楊小東，徐志良，楊啟帆，彭定強，董明成

(1.重慶大學(xué)教育部深空探測聯(lián)合研究中心,重慶400044；2.重慶大學(xué)機械傳動國家重點實驗室,重慶400044)

1 引言

目前,太空探測的主要運輸手段是運載火箭,存在運輸成本高、污染嚴重及產(chǎn)生太空垃圾等缺點。未來大規(guī)模的空間設(shè)施建設(shè)、常態(tài)化的天地運輸,須尋求更加經(jīng)濟、環(huán)保、可持續(xù)的天地運輸模式。為了滿足這種需求,俄羅斯科學(xué)家Y.Artsutanov提出了如圖1(a)所示的地球天梯概念［1］。天梯系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡單,且可像高速公路一樣24小時連續(xù)運轉(zhuǎn),將航天器和旅客送入太空,其成本是運載火箭運輸成本的1%左右［2］。

天梯系統(tǒng)除了天梯繩索的材料及建造成本之外,常態(tài)化的天地運輸過程中爬升機構(gòu)的能耗將成為主要的運行成本,天梯系統(tǒng)爬升機構(gòu)在爬升及降落過程中的動力及功耗的分析計算是亟待解決的問題。P.Swan依據(jù)國際航天學(xué)會的研究,建議如圖1(b)所示的天梯爬升機構(gòu)在爬升過程中的平均速度應(yīng)為 60 m/s［3］。 Pamela Woo［4］主要研究了LEO-GEO段太空天梯系統(tǒng)在運輸過程中的能耗；結(jié)論顯示其能耗居于傳統(tǒng)火箭與天梯系統(tǒng)之間,且天梯長度,載荷與驅(qū)動機構(gòu)質(zhì)量比,LEO高度,天梯材料等系統(tǒng)參數(shù)對其能耗有影響。

目前涉及地球天梯爬升機構(gòu)運行能耗的具體計算方法及數(shù)值結(jié)果的文獻尚少。日本航天局擬采用新干線列車技術(shù)來解決地球電梯進入太空的動力問題［2］。通過分析天梯系統(tǒng)的運行特點,可參考相關(guān)載運牽引模型進行簡化。P.Swan研究得到20 t重的爬升機構(gòu)啟動所需最大功率為1.18×104kW,且功率隨爬升高度的升高而大幅減少［3］。我國目前尚無地球天梯運行能耗相關(guān)研究,但列車運行牽引計算方法已很成熟,而動車組列車牽引計算的關(guān)鍵是確定其阻力及功率等參數(shù)［5］。國內(nèi)對于高速動車組的牽引研究經(jīng)歷了人工計算、單質(zhì)點方法和多質(zhì)點電算3個階段［6］。曹霞［7］在列車牽引計算理論的基礎(chǔ)上,研究了粘著牽引力,運行阻力,動車組牽引特性計算等內(nèi)容。宋海藍等［8］針對月球天梯環(huán)境,考慮乘客舒適性問題,提出了一種加速度二項式運動方式,其加速度大小和加速時間可以結(jié)合實際情況選??；并根據(jù)牛頓第二定律分段建立太空艙牽引力數(shù)學(xué)模型,求解了各階段的最大牽引力、最大功率及能耗等參數(shù)。

本文針對我國天梯能耗研究的不足,基于動車組單質(zhì)點列車牽引力/功率模型,并考慮運行方向、地球引力、空氣阻力、科里奧利力及外太空真空環(huán)境等因素,建立一種地球天梯運行能耗模型,并求解地球天梯爬升機構(gòu)爬升過程的啟動牽引力、最大功率及總能耗等相關(guān)參數(shù)。

2 爬升機構(gòu)運行環(huán)境分析

地球天梯系統(tǒng)運行環(huán)境包括了地球引力、空氣阻力、科里奧利力、機械摩擦力及外太空真空環(huán)境等因素,對地球天梯爬升機構(gòu)運行過程進行合理地分解有助于建立準確的能耗模型。隨著爬升高度的升高,根據(jù)空氣阻力及地球引力的變化規(guī)律,將地球天梯的整個運行過程分解為四個部分,包括加速階段、巡航階段(大氣層內(nèi))、巡航階段(大氣層外)及減速階段,可較為準確地模擬地球天梯的真實環(huán)境。

天梯繩索材料為碳納米管,屬于粘彈性材料,橫向振動、剪切和彎曲應(yīng)力均可忽略不計［9］。天梯繩索為兩端固定軸向運動類材料,爬升機構(gòu)的驅(qū)動力引起天梯繩索的機械能變化,改變了天梯繩索的局部張力,而天梯材料的彈性模量及抗拉強度分別為1800 GPa和200 GPa［10］,所受動張力極小。為便于分析,將地球天梯系統(tǒng)簡化為繩子系統(tǒng),爬升機構(gòu)簡化為質(zhì)點［7］。地球天梯爬升機構(gòu)運行過程中,爬升機構(gòu)將產(chǎn)生科氏加速度分量增加附加摩擦力。因為科氏加速度僅與爬升機構(gòu)的爬升線速度呈線性正比關(guān)系且數(shù)值較小?？剖霞铀俣人a(chǎn)生的摩擦力以安全系數(shù)的形式代替。通過改變驅(qū)動策略,采用緩慢啟動形式可大大削減天梯繩索的動張力及縱向振動［11］。爬升機構(gòu)在天梯繩索上運行時,在加速度階段會對繩索產(chǎn)生向下的拉力,為了減小這個拉力則應(yīng)減小加速度的大小,故選擇小加速度—長加速時間的加速策略［8］,天梯繩索振動能耗可忽略不計。

要計算地球天梯的運行能耗,求解爬升機構(gòu)的動力參數(shù)是必要的。本文選取爬升機構(gòu)及載荷共重100 t,爬升階段考慮乘客舒適性要求［7-8］,加速度階段平均加速度為1.5 m/s2,達到極限速度200 km/h(55 m/s)需要約37 s,加速距離約為1 km；制動階段選擇平均減速度為0.5 m/s2,制動時間約為110 s,制動距離約為3 km。具體階段劃分及參數(shù)選取如表1所示。

表1 爬升機構(gòu)各階段參數(shù)選取Table 1 Parameter selection at each stage of the climbing mechanism

表中i＝0,1,2,3,分別對應(yīng)天梯運行的加速、巡航和減速段。a為爬升機構(gòu)牽引加速度,g為重力加速度；f為天梯爬升機構(gòu)所受阻力系數(shù),如式(1)所示［7］：

式中,fM為機械摩擦阻力,fA為空氣阻力,分別如式(2)、(3)所示：

式中,Fp為垂直于天梯繩索的正壓力,μ取為0.3。根據(jù)大氣層分布參數(shù)可擬合出ρA的經(jīng)驗公式如式(4)：

3 運行過程受力分析及能耗建模

地球天梯爬升機構(gòu)運行加速階段、巡航階段(大氣層內(nèi))、巡航階段(大氣層外)及減速階段各階段受力分析簡圖如圖2所示,天梯系統(tǒng)爬升機構(gòu)在爬升階段受到地球引力及阻力的阻礙,其驅(qū)動力計算需考慮自身重力及阻力等因素。

在加速階段,天梯爬升機構(gòu)受到地球引力、空氣阻力、科里奧利力、機械摩擦力等綜合作用的影響,其所需牽引力最大。加速階段采用恒力啟動,需先求得啟動牽引力,參考動車組牽引力公式［7］,且考慮垂直爬升,假定輪子與天梯繩索間摩擦系數(shù)取μ＝0.3,可得天梯爬升機構(gòu)啟動牽引力模型如式(5)：

式中,Δa為剩余加速度,取0.05 m/s2；μ為輪子與繩索間摩擦系數(shù),取μ＝0.3；g0為加速階段重力加速度,取g0＝9.8 m/s2；f0為加速階段阻力系數(shù)。基于動車組牽引功率公式［12］,針對天梯系統(tǒng)特點,可建立地球天梯爬升機構(gòu)運行功率模型如式(6)：

式中,K為慣性系數(shù),取K＝1.06；Δv為氣流速度,取 100 km/h；ηGear為齒輪傳動效率,取0.98；ηM為電動機傳動效率,取0.94。

當(dāng)速度達到目標速度(200 km/h)時,進入巡航階段,以恒定速度運行,在此階段分別受到地心引力及阻力的阻礙。根據(jù)阻力情況可細分為兩個階段：在大氣層內(nèi)速度大于等于200 km/h,以空氣阻力為主,如圖2(b)；在大氣層外,以機械摩擦阻力為主,如圖2(c)?？山⒀埠诫A段所需牽引力和功率模型分別如式(7)、(8)：

在即將到達GEO軌道空間站時,爬升機構(gòu)需要提前制動,進入減速階段。真空環(huán)境下沒有空氣阻力,依靠機械摩擦和反向驅(qū)動來提供制動力,可建立該階段牽引力和功率模型分別如式(9)、(10)：

綜上,參考動車組能耗公式［7］,可建立地球天梯爬升機構(gòu)運行能耗模型如式(11)：

4 運行能耗求解

4.1 最大牽引力及最大功率求解

如上所述,地球天梯爬升機構(gòu)運行過程中加速階段所需牽引力及功率最大。求解最大牽引力及最大功率有助于計算運行過程的功率分布及運行總能耗,且可用于輔助確定地球天梯系統(tǒng)的供能方案及電機選型。在加速階段,根據(jù)公式(1)可確定天梯爬升機構(gòu)的阻力系數(shù)在15～85(N/kN)之間,求得啟動牽引力及最大功率變化趨勢如圖3所示。可見爬升機構(gòu)啟動牽引力及最大功率均受阻力的影響,且與阻力正相關(guān)。后續(xù)求解爬升機構(gòu)的動力參數(shù)及運行能耗時可參考CHR2車型的參數(shù)選取阻力系數(shù)。

將選定的最大阻力系數(shù)fmax＝68.02 N/kN及運行參數(shù) v＝200 km/h、M ＝100 t代入式(5)、(6)求得爬升機構(gòu)啟動牽引力Fmax＝3710 kN,最大功率Pmax＝9.5066×104kW,從而可求得運行過程中恒牽引力和恒功率轉(zhuǎn)化的速度節(jié)點為92.247 km/h。求得的地球天梯爬升機構(gòu)動力參數(shù)如表2所示。

表2 爬升機構(gòu)動力參數(shù)Table 2 The dynamic parameters of climbing mechanism

解得的地球天梯爬升機構(gòu)加速階段牽引力—功率特性曲線如圖4所示,在到達速度轉(zhuǎn)化節(jié)點之前爬升機構(gòu)以恒定牽引力產(chǎn)生恒定加速度,保持爬升機構(gòu)勻加速運行,其功率呈線性變化；在速度轉(zhuǎn)化節(jié)點后爬升機構(gòu)功率恒定,運行速度繼續(xù)加快,導(dǎo)致牽引力下降。該牽引力-功率關(guān)系符合文獻描述的實際情況［6］。

4.2 運行過程功率及總能耗求解

由于地球天梯的運行環(huán)境復(fù)雜,其阻力模型為分段函數(shù),聯(lián)立公式(5)～(11),通過分段積分可求得地球天梯爬升機構(gòu)爬升過程中不同階段能耗如表3及圖5、6所示。圖5為加速階段及巡航階段(大氣層內(nèi))運行功率曲線,爬升機構(gòu)在加速到最大速度之后功率突然降低,之后由于爬升高度的增高其所受重力逐漸減小,其功率也緩慢降低；圖6為巡航階段(大氣層外)及減速階段運行功率曲線,爬升機構(gòu)在大氣層外運行時不考慮空氣阻力,只考慮機械摩擦阻力及地球引力因素,而地球引力起主要作用,隨著爬升高度的持續(xù)增高,其功率顯著降低,直至減速階段以恒定減速度使爬升機構(gòu)安全到達同步軌道空間站,從圖6可以看出功率曲線似對數(shù)函數(shù)分布,其與地球引力隨高度變化趨勢一致［3］,符合實際情況。

表3 爬升機構(gòu)運動情況及能耗表Table 3 The movement and energy consumption of the climbing mechanism

由表3可知,基于地球天梯爬升機構(gòu)的加速策略及運行距離,從加速完成至接近地球同步軌道空間站大約歷時7天,巡航階段(大氣層外)運行時間占總運行時間的99.87%,其運行能耗占總能耗的99.25%,即：地球引力及機械摩擦阻力決定了天梯爬升機構(gòu)總能耗,其他星球天梯爬升機構(gòu)運行能耗分布符合類似規(guī)律。

5 結(jié)論

1)考慮了地球引力、空氣阻力、科里奧利力、機械摩擦力及外太空真空環(huán)境等因素,提出的地球天梯爬升機構(gòu)運行能耗計算模型,通過計算運行最大牽引力、最大功率和全過程功率分布曲線,模型有效性得到了驗證。

2)地球天梯運行過程中所需最大牽引力約為3710 kN,最大功率約為9.5066×104kW,爬升過程運行總能耗約為1.4781×106kW·h。

3)最大牽引力及最大功率均發(fā)生在加速階段,爬升機構(gòu)的最大牽引力及最大功率均受阻力的影響,且與阻力呈正相關(guān)關(guān)系。

4)由于巡航階段(大氣層外)運行時間占總運行時間的99.87%,其運行能耗占總能耗的99.25%,即：地球引力及機械摩擦阻力決定了地球天梯爬升機構(gòu)總能耗。