圖8(a)可以看出：當石墨烯片的長度或者寬度小于20 μm時，動力響應的小尺度效應較大，隨著它的長度和寬度增大，小尺度效應減小；從圖3(b)～圖8(b)可以看出：當石墨烯片的長、寬都達到1 mm時，動力響應的小尺度因子接近于1，小尺度效應基本消失。我們從圖3～圖8的比較還發(fā)現(xiàn)石墨烯片的螺旋角對小尺度效應因子有很大影響，我們從式(17)可以看出，石墨烯片的螺旋角從0°變化到π/2，它的動撓度的小尺度因子關于π/4對稱。從圖6和圖8的比較也可看出，當螺旋角為3π/16和5π/16時，石墨烯片的動撓度的小尺度因子是相同的，依此類推，螺旋角為2π/16和6π/16的石墨烯片、螺旋角為π/16和7π/16的石墨烯片以及螺旋角為0和8π/16的石墨烯片分別具有相同的撓度。

(a)

(b)

圖3 螺旋角為0°的不同邊長的石墨烯片的小尺度因子

Fig.3 Small size factor of graphene sheet with different side length and helical angle 0°

(a)

(b)

圖4 螺旋角為 π/16 的不同邊長的石墨烯片的小尺度因子

Fig.4 Small size factor of graphene sheet with different side length and helical angle π/16

(a)

(b)

圖5 螺旋角為 2π/16 的不同邊長的石墨烯片的小尺度因子

Fig.5 Small size factor of graphene sheet with different side length and helical angle 2π/16

為了研究激振頻率對石墨烯片小尺度效應的影響，我們?nèi)我膺x取三個不同數(shù)量級的激勵頻率和螺旋角為0°的石墨烯片為研究對象，限于篇幅，其它螺旋角的石墨烯片沒有列出，它們也有和螺旋角為0°的石墨烯片的一樣結果。

圖9所示為在頻率ω=ωm×10-10的簡諧激勵下，螺旋角為0°的不同邊長的石墨烯片的中心點的動撓度的小尺度因子，從圖9(a)可知，當激振力的頻率為ωm×10-10時，石墨烯片的兩邊長都介于0.5×10-5～2×10-5m時，其小尺度效應因子介于0～120，小尺度效應十分明顯。從圖9(b)可知，當激振力的頻率為ωm×10-10時，石墨烯片的兩邊長都介于0.5×10-3～2×10-3m時，其小尺度效應因子介于0.998～1.008，相比圖9(a)小尺度效應明顯減小。

(a)

(b)

圖6 螺旋角為3π/16的不同邊長的石墨烯片的小尺度因子

Fig.6 Small size factor of graphene sheet with different side length and helical angle 3π/16

(a)

(b)

圖7 螺旋角為4π/16的不同邊長的石墨烯片的小尺度因子

Fig.7 Small size factor of graphene sheet with different side length and helical angle 4π/16

(a)

(b)

圖8 螺旋角為 5π/16 的不同邊長的石墨烯片的小尺度因子

Fig.8 Small size factor of graphene sheet with different side length and helical angle 5π/16

圖10所示為在頻率ω=ωm×103的簡諧激勵下，螺旋角為0°的不同邊長的石墨烯片的中心點的動撓度

的小尺度因子，從圖10(a)可知，在頻率為ωm×103的簡諧激勵下，石墨烯片的兩邊長都介于0.5×10-5～2×10-5m時，其小尺度效應因子介于0～120之間,小尺度效應十分明顯。從圖10(b)可看出，當激振力的頻率為ωm×103時，石墨烯片的兩邊長都介于0.5×10-3～2×10-3m時，其小尺度效應因子介于0.998～1.008，相比圖10(a)小尺度效應明顯減小。

圖11所示為在頻率ω=ωm×5的簡諧激勵下，螺旋角為0°的不同邊長的石墨烯片的中心點的動撓度的小尺度因子，從圖11(a)可知，在頻率為ωm×5的簡諧激勵下，石墨烯片的兩邊長都介于0.5×10-5～2×10-5m時，其小尺度效應因子介于0～100。從圖11(b)可看出，在頻率為ωm×5的簡諧激勵下，石墨烯片的兩邊長都介于0.5×10-3～2×10-3m，其小尺度效應因子介于0.998～1.008，小尺度效應基本消失。

(a)

(b)

圖9 螺旋角為0°的不同邊長的石墨烯片的小尺度因子

Fig.9 Small size factor of graphene sheet with different side length and helical angle 0°

(a)

(b)

圖10 螺旋角為0°的不同邊長的石墨烯片的小尺度因子

Fig.10 Small size factor of graphene sheet with different side length and helical angle 0°

(a)

(b)

圖11 螺旋角為0°的不同邊長的石墨烯片的小尺度因子

Fig.11 Small size factor of graphene sheet with different side length and helical angle 0°

比較圖3(a)、圖9(a)、圖10(a)和圖11(a)可知，當石墨烯片的邊長都小于2×10-5m時，小尺度因子都很大，且激振力的頻率對小尺度效應的影響非常大。

比較圖3(b)、圖9(b)、圖10(b)和圖11(b)可知，當石墨烯片的邊長都大于1×10-3m時，小尺度因子接近于1，且激振力的頻率對小尺度效應的影響非常小，可以忽略不計。

3 結 論

基于非局部彈性理論，建立了簡支石墨烯片的動力學微分方程，在初始撓度和初始速度都為0的初始條件下，對微分方程求解，得到了它的動撓度，定義了小尺度因子為基于經(jīng)典理論和非局部理論的石墨烯片中心點動撓度的最大值之比，因為兩種方法所得的石墨烯片的固有頻率不同，所以石墨烯片中心點動撓度達到最大值所對應的時間點不同，我們應用遺傳算法求得基于兩種理論的最大動撓度，進而得到小尺度因子。

根據(jù)數(shù)值計算結果可以得出以下結論：

(1) 當石墨烯片的邊長都小于2×10-5m時，無論激振力的頻率是多大，小尺度因子都很大，小尺度效應十分明顯；當石墨烯片的邊長都小于2×10-5m時，激振力的頻率對石墨烯片的小尺度效應有明顯的影響。

(2) 當石墨烯片的兩邊長都大于1 mm時，小尺度因子與1十分接近，小尺度效應基本消失，且激勵頻率的大小對小尺度效應因子的影響很小，可以忽略不計。

(3) 石墨烯片的螺旋角對它的小尺度效應有影響，石墨烯片的螺旋角從0°變化到π/2，它的動撓度的小尺度因子關于π/4對稱。