郎 軍 董洪瓊

(重慶市第十一中學(xué)校,重慶 400061)

1 問題

渦旋電場本身不是保守場,不能引入電勢的概念,但在渦旋電場中存在導(dǎo)體回路時(shí),要在導(dǎo)體壁“感應(yīng)”出電荷分布,從而在導(dǎo)體內(nèi)、外建立起穩(wěn)恒電場,因而仍然可以引入電勢和電勢差的概念.在參考文獻(xiàn)[1]中,趙堅(jiān)老師和北大趙凱華先生對此已講得非常清晰．現(xiàn)在中學(xué)教師普遍關(guān)心的是,導(dǎo)體回路內(nèi)穩(wěn)恒電場強(qiáng)度怎樣定量計(jì)算?用場強(qiáng)的線積分計(jì)算出的電勢差與用電路分析算出的電勢差是否一致?

2 分析

2.1 穩(wěn)恒電場的特點(diǎn)概述

設(shè)有一大塊導(dǎo)體位于渦旋電場中(渦旋電場強(qiáng)度設(shè)為K),在渦旋電場力的作用下,導(dǎo)體內(nèi)的自由電荷要發(fā)生定向移動,在導(dǎo)體內(nèi)壁附近,K的法向分量會使導(dǎo)體壁上聚積電荷,產(chǎn)生附加電場(電場強(qiáng)度設(shè)為E),合場強(qiáng)為K+E,只要合場強(qiáng)K+E在導(dǎo)體內(nèi)壁附近的法向分量不為0,自由電荷都還要受法向力,從而使電荷分布繼續(xù)改變,達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)后,合場強(qiáng)K+E在導(dǎo)體內(nèi)壁附近的法向分量必然處處為0．導(dǎo)體上的電荷分布也保持穩(wěn)定,它產(chǎn)生的電場E被稱為穩(wěn)恒電場,與靜電場(庫侖場)有相同的性質(zhì)．

對于由細(xì)導(dǎo)線組成的閉合回路,可以認(rèn)為導(dǎo)線內(nèi)各處的電流密度j的方向都沿導(dǎo)線的切向,由j=σ(K+E),可以認(rèn)為細(xì)導(dǎo)線內(nèi)各處合場強(qiáng)度

K+E的方向都沿導(dǎo)線切向,即法向分量抵消(Kn+En=0),因此有j=σ(Kt+Et)．如果細(xì)導(dǎo)線粗細(xì)均勻且材料的電導(dǎo)率σ為常數(shù),由電流強(qiáng)度相等還可得Kt+Et的值在同一支路中處處相等.如果電導(dǎo)率σ和細(xì)導(dǎo)線的橫截面積S不相同,則在同一支路中σ(Kt+Et)S為不變量．

2.2 實(shí)例分析

圖1

2.2.1 實(shí)例1

如圖1所示,在虛線圓形區(qū)域內(nèi)有隨時(shí)間t均勻增大的勻強(qiáng)磁場,B=ct,c為常量,在磁場中同心放置一個(gè)半徑為R的圓形導(dǎo)體回路．導(dǎo)體回路由材料1(σ1,l1,S1)和材料2(σ2,l2,S2)串聯(lián)而成,圖中A、C為連接點(diǎn)．試求A、C間的電勢差UAC．

方法1:根據(jù)電路分析求解.

方法2:借助電流密度求解.

根據(jù)本文2.1的分析,導(dǎo)體表面的“感應(yīng)”電荷及A、C交界面上的累積電荷共同激發(fā)的穩(wěn)恒電場要確保回路內(nèi)任一點(diǎn)K+E沿導(dǎo)線的切向,考慮到本問題的對稱性,回路中K只有切向分量,因此可以確定,在回路內(nèi)兩種介質(zhì)內(nèi)部各處的E也只有切向分量,并且同一介質(zhì)中E的切向分量大小相等,分別設(shè)為E1和E2(以逆時(shí)針方向?yàn)檎?．

由電流的連續(xù)性可得

σ1(K+E1)S1=σ2(K+E2)S2.

(2)

由靜電場環(huán)路定理有

E1l1+E2l2=0.

(3)

由(2)、(3)兩式解得

A、C的電勢差

對比(1)、(6)兩式,結(jié)果相同．

討論:(1)若σ2S2=σ1S1,則E1和E2都為0,導(dǎo)線內(nèi)無靜電場,導(dǎo)線表面和A、C處分界面也無電荷分布,整個(gè)空間都無靜電場,也可以說靜電場強(qiáng)度處處為0,因此各處等勢,導(dǎo)體上任意兩點(diǎn)間都會無電勢差．這種情況下用前述的方法1計(jì)算也可以得到導(dǎo)體上任意兩點(diǎn)間電勢差都為0．

圖2

(2) 若σ2S2>σ1S1,則E1>0,E2<0,在A、C兩處分別會有正、負(fù)電荷聚積,同時(shí)在導(dǎo)線表面電荷分布的調(diào)節(jié)下,穩(wěn)恒電場的電場線大致如圖2所示(僅是示意圖且將導(dǎo)線橫截面做了放大處理)．σ2S2<σ1S1的情況可同理分析．

2.2.2 實(shí)例2

圖3

如圖3所示,在虛線圓形區(qū)域內(nèi)有隨時(shí)間t均勻增大的勻強(qiáng)磁場,B=ct,c為常量,在磁場中偏心放置一個(gè)半徑為R的圓形細(xì)導(dǎo)體回路,兩圓心的距離設(shè)為d,導(dǎo)體回路材料的電導(dǎo)率為σ,粗細(xì)均勻,橫截面積為S．試求導(dǎo)線環(huán)上哪兩點(diǎn)間的電勢差最大,并求這個(gè)最大電勢差的值．

解析:

① 求電路中的電流密度j.

② 求導(dǎo)體回路上任一點(diǎn)K沿回路的切向分量.

r2=d2+R2+2dRcosθ,

d2=r2+R2-2rRcosα,

化簡有

K的切向分量為

Kt=Kcosα.

(9)

化簡得

③ 求導(dǎo)線回路內(nèi)各點(diǎn)的穩(wěn)恒電場強(qiáng)度E.

設(shè)切向分量沿逆時(shí)方向?yàn)檎?則

j=σ(Kt+Et).

(11)

由(7)、(10)、(11)式得

各點(diǎn)E和K的法向分量處處抵消,即Kn+En=0,由此還可求得回路內(nèi)各點(diǎn)穩(wěn)恒電場強(qiáng)度E的法向分量．

④ 求最大電勢差.

根據(jù)(12)式,在圖3中A點(diǎn)和D點(diǎn)Et=0;在DGA段,回路內(nèi)Et<0,沿順時(shí)針方向;而在ACD段,回路內(nèi)Et>0,沿逆時(shí)針方向;可見回路中A點(diǎn)電勢最高,D點(diǎn)電勢最低,A、D間電勢差最大．

(13)

當(dāng)d=0,即兩圓同心放置時(shí),Et=0,Umax=0,回路上任意兩點(diǎn)都是等勢的．

3 結(jié)語

在渦旋電場的導(dǎo)體回路中談電勢和電勢差,指的是因渦旋電場在導(dǎo)體上“感應(yīng)”的電荷產(chǎn)生的穩(wěn)恒電場的電勢和電勢差．利用本文介紹的借助電流密度矢量的方法,可以求出細(xì)導(dǎo)線回路中各點(diǎn)的穩(wěn)恒電場強(qiáng)度E(導(dǎo)線外部空間的穩(wěn)恒電場強(qiáng)度卻不易求出),再求穩(wěn)恒電場強(qiáng)度E沿導(dǎo)線路徑的線積分,可以求得導(dǎo)線上任意兩點(diǎn)的電勢差,算出的結(jié)果與用傳統(tǒng)的電路分析算出的結(jié)果一致.這不僅表明了導(dǎo)線內(nèi)穩(wěn)恒電場的存在,在渦旋電場中的導(dǎo)體回路中談電勢和電勢差是科學(xué)的,也證明求導(dǎo)體回路中電勢差的傳統(tǒng)方法是正確的．