劉良坤， 譚 平， 閆維明， 李祥秀， 周福霖,

(1.東莞理工學院 生態(tài)環(huán)境與建筑工程學院，廣東 東莞 523808；2. 廣州大學 工程抗震研究中心，廣州 510405；3. 北京工業(yè)大學 建筑工程學院，北京 100124；4.中國地震局 地球物理研究所，北京 100081)

結構吸能減振的研究，一直以來都是熱點，為了得到調(diào)諧質量阻尼器(Tuned Mass Damper，TMD)的最優(yōu)減振效果，很多學者推導了各種情況下最優(yōu)參數(shù)公式[1-4]。李春祥等[5]論述了TMD等控制裝置研究發(fā)展，并指出了需要解決的一些問題。李創(chuàng)第等[6]利用復模態(tài)法進行了帶TMD結構隨機地震響應分析。譚平等[7]對高聳結構，做了可靠度研究，突出了TMD減震裝置限位的必要性。瞿偉廉等[8]利用隨機激勵的位移方差分析得到TMD的等效阻尼比。盡管TMD的分析簡單易行，但其在工程結構安裝與運行需要考慮較大的空間，且一般安裝在結構頂層，這增加了安裝的難度，因此，尋找一種能夠替代TMD的裝置顯得更為迫切。

2002年，Smith[9]首次提出了慣容器的概念，這個概念改變了質量元件一端必須接地的原則，使其在力電類比法中應用更為自由。Papageorgiou等[10]研制了慣容器模型，并通過實驗進行了論證，隨后慣容器得到了重視，逐漸地被應用到更多工程領域。Hu等[11]采用慣容器的組合形式研究了其在汽車舒適性，懸掛行程等性能要求特點；Shen等[12]則將慣容器應用到被動吸能器中，使其減震效果得到了改善，并將其應用到了汽車懸掛控制中。除了汽車懸掛減振方面的應用，Wang等[13-14]的研究表明，合適的慣容器組合形式，可有效地減小由交通或地震作用下引起的結構振動。為了充分發(fā)揮其質量放大效應，Marian等[15]考慮在TMD中增加慣容器元件，同時推導了在白噪聲地震激勵下的最優(yōu)解析式，并驗證了其減震的有效性。Ikago等[16]則提出TVMD的慣容器組合減振形式，然后利用定點理論推導了最優(yōu)參數(shù)表達式，最后通過數(shù)值分析和實驗進行了論證。Lazar等[17]提出了調(diào)諧慣容減震器(Tuned Inerter Damper,TID)形式的慣容器，同樣采用定點理論進行了分析，但僅給出了剛度參數(shù)的解析式，阻尼參數(shù)需要通過迭代求解；分析表明TID放在底層并與地面相連時具有最佳減震效果，此外還將其應用到拉索的減振控制[18]。

為使TID在結構減震設計應用更為方便，本文將首先推導結構無阻尼受白噪聲激勵下的最優(yōu)參數(shù)的解析式，同時令其與有阻尼情況的數(shù)值最優(yōu)參數(shù)作對比，最后將其應用到多自由度隔震結構，并作減震效果分析，給出TID參數(shù)設計及使用的建議。

1 運動方程

慣容器可以表示成兩端具有不同加速度質量元件，如圖1(a)所示，其數(shù)學模型表示為

(1)

通常來說，慣容器作為質量元件，本身并沒有耗能功能，需與彈簧和阻尼器組合才能具備一定的減振耗能的能力。圖1(b)虛線方框的組合形式(TID)是本文所采用的減震形式，運動方程表示為

(2)

圖1 模型簡圖

Fig.1 Model sketches

表1 元件阻抗表達式

表1中，s為拉氏的復變量，需要注意的是質量元件阻抗表達式與慣容器相同。根據(jù)元件串聯(lián)導納(阻抗倒數(shù))相加，元件并聯(lián)阻抗相加的原則，圖1(b)模型的位移總阻抗為

(3)

結合式(2)有

(4)

(5)

2 參數(shù)優(yōu)化

雖然Lazar等[19]提出在簡諧激勵下采用定點理論對TID作優(yōu)化分析，但優(yōu)化過程中僅給出了剛度相關的最優(yōu)參數(shù)，阻尼參數(shù)仍需迭代求解。本文為得到地震激勵下相對合理的最優(yōu)參數(shù)解，擬采用隨機理論，獲取TID減震系統(tǒng)在白噪聲激勵下的最優(yōu)參數(shù)；考慮到主結構阻尼的存在難以得到最優(yōu)解析解，在優(yōu)化過程中將忽略主結構阻尼，并令式(5)中s=iω得

Hx=

(6)

假定地震激勵為平穩(wěn)白噪聲過程，其雙邊譜密度值為S0，結構位移響應方差表示為

(7)

式(7)為廣義積分，難以直接積分求解，但形如式(7)的廣義積分可采用James積分公式[20]進行求解，如

(8)

(9)

(10)

(11)

同樣的可以得到有阻尼情況的下的位移方差如式(11)所示，由于考慮阻尼無法得到最優(yōu)參數(shù)解析式，在獲取過程中仍然采用無阻尼位移方差式(10)。令式(10)對相應參數(shù)的導數(shù)為0，即

(12)

但簡化后得相對簡單的最優(yōu)剛度及阻尼參數(shù)，如

(13)

(14)

式(13)與式(14)適用于單自由度系統(tǒng)。利用式(13)與式(14)可得到主結構無阻尼的最小位移方差

(15)

3 參數(shù)分析

為了說明TID減震效果及最優(yōu)參數(shù)在有阻尼情況下的適用性，取主結構質量為1，周期為2.5 s，阻尼比為0.02的單自由度結構，作出考慮結構阻尼的最優(yōu)參數(shù)下的三維圖如圖2所示。從圖中參數(shù)曲面容易發(fā)現(xiàn)，隨著質量比的增加，無論是最優(yōu)阻尼參數(shù)還是最優(yōu)剛度參數(shù)均呈增大趨勢，且最優(yōu)參數(shù)下的位移方差值逐漸減小，減震曲面更加平緩即表明TID魯棒性更好。質量比為0.02，0.05，0.10，利用式(13)與式(14)得到主結構無阻尼的TID最優(yōu)阻尼參數(shù)分別為0.007 0，0.026 6，0.071 4而考慮阻尼的TID最優(yōu)阻尼參數(shù)(如圖2取極值點)0.007 0，0.027 0，0.071 0；主結構無阻尼的TID最優(yōu)剛度參數(shù)：0.122 6，0.293 6，0.548 1及考慮阻尼的TID最優(yōu)剛度參數(shù)(如圖2取極值點)0.122 0，0.292 5，0.545 0。對比這些數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，雖然主結構存在阻尼比0.02，但總體上不考慮主結構阻尼的最優(yōu)參數(shù)解析式與考慮阻尼的數(shù)值最優(yōu)參數(shù)是十分接近的。為了了解主結構為其它阻尼比時的最優(yōu)參數(shù)情況，可先進行考慮結構阻尼比最優(yōu)參數(shù)數(shù)值解與不考慮結構阻尼比解析解比較，如圖3所示。

(a) ub=0.02

(b) ub=0.05

(c) ub=0.1

(a) 最優(yōu)阻尼參數(shù)

(b) 最優(yōu)剛度參數(shù)

為了進一步分析最優(yōu)參數(shù)解析解的準確性和相應的減震情況，圖4繪出了位移方差隨主結構阻尼比變化情況，圖4中：Isolation為原結構位移方差；Isolation-TID(damper)為原結構附加TID且取最優(yōu)參數(shù)解析值(不考慮主結構阻尼得到)的方差，Isolation-TID(undamper)為原結構無阻尼時附加TID且取最優(yōu)參數(shù)解析值的方差，optimum-Isolation-TID(undamper)為原結構附加TID且取最優(yōu)參數(shù)為數(shù)值解(考慮主結構阻尼得到)的方差。

(a) ub=0.02

(b) ub=0.05

(c) ub=0.10

4 多自由度結構的減震效果分析

TID減震效果的發(fā)揮與其相連兩端響應有關，對于規(guī)則均一的多自由度結構，Lazar等指出，TID在底層可以獲得最好的減震效果，鑒于此，在本節(jié)中將對結構底層附加TID的普通多自由度結構進行分析，并重點分析附加TID隔震結構減震效果。

4.1 多自由度結構TID最優(yōu)參數(shù)

安裝TID的多自由度結構如圖5，運動方程為

(16)

式中：Γ0=[1,0,…,0]T為TID按安裝的指示向量；TID其余參數(shù)含義同式(2)。{x}=[x1,x2,…,xn]T為主結構響應量；I=[1,1,…,1]T單位量；M=diag([m1,m2,…mn])為主結構的質量矩陣，其相應的剛度矩陣

圖5 底部安裝TID多自由結構

阻尼矩陣C按瑞雷阻尼選取。考慮到普通結構一階振型起主要控制作用，本文取一階振型來推導多自由度結構的TID最優(yōu)參數(shù)。令{x}={φ1}q，其中{φ1}為一階振型，q為廣義位移，代入式(16)，并忽略主結構阻尼影響，易得傳遞函數(shù)

(17)

類似于單自由度結構的推導，地震激勵為平穩(wěn)白噪聲過程，雙邊譜密度值為S0，其相應廣義位移方差為

(18)

(19)

(20)

利用式(19)與式(20)即可得到主結構無阻尼的最小位移方差

(21)

若只考慮一階振型，主結構無阻尼時頂層位移方差為

(22)

4.2 隔震結構TID分析

安裝TID的隔震結構如圖6所示，其運動方程為類似于式(16)。考慮到本文的結構模型為非經(jīng)典阻尼體系，不適合采用振型疊加法，建議采用復模態(tài)法計算，令

(23)

圖6 隔震TID多自由結構

那么特征矢量方程表達為

[Meλ+Ke]Φ=0

(24)

(25)

(26)

(27)

相應地結構響應均方差為

(28)

同樣地，絕對加速度方方差也可求得。

某10層建筑結構，阻尼比0.05，無控時采用瑞雷阻尼計算。每層質量為1.0×106kg，層剛度為2.5×109N/m，基本周期為0.841 s。若采用隔震控制方案，其中隔震層質量為1.2×106kg，隔震層剛度為7.075×107，隔震層及以上簡化為單質點的隔震周期為2.5 s：① 純隔震方案(Isolation)，隔震層阻尼比為0.15；② 隔震TID方案(Isolation-TID)，隔震層阻尼比為0.1，按隔

(a) 頂層位移功率譜

(b) 頂層絕對加速度功率譜

震后控制一階振型進行TID設計；③ 隔震頂層TMD方案(Isolation-TMD)，隔震層阻尼比為0.1，按隔震后控制一階振型進行TMD設計。隨機分析時利用文獻[21]的數(shù)據(jù)，譜密度S0=4.65×10-4m2/rad·s3，其余參數(shù)為ωg=15.0 rad/s，ξg=0.6，ωk=1.5 rad/s，ξk=0.6。仿真分析選擇兩條地震波：El Centro地震波及Taft地震波，按8度基本設防烈度設計，取加速度幅值為0.2g。其中輸入隨機地震功率譜模型為

假定TID與TMD的質量比都為0.1。由圖7繪出的結構響應功率譜易知，對于上述三種控制方案，無論是頂層位移還是頂層絕對加速度，相應的高頻處都有不同程度的減小，但在低頻區(qū)域都有放大作用，特別是位移的放大較為明顯，這與隔震層剛度變小有關。相對于純隔震結構，安裝有TID與TMD的頂層絕對加速度反應在隔震后的基頻附近的峰值削弱明顯；對位移的作用在基頻率附近也比較明顯，但左側附近有略有放大，不過最大峰值小于未控，產(chǎn)生這種情況與所采用優(yōu)化目標、激勵形式等有關。從方差的角度看，如表2所示，盡管Isolation-TID與Isolation-TMD隔震層阻尼比為0.1，但其減震效果仍然比純隔震(Isolation阻尼比為0.15)效果好；Isolation-TID對頂層位移和隔震層位移方差的控制效果好于Isolation-TMD，但其對頂層絕對加速度控制效果略差些；由于隔震結構隔震層系數(shù)γ較大，同質量比的TID與TMD可獲得相近的減震效果，但對于普通結構TID效果仍不及TMD。

表2 響應方差對比

圖8與圖9給出了El Centro與Taft波作用下的結構最大響應與阻尼比的關系，這里的質量均為0.1，所有有控結構隔震層阻尼從0.01～0.15變化。在El Centro地震波作用下，相對于無控結構，Isolation，Isolation-TID與Isolation-TMD頂層絕對加速度得到了很好的控制，但其頂層位移均大于無控制結構，不過隨著阻尼比的增大逐漸趨近于無控制結構。值得注意的，相同阻尼比情況下，Isolation-TID與Isolation-TMD的頂層位移相比Isolation減小較多，但隨著阻尼比增大這種效果會變差，另外對于頂層絕對加速度也有類似現(xiàn)象，而且Isolation-TID效果略差于Isolation-TMD。

(a) 頂層位移

(b) 頂層絕對加速度

在Taft地震波作用下，相對于無控結構，有控結構的頂層絕對加速度得到了很好的控制，而在頂層位移的控制上，Isolation在隔震層阻尼比大于0.08時才出現(xiàn)小于未控的現(xiàn)象，而Isolation-TID與Isolation-TMD均小于未控的頂層位移。類似于El Centro地震波作用，相同阻尼比下Isolation-TID與Isolation-TMD的頂層位移相比Isolation減小較多，隨著阻尼比增大這種效果也會變差，頂層絕對加速度方面也相似；總體而言Isolation-TID效果略微好于Isolation-TMD。以上地震激勵的響應分析再次表明，同樣條件下安裝有TID或TMD的隔震結構在隔震層阻尼比小，比純隔震結構的減震效果更顯著，而且在大阻尼比的情況下仍然表現(xiàn)更好，但這種趨勢隨著阻尼比的增大會變差；那么在實際隔震時，隔震層阻尼比不必取太大，僅需安裝相應的TID裝置即可達到相同甚至更好的減震效果。

(a) 頂層位移

(b) 頂層絕對加速度

Isolation-TID與Isolation-TMD質量比仍取0.1，隔震層阻尼比為0.1，Isolationd隔震層阻尼比0.15，繪出El Centro與Taft波作用下的結構時程響應如圖10與圖11所示，顯然，兩地震波作用下，Isolation-TID與Isolation-TMD對頂層位移的控制效果均好于Isolation，而頂層絕對加速度也有減震效果但相對不明顯。

對于TMD來說，安裝在頂層時，其質量通常小于5%，且安裝所需的要求較高。同樣質量比的情況下，TID減震效果略差于TMD，但考慮到TID具有質量放大效應(TID中的慣容器的放大質量可實現(xiàn)是實際的物理質量的幾百倍)，可以彌補甚至超過TMD減震效果；另外，TID可以制造成類似于黏滯阻尼器的桿狀型結構，相對輕巧，安裝也較為方便，而且在底層就能夠發(fā)揮較好的減震效果，可見TID的綜合優(yōu)勢是十分明顯的。雖然以上分析采用隔震結構作為研究對象，但普通結構在底層或其他樓層安裝TID仍然可以發(fā)揮良好的減震效果，其分析和設計方法與此類似。

(a) 頂層位移

(b) 頂層絕對加速度

(a) 頂層位移

(b) 頂層絕對加速度

5 結 論

本文利用慣容器對結構進行減震控制，推導了安裝TID的單自由度結構在白噪聲激勵下的最優(yōu)阻尼參數(shù)和剛度參數(shù)解析式，并給出了其相應的減震效果分析以及在多自由度結構中的應用，仿真分析表明：

(1) 最優(yōu)參數(shù)解析式在結構考慮阻尼的情況下仍然有較高的精確性，特別是阻尼比在0.15內(nèi)誤差較小，而且最優(yōu)阻尼參數(shù)相比于最優(yōu)剛度參數(shù)更精確。

(2) 結構自身的阻尼比較小時，TID的減震效果比較好，結構自身阻尼比增大其減震效果變差，但在較大質量比時效果會有改善。建議阻尼比相對小時使用TID，或取較大的質量比。

(3) 隨機地震激勵下，即使隔震層阻尼比小于普通隔震的阻尼比，安裝有TID或TMD的結構仍具有更好的減震效果，并且在同等阻尼比下，其減震效果更加明顯；另外TID具有質量放大效應，安裝方便，占據(jù)空間小，綜合優(yōu)勢比TMD更為顯著。