考慮系統(tǒng)不確定性的車輛主動懸架自適應(yīng)模糊滑?？刂?/h1>

2018-08-27 13:30:24王建平

振動與沖擊訂閱 2018年15期 收藏

關(guān)鍵詞：模型系統(tǒng)

龐 輝， 梁 軍， 王建平， 劉 凡

(西安理工大學(xué) 機(jī)械與精密儀器工程學(xué)院， 西安 710048)

車輛主動懸架能夠通過其作動器產(chǎn)生主動控制力來抑制由于路面不平引起的車身振動，并能根據(jù)車輛每一時刻運(yùn)動狀態(tài)和路面激勵產(chǎn)生瞬時不同的主動控制力，使懸架始終處于最優(yōu)減振狀態(tài)，進(jìn)而提高車輛平順性與操縱穩(wěn)定性[1-6]。然而，由于懸架系統(tǒng)本身具有諸多非線性因素和模型不確定性，車輛在不同行駛道路條件(路面不平度)和工況(加速、制動和轉(zhuǎn)彎)下，懸架參數(shù)會在一定范圍內(nèi)發(fā)生變化，這就使得對懸架系統(tǒng)的動態(tài)特性難以用精確數(shù)學(xué)模型來描述，從而造成控制上的困難。因此，在車輛主動懸架控制中，考慮懸架系統(tǒng)模型不確定性具有重要意義。

T-S模型是由Takagi和Sugeno提出的一種模糊推理模型，該模型相當(dāng)于將輸入空間分為若干個模糊子空間，首先在每個模糊子空間建立一個局部線性模型，然后使用隸屬函數(shù)平滑的將各個局部模型連接起來，從而形成非線性函數(shù)的全局模糊模型。由于T-S模糊模型結(jié)構(gòu)簡單，對復(fù)雜非線性系統(tǒng)可通過一些簡單線性子系統(tǒng)的加權(quán)和來表示，近年來基于T-S模糊模型的控制方法受到廣泛關(guān)注[7-10]。文獻(xiàn)[11]針對主動懸架系統(tǒng)控制執(zhí)行器的延遲和故障不確定性等問題，在滿足安全性能約束要求并保證系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性和魯棒性前提下，設(shè)計了一種模糊魯棒H∞控制器。文獻(xiàn)[12]綜合T-S模糊模型、區(qū)間二型模糊推理和吳-孟德爾不確定邊界方法構(gòu)建了一種線性模型控制界面之間的切換策略，同時對該控制策略的穩(wěn)定性進(jìn)行了分析。文獻(xiàn)[13]針對非線性半車懸架系統(tǒng)建立了T-S模糊模型，設(shè)計了一種具有時變輸入延遲和輸出限制的新型模糊動態(tài)輸出反饋控制方案。上述文獻(xiàn)所設(shè)計的T-S模糊控制在非線性模型追蹤方面取得了較好控制效果，可很好地獲取模型相應(yīng)信息。但是，對信息簡單的模糊處理容易導(dǎo)致控制精度降低及較差的動態(tài)品質(zhì)。因而已有研究人員將模糊控制與滑?？刂葡嘟Y(jié)合，并應(yīng)用于非線性控制系統(tǒng)。例如，文獻(xiàn)[14]將滑?？刂婆c單輸入單輸出模糊邏輯控制器結(jié)合，設(shè)計了一種用于非線性半車模型的主動懸架無抖振模糊滑?？刂破?。文獻(xiàn)[15]針對整車模型將滑?？刂婆c模糊控制結(jié)合，設(shè)計了一種模糊滑?？刂破?，并通過仿真驗證所設(shè)計控制器在車身加速度、懸架動撓度和輪胎動位移方面的控制效果均優(yōu)于傳統(tǒng)滑模控制器。分析現(xiàn)有文獻(xiàn)可知，將模糊控制與滑?？刂葡嘟Y(jié)合，在保證系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定性的同時可以充分發(fā)揮模糊控制不依賴系統(tǒng)模型特點和滑?？刂七m用于非線性、時變系統(tǒng)的優(yōu)勢。

為此，本文提出一種考慮系統(tǒng)不確定性的車輛主動懸架自適應(yīng)模糊滑?？刂?Adaptive Fuzzy Sliding Mode Control, AFSMC)方法。首先，通過T-S模糊方法建立由于車輛懸掛和非懸掛質(zhì)量變化、控制器輸入不確定等因素引起的非線性主動懸架系統(tǒng)模型；接著設(shè)計積分滑模面函數(shù)，并采用并行分布補(bǔ)償方法(Parallel Distribution Compensation, PDC)進(jìn)行系統(tǒng)狀態(tài)反饋控制；進(jìn)而將滑?？刂婆c自適應(yīng)理論結(jié)合，引入自適應(yīng)參數(shù)調(diào)節(jié)滑模趨近律的邊界層來降低滑模抖振，保證系統(tǒng)狀態(tài)軌跡在有限時間內(nèi)到達(dá)滑模面；最后討論了該控制方法應(yīng)用于不同路面激勵的懸架系統(tǒng)仿真結(jié)果。

在本文中，所使用標(biāo)準(zhǔn)符號如下：AT為矩陣A的轉(zhuǎn)置；Rn為n維實數(shù)向量空間；P>0(≥0)為一個對稱正定(半正定)矩陣；*為在對稱塊矩陣或復(fù)雜的矩陣表達(dá)式中，用*號來表示由矩陣對稱性得到的矩陣塊；diag{a1,…,an}為的塊對角矩陣。sym(A)為A+AT；L2[0, ∞)表示在[0, ∞)是平方可積的。

1 系統(tǒng)建模及問題描述

為簡化動力特性分析及控制器設(shè)計的復(fù)雜度，建立1/4汽車二自由度懸架動力學(xué)模型如圖1所示[16-18]。其中，ms為懸掛部分質(zhì)量；mu為非懸掛部分質(zhì)量；zs,zu分別為懸掛質(zhì)量和非懸掛質(zhì)量的垂向位移；zr為隨機(jī)路面輸入；cs,ks分別為懸架結(jié)構(gòu)阻尼和剛度；kt為輪胎剛度。

根據(jù)牛頓第二定律建立其動力學(xué)方程為

(1)

圖1 二自由度1/4車輛主動懸架模型

(1) 考慮懸架系統(tǒng)機(jī)械結(jié)構(gòu)的限制，懸架動撓度最大不能超過機(jī)械結(jié)構(gòu)的限制值zmax，即

|zs(t)-zu(t)|≤zmax

(2)

(2) 為確保車輪與路面的不間斷接觸，輪胎動載荷必須小于輪胎靜載荷，即

kt(zu(t)-zr(t))<(ms(t)+mu(t))g

(3)

式中：g為重力加速度且g=9.8(m/s2)。為滿足式(1)和式(2)懸架性能約束，定義懸架控制輸出為

(4)

其中，

g(x(t))滿足如下約束[19]

(5)

不同的車身載荷會使得車身質(zhì)量ms(t)在一定范圍內(nèi)變化，同時作動器控制輸入具有一定不確定性，因此，考慮系統(tǒng)不確定性的懸架運(yùn)動方程包括懸掛質(zhì)量ms(t)、非懸掛質(zhì)量mu(t)以及作動器不確定控制輸入。假定參數(shù)ms(t)和mu(t)變化范圍為msmin≤ms(t) ≤msmax,mumin≤mu(t) ≤mumax，定義ξ1(t)=1/ms(t),ξ2(t)=1/mu(t), 參照文獻(xiàn)[20]中非線性方法，可得1/ms(t)和1/mu(t)分別為

(6)

(7)

(8)

式中：M1(ξ1(t))+M2(ξ1(t))=1；N1(ξ2(t))+N2×(ξ2(t))=1,隸屬函數(shù)M1(ξ1(t))和M2(ξ1(t))分別定義為“H(重)”和“L(輕)”，隸屬函數(shù)N1(ξ2(t))和N2(ξ2(t))分別定義為“H(重)”和“L(輕)”，隸屬度函數(shù)示意圖如圖2所示。

則具有不確定質(zhì)量的懸架系統(tǒng)式(4)可用如下T-S模型描述

Model Rulei： IFξ1(t) isMrandξ2(t) isNj，

THEN

z1(t)=C1ix(t)+D1iu(t)

z2(t)=C2ix(t)

(9)

(a)

(b)

由此，根據(jù)上述模糊規(guī)則，考慮系統(tǒng)不確定性的車輛主動懸架系統(tǒng)可通過T-S模糊模型表示為

(10)

2 自適應(yīng)滑?？刂破髟O(shè)計

滑模動態(tài)的存在性、可達(dá)性以及滑模運(yùn)動的穩(wěn)定性是滑?？刂频娜齻€基本問題，針對1/4車輛主動懸架系統(tǒng)的模型不確定性，本文所提出自適應(yīng)滑?？刂破髟O(shè)計的主要問題是設(shè)計合適的滑模面函數(shù)和滑?？刂坡?，根據(jù)式(2)式(3)的約束條件及滑?？刂苹緱l件，要使本文所設(shè)計自適應(yīng)滑模控制器u(t)達(dá)到滑模運(yùn)動漸近穩(wěn)定，則在零初始條件下應(yīng)滿足：① 閉環(huán)系統(tǒng)是內(nèi)部穩(wěn)定的；② 在能量有限外部擾動w(t)下，被控輸出z能夠滿足約束，即

(11)

表1 權(quán)重系數(shù)及對應(yīng)的模糊規(guī)則

|{z2(t)}r|≤1,r=1,2;t>0

(12)

2.1 滑模切換面設(shè)計

設(shè)計滑模面函數(shù)為

(13)

為了得到穩(wěn)定T-S模糊模型，采用PDC方法進(jìn)行系統(tǒng)狀態(tài)反饋設(shè)計[21]。PDC方法的主要思想是將一個非線性系統(tǒng)動態(tài)劃分成若干個線性子系統(tǒng)，針對每一個線性子系統(tǒng)，設(shè)計適當(dāng)?shù)木植烤€性控制器，最終通過權(quán)重系數(shù)產(chǎn)生由若干局部混合的模糊共混總控制器(補(bǔ)償器)[22]。在PDC設(shè)計過程中，每條控制規(guī)則可設(shè)計為相應(yīng)的T-S模糊模型規(guī)則，即所設(shè)計的模糊控制器與模糊模型共享相同模糊集，具體描述如下

Control Rulei： IFξ1(t) isMrandξ2(t) isNj(r=1,2；j=1,2)

THEN

u(t)=Kix(t) (i=1, 2, 3, 4)

(14)

則總的控制力可表示為

(15)

式中，Kj∈R1×4(j=1, 2, 3, 4)為狀態(tài)反饋增益矩陣。

將式(15)代入式(10)得到

(16)

式(16)為模糊系統(tǒng)在滑模表面s(t)=0上的動力學(xué)方程，其滑?？刂瓶驁D如圖3所示。

圖3 基于T-S模糊模型的自適應(yīng)滑?？刂瓶驁D

2.2 滑模可達(dá)性分析

考慮在假設(shè)式(6)下的系統(tǒng)式(10)，設(shè)計滑?？刂坡蔀?/p>

(17)

證明：定義Lyapunov函數(shù)為

將V1對時間求導(dǎo)，則有

sgn(s(t))+g(x(t)))≤-ρ(t)|s(t)|+

(18)

即系統(tǒng)式(10)的軌跡在有限時間將全部到達(dá)指定的滑模面s(t)=0上，證畢。

(19)

證明：定義Lyapunov函數(shù)為

將V2對時間求導(dǎo)可得

(20)

即在作動器不確定輸入g(x(t))下，系統(tǒng)式(10)的軌跡可在有限時間內(nèi)趨于指定的滑模面s(t)=0上，證畢。

2.3 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

Ξii<0

(21)

Ξij+Ξji<0,i

(22)

(23)

式中：i,j=1, 2, 3, 4且r=1, 2；

則控制系統(tǒng)式(10)存在一個狀態(tài)反饋控制器式(17)，使得：① 在沒有擾動的情況下，閉環(huán)系統(tǒng)(16)是漸近穩(wěn)定的；② 在零初始狀態(tài)下，閉環(huán)系統(tǒng)式(16)在外界擾動能量小于wmax=(ρ-V(0))/γ2的情況下相應(yīng)的閉環(huán)控制系統(tǒng)性能指標(biāo)滿足|Twz|∞<γ，且閉環(huán)系統(tǒng)輸出約束式(12)在整個時間域內(nèi)可以得到保證。

證明：定義如下Lyapunov函數(shù)

V=xTPx

(24)

且PT=P>0，則

(25)

其中,

(26)

對于任意能量有限的外界擾動w={w(t)}∈L2[0,∞),利用Schur補(bǔ)性質(zhì)可將式(27)等價轉(zhuǎn)化為

(27)

當(dāng)外界擾動w(t) = 0時，則式(16)所描述系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)導(dǎo)數(shù)可表示為

(28)

綜上可知，該控制系統(tǒng)在任意能量有限的外界擾動下是漸近穩(wěn)定的。接下來證明零初始條件下，閉環(huán)系統(tǒng)輸出式(11)式(12)的充分必要條件。

(29)

根據(jù)Lyapunov函數(shù)V(t)的定義可得xT(t)Px(t)<ρ且ρ=γ2wmax+V(0)，為了滿足式(12)的約束條件，則應(yīng)保證

式中：r=1,2;θmax(·)表示·最大特征值。

(30)

根據(jù)Schur補(bǔ)性質(zhì)可將矩陣不等式的可行性問題等價轉(zhuǎn)化為

(31)

3 仿真分析

為驗證本文所提出控制策略的有效性和適用性，假定車輛載荷在行駛過程中發(fā)生最劇烈的變化(即懸掛質(zhì)量變化函數(shù)式為ms(t)=432+20sin(t) (kg)，非懸掛質(zhì)量變化函數(shù)式為mu(t)=45+0.45sin(t) (kg)，基于Matlab/Simulink建立1/4車輛主動懸架系統(tǒng)控制仿真模型。根據(jù)表1中模糊規(guī)則，可得該主動懸架線性子系統(tǒng)權(quán)重系數(shù)hi(ξ(t))如圖4所示。本文研究所

圖4 權(quán)重系數(shù)hi

采用的某型號轎車的懸架參數(shù)見表2。

表2 四分之一車輛懸架參數(shù)

為保證所設(shè)計的自適應(yīng)模糊滑?？刂破髟谥付ɑＣ媸菨u近穩(wěn)定的，同時其狀態(tài)軌跡可在有限時間內(nèi)到達(dá)滑模面并滿足懸架系統(tǒng)硬約束條件式(11)、式(12)，選擇

G=[0 0 1 1]

(32)

K1=103×[1.960 6 -1.360 0 -1.975 9 1.013 6]

K2=103×[1.949 2 -1.351 5 -1.961 3 1.040 2]

K3=103×[1.959 2 -1.359 0 -1.935 2 0.437 1]

K4=103×[1.965 3 -1.363 5 -1.942 7 0.508 5]

(33)

P=

(34)

3.1 凸塊路面響應(yīng)

凸塊路面輸入可看作來自路面的突變或沖擊，它通常是短時間、高強(qiáng)度的離散事件，例如橫過道路的水溝、減速帶、與公路交叉的鐵軌等，這種振動路面輸入也是驗證懸架系統(tǒng)設(shè)計性能經(jīng)常采取的擾動輸入形式，根據(jù)國際標(biāo)準(zhǔn)ISO2361，其數(shù)學(xué)描述可寫為

(35)

式中：A和L分別為凸塊輸入的高度和長度，假定其值分別為A=50 (mm)，L=5 (m)，并且車輛以36 (km/h)車速勻速行駛。圖5～圖7為被動懸架、T-S控制和自適應(yīng)模糊滑模被控懸架的車身加速度z1響應(yīng)曲線、懸架動撓度輸出約束曲線和輪胎動載荷輸出約束曲線。

從圖5可知，相比于被動懸架系統(tǒng)，自適應(yīng)模糊滑?？刂频能嚿泶瓜蚣铀俣染哂懈〉姆逯?，能夠快速抑制車身振動；從圖6、圖7可以看出，懸架動撓度遠(yuǎn)小于zmax，約束式(2)得到保證，可以有效地減少車輪的沖擊而使懸架與限位塊碰撞的次數(shù)，降低懸架被“擊穿”的概率，改善汽車的操作穩(wěn)定性；相較于T-S模糊控制，自適應(yīng)滑?？刂凭哂懈偷能嚿砑铀俣确逯?，更短的穩(wěn)定時間，對提升乘坐舒適性有較大幫助；此外，自適應(yīng)模糊滑模控制懸架輪胎動態(tài)負(fù)載與靜輪胎載荷最大比值遠(yuǎn)小于1，懸架具有可靠地承載能力，能夠確保汽車行駛過程中車輪不間斷的接地性，具有更好的抓地能力。

圖5 車身加速度響應(yīng)曲線

圖6 懸架動撓度輸出約束

圖7 輪胎動載荷輸出約束

圖8為自適應(yīng)模糊滑模控制的主動控制力變化曲線，當(dāng)車輛受到瞬態(tài)沖擊時，主動懸架可做出快速響應(yīng)；同時，從圖9和圖10可以看出，控制系統(tǒng)狀態(tài)軌跡能在有限時間內(nèi)進(jìn)入到滑模面，保證滑模面為滑動模態(tài)區(qū)，滑模運(yùn)動漸近穩(wěn)定且具有良好的動態(tài)品質(zhì)。

圖8 主動控制力u

圖9 滑模面s

圖10 自適應(yīng)參數(shù)

3.2 粗糙路面響應(yīng)

為驗證自適應(yīng)模糊滑模控制器在車體共振頻率(1 Hz)輸入擾動下的控制效果，以車體共振頻率與高頻干擾疊加的粗糙路面作為路面輸入，粗糙路面實際上是具有一定波長和微小溝槽的搓板路，其數(shù)學(xué)描述如式(36)所示[23]

zr=0.025 4sin(2πt)+0.005sin(10.5πt)+

0.001sin(21.5πt)

(36)

在粗糙路面輸入擾動下，圖11為被動懸架、T-S控制和自適應(yīng)模糊滑模被控懸架的車身加速度z1響應(yīng)曲線，圖12和圖13分別為懸架動撓度和輪胎動載荷的輸出約束曲線。

從圖11可知，在整個粗糙路面上自適應(yīng)模糊滑?？刂戚^被動懸架的車身垂向加速度降低了46.6%，很好改善了汽車行駛平順性；從圖12可以看出，懸架動撓度滿足機(jī)械結(jié)構(gòu)限制約束；從圖13可以看出，由于三種性能指標(biāo)之間相互矛盾，自適應(yīng)模糊滑?？刂戚喬虞d荷峰值較被動懸架有所增大，但輪胎動態(tài)載荷與靜輪胎載荷比值小于1，依然能夠確保汽車具有一定的安全行駛性能；相較于T-S模糊控制，自適應(yīng)滑?？刂撇呗匀N性能指標(biāo)均有較小幅度的改善，具有更好的懸架動態(tài)性能。

3.3 隨機(jī)路面響應(yīng)

為進(jìn)一步評估自適應(yīng)模糊滑模控制器性能，假定路面輸入為隨機(jī)路面，隨機(jī)路面是指持續(xù)長時間的小不平整路面，路況相對較好，如一般的瀝青路面、砂石路面等。其輸入可用下式來表示[24]

圖11 車身加速度響應(yīng)曲線

圖12 懸架動撓度輸出約束

圖13 輪胎動載荷輸出約束

(37)

式中：n0為空間頻率(n0= 0.1(1/m))；Gq(n0)為路面不平度系數(shù)(10-6(m3))；u為車輛行駛速度，取u=20(m/s)；fc為路面時間截止頻率(取值fc=0.01(Hz))；W(t)表示均值為0，強(qiáng)度為1的均勻分布白噪聲。

車身加速度的均方根值(RMS)與汽車乘坐舒適性是嚴(yán)格相關(guān)的，其值常被看為傳遞到車體上的加速度的量。車身加速度、懸架動撓度和輪胎動載荷的均方根值通常用來評估所提出的控制設(shè)計方法的有效性。在本文中，選擇時間T= 100 s來計算的車身加速度、懸架動撓度和輪胎動載荷在不同路面平整度系數(shù)下B級路面(Gq(n0)=64×10-6(m3))、C級路面(Gq(n0)=256×10-6(m3))、D級路面(Gq(n0)=1 024×10-6(m3))、E級路面(Gq(n0)=4 096×10-6(m3))的均方根值和最大值(max)，計算結(jié)果見表3。其中，變量x(t)的均方根值的計算公式為[25]

表3 懸架系統(tǒng)性能值

(38)

觀察表3可知，在不同等級的隨機(jī)路面下，與被動懸架相比，自適應(yīng)模糊滑?？刂撇呗缘能嚿泶瓜蚣铀俣染礁到档土?6.7%；懸架動撓度均方根值隨路面等級變差而改善幅度增大，有效降低了汽車行進(jìn)間的路面激勵對車身產(chǎn)生的沖擊，減少了車輪的沖擊而使懸架與限位塊碰撞的次數(shù)，降低懸架被“擊穿”的概率，很好的改善了汽車行駛平順性和操作穩(wěn)定性，由于三種性能指標(biāo)之間相互矛盾，輪胎動載荷峰值較被動懸架有所增大。與T-S模糊控制相比，自適應(yīng)模糊滑?？刂颇軌蚝芎玫匾种栖嚿砑铀俣鹊姆?，減小了車輪的動載荷和車輪跳動量，改善了車輛的乘坐舒適性和操作穩(wěn)定性，車輛懸架綜合性能得到了較好的提高。

4 結(jié) 論

(1) 對于主動懸架系統(tǒng)，車輛懸架系統(tǒng)的性能會受到車輛有效載荷的影響。為了解決車輛主動懸架因系統(tǒng)質(zhì)量參數(shù)不確定性所引起的控制穩(wěn)定問題，建立了基于T-S模糊方法的懸架系統(tǒng)非線性控制模型，通過T-S模糊模型來描述由于懸掛和非懸掛質(zhì)量變化、控制器輸入不確定等因素所引起的不確定性，提出一種自適應(yīng)模糊滑?？刂撇呗?，并利用Lyapunov理論推證了自適應(yīng)滑?？刂葡到y(tǒng)的穩(wěn)定性和滑模面的可達(dá)性。

(2) 通過在三種不同路面激勵下的仿真實驗發(fā)現(xiàn)，相比于被動懸架和模糊控制，在凸塊路面擾動下，自適應(yīng)滑模控制具有更低的車身加速度峰值，更短的穩(wěn)定時間，對提升乘坐舒適性有較大幫助；在車體共振頻率(1 Hz)與高頻干擾疊加的粗糙路面和隨機(jī)路面擾動下，車輛懸架綜合性能得到了較好的提高。

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