福建省福州華僑中學(xué) 李文明 (郵編：000000)

《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)》在每一期的封底都刊登有獎(jiǎng)解題擂臺(tái)，形式新穎，吸引了很多數(shù)學(xué)愛(ài)好者眼球，好的證明方法更是層出不窮，為初等數(shù)學(xué)的繁榮與普及做出積極貢獻(xiàn).當(dāng)然筆者也被擂臺(tái)上的數(shù)學(xué)問(wèn)題所吸引，這是因?yàn)閿?shù)學(xué)解題最重要的能夠有效地訓(xùn)練人的數(shù)學(xué)思維能力，進(jìn)而不斷提高數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng).下面是筆者經(jīng)過(guò)反復(fù)認(rèn)真的思考與探究得到了擂臺(tái)賽問(wèn)題的一個(gè)簡(jiǎn)明的、具有普遍意義的、且有點(diǎn)顛覆傳統(tǒng)的證明方法。

問(wèn)題一 有獎(jiǎng)解題擂臺(tái)(109)

問(wèn)題二 有獎(jiǎng)解題擂臺(tái)(110)

問(wèn)題三 有獎(jiǎng)解題擂臺(tái)(114)

證明 不妨設(shè)a≥b≥c>0,x≥y≥z>0

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c,x=y=z時(shí)，“=”成立！

問(wèn)題四 有獎(jiǎng)解題擂臺(tái)(115)

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，“=”成立！

問(wèn)題五 有獎(jiǎng)解題擂臺(tái)(116)

證明 不妨設(shè)a≥b≥c>0，則

a3b+b3c+c3a-(a2b2+b2c2+c2a2)≥3(c4-a4)恒成立，因此

a3b+b3c+c3a-(a2b2+b2c2+c2a2)≥[3(c4-a4)]max=0.

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，“=”成立

一個(gè)好的數(shù)學(xué)方法，不僅僅能夠解決某個(gè)具體問(wèn)題，還能夠解決一類(lèi)問(wèn)題，本質(zhì)上講我們沒(méi)有利用任何著名的不等式定理，僅僅是根據(jù)實(shí)數(shù)的有序性公理，恰當(dāng)?shù)姆诺耐瑫r(shí)再恰當(dāng)?shù)目s，回歸數(shù)學(xué)的本真，大道至簡(jiǎn)，至簡(jiǎn)大美！數(shù)學(xué)的魅力是無(wú)窮的，關(guān)鍵是要用心去思考，用心去挖掘，用心去感受！其實(shí)此種方法可以解決眾多的國(guó)內(nèi)國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克不等式問(wèn)題，這將為數(shù)學(xué)的普及開(kāi)創(chuàng)全新的局面！