上海 黃 之 (郵編：638400)

問題 四邊形ABCD有一個(gè)內(nèi)切圓O，兩條對(duì)邊分別交于F、E(如圖)，分別過A、B、C、D、E、F作AO、BO、CO、DO、EO、FO的垂線，證明：直線AC、BD、EF，以及六條垂線，同時(shí)與某條拋物線相切.

本文對(duì)上述問題進(jìn)行研討.

圖1

1 一個(gè)經(jīng)典問題

經(jīng)典問題 已知拋物線的四條切線，作拋物線.(尺規(guī)作出其焦點(diǎn)和準(zhǔn)線). 此問題的最簡單方法，源自蘭伯特定理：拋物線的切線組成的三角形，其外接圓通過拋物線的焦點(diǎn).

首先，下面的事實(shí)是容易證明：一條直線能作為拋物線的切線的充要條件是：焦點(diǎn)關(guān)于它的對(duì)稱點(diǎn)落在準(zhǔn)線上，且為切點(diǎn)在準(zhǔn)線上的投影.

先考慮拋物線的兩條切線SA和SB，則F關(guān)于SA、SB的對(duì)稱點(diǎn)落在準(zhǔn)線上，分別設(shè)為P、Q(如圖1)，AP和BQ都是準(zhǔn)線的垂線，易有：

∠FAS=∠PAS,∠FBS=∠QBS.

顯然△FPQ的外心就是S，于是由圓周角是圓心角的一半的事實(shí)得到，∠PAS=∠QPF=∠BSQ，∠SBF=∠PQF=∠FSA，所以△FSA∽△FBS.

圖2

現(xiàn)在加入另外一條切線，它與之前兩條直線SA、SB分別相交于M、N，又設(shè)T是MN與拋物線的切點(diǎn)(如圖2).則根據(jù)上述三角形的相似的性質(zhì)，有∠FAS=∠FSN，而又∠FAM=∠FMT，所以∠FSN=∠FMN.這表明F、M、S、N四點(diǎn)共圓，這就是蘭伯特定理，△SMN的外接圓經(jīng)過焦點(diǎn)F. 即拋物線切線形成的三角形外接圓經(jīng)過焦點(diǎn).

圖3

根據(jù)蘭伯特定理，如果已知拋物線的四條切線，如圖3中AB、BC、CD、DA是已知的切線，那么在四條直線圍成的三角形中選出兩個(gè)，作出它們的外接圓，則兩圓產(chǎn)生的新交點(diǎn)，就是拋物線的焦點(diǎn)(事實(shí)上四個(gè)三角形的外接圓共點(diǎn)，這由不難證明的米庫爾定理給出)，再作出焦點(diǎn)關(guān)于其中兩條直線的對(duì)稱點(diǎn)，連之即是準(zhǔn)線(事實(shí)上四個(gè)對(duì)稱點(diǎn)共線，這可由西姆松定理得到).

2 幾個(gè)引理

為了流暢解答問題113，還需要幾個(gè)引理.

圖4

引理1 如圖4，圓O的內(nèi)接四邊形ABCD兩組對(duì)邊分別交于E、F，對(duì)角線AC、BD交于G，由米庫爾定理，△ABF、△ADE、△AFC、△AEC共點(diǎn)H，現(xiàn)在有結(jié)論：F、H、E三點(diǎn)共線，O、G、H三點(diǎn)共線，且OH⊥EF.

證明 先證明F、H、E共線，其實(shí)十分簡單，由∠FHA=∠ABC=∠ADE=180°-∠EHA.

其次證OH⊥EF，考慮F、E對(duì)圓O的冪的差(FO2-r2)-(EO2-r2)，其中r是圓O半徑.而另一方面，F(xiàn)、E對(duì)圓O的冪的差又是FA·FD-EA·EB，而這即是FH·FE-EH·EF.

圖5

于是有FO2-EO2=FH2-EH2，這表明OH⊥EF.

最后證O、G、H共線，如右圖5，準(zhǔn)備通過證明GO⊥EF達(dá)到目的.設(shè)直線FG與△AFC的外接圓交于另一點(diǎn)J，則有∠AJF=∠ACF=∠ADB，這表明A、G、J、D四點(diǎn)共圓.由此有兩個(gè)式子

兩式相減得：FG2=FA·FD-AG·GC，這表明相對(duì)于圓O而言，F(xiàn)G2=F的冪+G的冪=(FO2-r2)+(GO2-r2)，

同理可以有：EG2=E的冪+G的冪=(EO2-r2)+(GO2-r2)，

以上兩式相減得FG2-EG2=FO2-EO2，

這就表明GO⊥EF，換言之，O、G、H共線.

引理2 如圖6，四邊形ABCD有一內(nèi)切圓O，過A、B、C、D各作直線分別與AO、BO、CO、DO垂直，四條垂線形成完全四線形，如圖6，則有結(jié)論：

四邊形HIJK是圓內(nèi)接四邊形，且其對(duì)角線IK、HJ相交于O點(diǎn).

證明 先證明H、I、J、K四點(diǎn)共圓，由于

∠IAO=∠IBO=90°，∠KDO=∠KCO=90°，

圖6

所以顯然問題歸結(jié)為證明∠AOB+∠DOC=180°.

如圖6，設(shè)圓O與四邊形的切點(diǎn)為L、M、N、P，則顯然有：∠AOL=∠AOM,∠MOB=∠NOB,∠NOC=∠POC,∠POD=∠LOD

其次證IK、HJ相交于O.由于四個(gè)四邊形AOBI、BOCJ、CODK、DOAH都是圓內(nèi)接四邊形，所以，∠HOI=∠AOI+∠HOA=∠ABI+∠HDA，∠KOJ=∠KOC+∠JOC=∠CDK+CBJ，而且HI、IJ、JK、KH分別與AO、BO、CO、DO垂直，所以∠HOI=∠KOJ，同理又有∠HOK=∠IOJ，這兩個(gè)式子表明∠HOI+∠HOK=180°，所以I、O、K共線，同理H、O、J也三點(diǎn)共線.證畢.

圖7

3 擂題的解決

解決的思路是，找出其中四條直線，然后用經(jīng)典問題的方法作出拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，然后證明其余的直線都與該拋物線相切.

如圖7，過A、B、C、D的垂線兩兩交于完全四點(diǎn)形GKLH，KL與HG交于I、KG與LH交于J.選擇直線GK、KL、LH、HG，用經(jīng)典問題的方法，作出拋物線與這四條直線都相切，即，作△IGK和△GHJ的外接圓，兩者交于新的點(diǎn)就是焦點(diǎn)，作焦點(diǎn)關(guān)于四條直線的對(duì)稱點(diǎn)，它們?cè)谕粭l直線上，這條直線就是準(zhǔn)線.

下面要做的事情就是證明其余的直線都與這條拋物線相切.先證明直線AC是拋物線的切線.這等價(jià)于證明焦點(diǎn)關(guān)于AC對(duì)稱點(diǎn)落在準(zhǔn)線上.設(shè)焦點(diǎn)P關(guān)于直線KG、LH的對(duì)稱點(diǎn)分別是P1、P2，由西姆松定理，可以將問題歸結(jié)為證明焦點(diǎn)P落在△ACJ外接圓上.

因?yàn)椤螼AJ=∠OCJ=90°，所以只需要證明∠OPJ=90°.由引理2，四邊形GKLH是圓內(nèi)接四邊形，且兩對(duì)角線KH、GL恰交于O點(diǎn)，進(jìn)一步由引理1，得：I、P、J三點(diǎn)共線，且O和P的連線與IJ垂直，這就是要證明的.

這樣，就證明了P、A、O、C、J五點(diǎn)在同一個(gè)圓上，由西姆松定理，焦點(diǎn)P關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)在直線P1P2上，即在準(zhǔn)線上，換言之，AC是切線.

同理，BD也是切線.

從本質(zhì)上說，EF和BD、AC一樣，而過E、F的垂線，和一開始的四條直線一樣.然而，目前似乎還看不出本質(zhì)的結(jié)構(gòu).

先說一個(gè)事實(shí)：

事實(shí)上，上述構(gòu)造出來的準(zhǔn)線是一條過O點(diǎn)的直線，為了說明這一點(diǎn)，先給出一個(gè)命題：

圓內(nèi)接四邊形A2B2B4A4，兩組對(duì)邊交于F(如圖8)，L、N分別是△FA2B2，△FA4B4的垂心，M是四邊形的交點(diǎn)，則：L、M、N共線(如圖9).

證明可以由三點(diǎn)共線的充分必要條件，通過分析A1A2A3A4和B1B2B3B4做到.略去.

事實(shí)上即是A1A2A3A4的交比等于B1B2B3B4的交比.

由上述命題，△IGK和△IHL的垂心和O在一條直線上再結(jié)合前述，以及西姆松定理，斯坦納定理，就能得到f關(guān)于四條直線的對(duì)稱點(diǎn)所在直線經(jīng)過點(diǎn)O.(如圖10)

圖8

圖9

圖10

圖11

由此，結(jié)合O與焦點(diǎn)連線垂直于IJ，又可以多出一條切線：OI和OJ的中點(diǎn)連線.

下面簡明證明一下，過E、F的垂線以及EF都是切線：首先不難證明，拋物線的切線形成的三角形的垂心落在其準(zhǔn)線上.而當(dāng)兩邊為切線，而又有垂心在準(zhǔn)線上時(shí)，第三邊必然是切線.

易于證明，G是△EAD的內(nèi)心(如圖11)，又結(jié)合MA⊥AO，ND⊥DO，可有G為△MNO的垂心，這時(shí)，注意到O為△MNG的垂心，于是，MN就是拋物線的切線.

圖12

同理，過F的垂線也是切線.

圖13

至于EF，現(xiàn)在已經(jīng)證明過F、E的垂線也是切線，則EF可以如同以往的AC一樣的方式處理.

只要證明焦點(diǎn)P，E、O、F、Q五點(diǎn)在同一個(gè)圓上(如圖12)即可. 至此，已經(jīng)證明完畢.

圖14

4 后記

也許解決的過程比較繁瑣，但是在過程中遇到很多精彩的、包括一些沒有寫出來的性質(zhì)，難道這不也是一種收獲嗎？應(yīng)該說吳波老師發(fā)現(xiàn)此命題的過程才是最重要的，肯定比證明過程更精彩.說明幾點(diǎn)：

(1)如圖13提到的共線充要條件：k、l是平面上兩條任意直線，直線k上有四點(diǎn)A、B、C、D，l上有四點(diǎn)E、F、G、H，滿足(AC·BD)/(AD·BC)=(EG·FH)/(EH·FG)，直線AF與BE交于I，BG與CF交于J，CH與DG交于K，則I、J、K三點(diǎn)在同一條直線上.反之亦然.

(2)本文第一段中的問題來自100個(gè)著名初等數(shù)學(xué)問題.

(3)本文第二段的引理1和引理2結(jié)合起來應(yīng)該是很有趣的！

(4)完整的十條切線(如圖14).