福建省古田縣第一中學(xué) 蘭詩(shī)全 林紀(jì)禮 (郵編：352200)

對(duì)于許多數(shù)學(xué)問(wèn)題，若能多維視角適時(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，緊緊抓住題目中的數(shù)量關(guān)系及其結(jié)構(gòu)特征，恰當(dāng)運(yùn)用換元法，不僅能使問(wèn)題中各量之間的關(guān)系變得清晰明了，整體特征顯現(xiàn)，溝通已知與所求，而且可使問(wèn)題化難為易、化繁為簡(jiǎn)、化生為熟、化異為同，然后使問(wèn)題順利獲解，現(xiàn)結(jié)合典型例子加以說(shuō)明．

1 轉(zhuǎn)化與換元相結(jié)合 將數(shù)學(xué)問(wèn)題模型化

換元法是中學(xué)數(shù)學(xué)中最常用的方法與技巧之一，通過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化適時(shí)換元往往可以使繁難問(wèn)題容易化、模型化，為數(shù)學(xué)問(wèn)題解決找到根本方法．

分析 分離參數(shù)a，可得a>g(θ),或agmax(θ)或a

解 令

sin2θ=2sinθcosθ=(sinθ+cosθ)2-1=x2-1．

反思 以上兩例從表面上看，問(wèn)題繁難、思路不清，通過(guò)仔細(xì)觀察、等價(jià)轉(zhuǎn)化、整體換元，將問(wèn)題化生為熟、化難為易，找到根本的數(shù)學(xué)模型，從而揭開問(wèn)題的本質(zhì)特征，讓題目輕松獲解，其中換元起關(guān)鍵作用，真是“一橋飛架南北，天塹變通途”．

2 整體與換元相結(jié)合 將數(shù)學(xué)問(wèn)題具體化

許多數(shù)學(xué)問(wèn)題抽象不具體，解題切入點(diǎn)不明確，通過(guò)靈活適時(shí)換元，可以將抽象問(wèn)題具體化、明確化，使思路從無(wú)序到有序，給解題帶來(lái)生機(jī)與活力．

例3 設(shè)定義域?yàn)?0,+∞)的單調(diào)函數(shù)f(x)，對(duì)?x∈(0,+∞)，都有f[f(x)-lnx]=e+1，若x0為方程f(x)-f′(x)=e的一個(gè)解，則x0可能存在的區(qū)間是( )

A.(0,1)B.(e-1,1)C.(0,e-1)D.(1,e)

解 設(shè)k=f(x)-lnx，則f(x)=lnx+k，所以由已知f(k)=e+1，又由f(x)=lnx+k，當(dāng)x=k時(shí)，f(k)=lnk+k=e+1.因?yàn)閒(x)是定義域?yàn)?0,+∞)的單調(diào)函數(shù)，所以k=e，則由上得

例4 若f(x)與g(x)都是定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，且方程x-f[g(x)]=0有實(shí)數(shù)解，則g[f(x)]不可能是( )

反思 以上問(wèn)題抽象費(fèi)解，應(yīng)用換元法，步步為營(yíng)，扎實(shí)推進(jìn)，將問(wèn)題具體化、明確化、實(shí)質(zhì)化，順?biāo)浦?，讓?shù)學(xué)問(wèn)題層層揭開，不斷深入，順利獲解．以上適時(shí)換元，構(gòu)思巧妙、新穎獨(dú)特、簡(jiǎn)捷有效，體悟以上解題過(guò)程，真有“精騖八極，神游四方”的數(shù)學(xué)思想方法在流淌．

3 變換與換元相結(jié)合 將問(wèn)題熟悉化

許多數(shù)學(xué)問(wèn)題陌生難解，可通過(guò)恰當(dāng)換元，變換研究對(duì)象，將問(wèn)題轉(zhuǎn)換到新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)化，生疏問(wèn)題熟悉化，給解題思維帶上飛翔的“翅膀”．

例5 在約束條件x≥0,y≥0及3≤x+y≤5下，求函數(shù)u=x2-xy+y2的最大值和最小值．

解 令x=asin2θ,y=acos2θ,θ∈[0,2π]，則3≤a≤5．

所以u(píng)=a2sin4θ-a2sin2θcos2θ+a2cos4θ

=a2[(sin2θ+cos2θ)2-3sin2θcos2θ]

分析 橢圓內(nèi)接三角形沒有直接的面積公式，計(jì)算產(chǎn)生困難，怎么辦？轉(zhuǎn)換視角將橢圓內(nèi)接三角形向圓的內(nèi)接三角形轉(zhuǎn)化是求解本題的好方法．

反思 例5通過(guò)換元將不等式轉(zhuǎn)化為等式，為順利解決問(wèn)題鋪平道路；例6通過(guò)換元將“橢圓內(nèi)接三角形”轉(zhuǎn)化為“圓的內(nèi)接三角形”問(wèn)題求解，實(shí)現(xiàn)化生為熟，化難為易，值得借鑒與學(xué)習(xí)，給人一種“春雨斷橋人不渡，小舟撐出柳蔭來(lái)”之感．

4 湊配法的本質(zhì)是換元 換元凸顯解題程序化

湊配法要有較強(qiáng)的觀察力，要有較高水平的變形能力，對(duì)一些同學(xué)顯得太“靈活”，有點(diǎn)捉摸不透．但通過(guò)換元法可使解題過(guò)程程序化、條理化、模式化，優(yōu)化解題過(guò)程，讓解題思路“有章可循、有法可依”．

則

解法1 (湊配法，略)．

反思 明顯，以上湊配法要有全局觀，要有較強(qiáng)的內(nèi)在觀察力，要有幾分“數(shù)學(xué)功底”才能應(yīng)對(duì)自如，對(duì)能力不強(qiáng)的學(xué)生顯得太技巧了，但換元法程序化，按步就班，無(wú)高難“動(dòng)作”，既簡(jiǎn)約又簡(jiǎn)單，實(shí)為好法，值得深思悟透，定會(huì)感到“心有靈犀一點(diǎn)通”的和諧共鳴，應(yīng)為全體同學(xué)所掌握．

以上數(shù)例說(shuō)明許多數(shù)學(xué)問(wèn)題通過(guò)換元，可使問(wèn)題模式化、簡(jiǎn)單化、具體化、熟悉化、程序化，輕松快速地找到解決問(wèn)題的突破口．最后本文旨在強(qiáng)調(diào)：“讓換元成為一種習(xí)慣，讓換元成為一種思想方法，讓換元喚發(fā)無(wú)限的生機(jī)，讓換元成為解題的利器”．