施 敏

(南京財(cái)經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院,江蘇 南京 210023)

在微分方程、積分方程、泛函方程等諸多方程問題的研究中,人們常常會(huì)建立與該方程相關(guān)的積分算子T,然后將所考慮的方程問題轉(zhuǎn)化為求T的不動(dòng)點(diǎn)u的問題[1-3],即

u=Tu,

不動(dòng)點(diǎn)理論是泛函分析的主要組成部分,它有著極其廣泛的應(yīng)用.本文利用Banach壓縮映射原理,研究了一類常微分方程初值問題解的存在性與唯一性.下面我們給出本文用到的相關(guān)定理及所討論的微分方程初值問題.

1 預(yù)備知識(shí)

引理1[4](Banach壓縮映射原理) 設(shè)X是完備的度量空間,d是X中的距離,設(shè)映射T:X→X滿足

d(Tx1,Tx2)≤kd(x1,x2),?x1,x2∈X,

其中0

本文主要討論下述三階常微分方程初值問題

(1)

解的存在唯一性問題.

2 主要結(jié)論

定理1 假設(shè)方程(1)滿足如下條件:

(1) 函數(shù)A(x)、B(x)、C(x)在[-r,r]上連續(xù), 并且A(x)、B(x)的原函數(shù)分別為a(x)、b(x);

則微分方程初值問題(1)存在唯一的解.

證明 令F(x)=(y,y′,y(2)),則F′(x)=(y′,y(2),y(3)).設(shè)

且Γ=(a,b,c),那么方程(1)可轉(zhuǎn)化成如下一階微分方程:

下面作相應(yīng)積分算子:

T:C([-r,r];R3)→C([-r,r];R3)

使得

因此,初值問題(1)解的存在唯一性問題可以轉(zhuǎn)化為積分算子T是否存在唯一不動(dòng)點(diǎn)的問題.而對(duì)于?F,G∈C([-r,r];R3),有

因此,

從而,

又由

F-G∞=(f0-g0,f1-g1,f2-g2)∞=

可得

故依據(jù)Banach壓縮映射原理,算子T是一個(gè)壓縮映射,具有唯一的不動(dòng)點(diǎn),即微分方程初值問題(1)存在唯一的解,從而定理1得證.

3 數(shù)值仿真[5]

雖然微分方程初值問題的求解有很多解析方法,但解析方法只能用來證明解的存在性、唯一性或者求出一些特殊類型的初值問題的解析解.下面我們利用MATLAB軟件對(duì)與本文相關(guān)的微分方程初值問題進(jìn)行數(shù)值仿真.

例在微分方程初值問題(1)中,取A(x)=x,B(x)=x2,C(x)=x2ex,a=1,b=0,c=4,則該微分方程初值問題(1)寫為:

(2)

則條件(1),(2)成立,依據(jù)定理1可知,初值問題(2)存在唯一的解.

利用MATLAB軟件編程得到微分方程初值問題(2)的近似解圖像(見圖1).

圖1方程(2)的近似解圖像
Fig.1 Image of approximate solution of equation(2)