四川省內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 余小芬 劉成龍 (郵編：641100)

數(shù)學(xué)是一門(mén)歷史性或積累性很強(qiáng)的學(xué)科，數(shù)學(xué)知識(shí)的形成經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的歷史過(guò)程，它是伴隨著人類(lèi)社會(huì)生產(chǎn)、生活而自然產(chǎn)生、發(fā)展和成熟的.在歷史長(zhǎng)河的悠久沉淀中，形成了數(shù)學(xué)深厚的文化底蘊(yùn)、閃耀著豐富的知識(shí)成果，彰顯了睿智的數(shù)學(xué)思想、傳承著刻苦鉆研的精神.由此可見(jiàn)，了解數(shù)學(xué)史、感受數(shù)學(xué)文化，不僅可以引導(dǎo)學(xué)生初步了解數(shù)學(xué)產(chǎn)生與發(fā)展的過(guò)程，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解，更能培養(yǎng)他們嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)的態(tài)度和鍥而不舍的精神.因此，關(guān)注數(shù)學(xué)文化意識(shí)的養(yǎng)成，努力推進(jìn)數(shù)學(xué)文化教育，已經(jīng)成為當(dāng)今數(shù)學(xué)教育改革的一個(gè)重要特征.近年高考，以數(shù)學(xué)文化作為試題背景已成為高考命題的新亮點(diǎn)、新趨勢(shì).例如：2016年四川卷理科第6題以秦九韶算法考查程序框圖、2017年全國(guó)卷Ⅰ理科第2題以我國(guó)極具哲理和審美價(jià)值的太極圖為背景考查幾何概型、2017年全國(guó)卷Ⅱ理科第3題以我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中的古算詩(shī)題為素材考查等比數(shù)列求和公式.

《2018年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試大綱》(下文簡(jiǎn)稱(chēng)《大綱》)在“個(gè)性品質(zhì)要求”中明確提到：“要求考生具有一定的數(shù)學(xué)視野，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值和人文價(jià)值，崇尚數(shù)學(xué)的理性精神，形成審慎的思維習(xí)慣，體會(huì)數(shù)學(xué)的美學(xué)意義.”同時(shí)，《大綱》指出：“數(shù)學(xué)學(xué)科的命題，在考查基礎(chǔ)知識(shí)的基礎(chǔ)上，注重對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查，注重對(duì)數(shù)學(xué)能力的考查，展現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值和人文價(jià)值.”在此背景下，2018年高考堅(jiān)持“立德樹(shù)人”“文化育人”的基本理念，涌現(xiàn)了一大批優(yōu)秀的數(shù)學(xué)文化試題，例如：2018全國(guó)卷Ⅰ理科第10題以古希臘數(shù)學(xué)希波克拉底的月牙定理為背景考查幾何概型、2018全國(guó)卷Ⅱ理科第8題以哥德巴赫猜想為背景考查古典概型、2018年北京卷理科第4題以“十二平均律”為背景考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式等等.下文將從試題背景、試題解法、試題變式等角度重點(diǎn)研究全國(guó)·卷理科第10題.

1 試題呈現(xiàn)

圖1

(2018全國(guó)卷Ⅰ理科第10題，下文簡(jiǎn)稱(chēng)10題)圖1來(lái)自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個(gè)圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC、直角邊AB、AC，△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ，在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分別記為p1、p2、p3，則( )

A.p1=p2B．p1=p3

C．p2=p3D．p1=p2+p3

2 試題背景

本例以古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底發(fā)現(xiàn)的一條優(yōu)美平面幾何定理(又稱(chēng)為希波克拉底定理或月牙定理)為命題素材考查幾何概型.希波克拉底，古希臘著名數(shù)學(xué)家，他對(duì)幾何學(xué)的貢獻(xiàn)很大，他的《幾何綱要》是幾何學(xué)的第一本教科書(shū)，據(jù)說(shuō)包括了歐幾里得《幾何原本》的前四卷內(nèi)容.而他所發(fā)現(xiàn)的月牙定理是在人們追求“化圓為方”難題的解決過(guò)程中產(chǎn)生的.希波克拉底最先發(fā)現(xiàn)有一些除圓以外奇妙的曲邊圖形的面積會(huì)和某個(gè)多邊形面積相等，他最先利用月牙定理印證了他的猜想，所謂月牙定理，即是：以直角三角形兩條直角邊向外做兩個(gè)半圓，以斜邊向內(nèi)做半圓，則三個(gè)半圓所圍成的兩個(gè)月牙型面積之和等于該直角三角形的面積.

3 試題解法

解法研究是研究高考的最基本形式.解法研究的視角有：一題多解、多題一解、一題多用、錯(cuò)解分析等等.其中，一題多解指從不同視角對(duì)同一問(wèn)題進(jìn)行分析進(jìn)而得到多種解答方法.在一題多解的過(guò)程中，需要關(guān)注解題思路的形成、解題方法的提煉、解法的邏輯表達(dá)和解題策略的優(yōu)化.通過(guò)對(duì)解法間共性與差異的分析，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)問(wèn)題的本質(zhì)的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的思維的靈活性和策略的多樣性.

解法1 希波克拉底的證法

即直角邊上兩個(gè)半圓面積之和等于斜邊上半圓的面積.再?gòu)纳厦娴仁街校瑑蛇呁瑫r(shí)減去圖1中兩個(gè)白色弓形的面積之和，即可得出結(jié)論：直角邊上的兩個(gè)月牙形的面積之和等于直角三角形的面積，即SⅠ=SⅡ，因此p1=p2.

評(píng)注 希波克拉底從勾股定理出發(fā)，通過(guò)對(duì)式的巧妙變形，數(shù)形的完美結(jié)合，證明了結(jié)論.月牙定理的發(fā)現(xiàn)及證明讓人們欣賞了美妙的圖形結(jié)構(gòu)，感嘆著耐人尋味的割補(bǔ)技巧，這給當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家?guī)?lái)極大鼓舞，認(rèn)為“畫(huà)圓為方”問(wèn)題也不難解決了.

解法2 直接計(jì)算法

所以SⅠ=SⅡ，p1=p2.

圖2

圖3

解法3 極限法

當(dāng)直角邊AC無(wú)限接近斜邊BC，由圖3，區(qū)域Ⅲ的面積明顯大于區(qū)域Ⅰ、Ⅱ的面積，即SⅢ>SⅠ，SⅢ>SⅡ，故排除B、C、D.選A.

評(píng)注 極限策略是重要的數(shù)學(xué)解題策略之一，是“極限逼近”思想在解題中的滲透.通過(guò)有限化無(wú)限(或無(wú)限化有限)的方式，可以從宏觀上把握數(shù)或形的變化趨勢(shì)，避免細(xì)節(jié)討論的繁瑣.解法3通過(guò)將直角邊AC(或AB)無(wú)限接近斜邊BC，能快速對(duì)比三個(gè)區(qū)域面積大小，從而迅速得到答案.該法降低了思維難度，提高了解題效率，節(jié)約了解題時(shí)間，真正做到“多想少算”.

4 試題的變式

變式是指一種使直觀材料或者事例不斷變換所呈現(xiàn)的方式，以使其中的本質(zhì)特征恒在，非本質(zhì)特征不常出現(xiàn)的教學(xué)活動(dòng)方式．而數(shù)學(xué)解題變式，就是數(shù)學(xué)解題中，相對(duì)于某種范式(即數(shù)學(xué)材料中具體的數(shù)學(xué)思維成果，含問(wèn)題情境、基本知識(shí)、知識(shí)結(jié)構(gòu)、典型問(wèn)題、思維模式等)的變化形式，在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中不斷地變更數(shù)學(xué)問(wèn)題中的情景或改變思維的角度，變換問(wèn)題中的條件或結(jié)論，轉(zhuǎn)換問(wèn)題的形式或內(nèi)容，配置各種實(shí)際應(yīng)用的環(huán)境等，以期暴露問(wèn)題的本質(zhì)特征或內(nèi)在練習(xí)的教學(xué)方法.因此，試題變式中“我們更應(yīng)該強(qiáng)調(diào)變式的共同本質(zhì)：“變化中求不變”、“求變以突出其中不變的因素.”

圖4

例1 如圖4，A、B、C、D為以BC為直徑的圓的內(nèi)接正六邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，圖中四邊形ABCD圍成的區(qū)域記為Ⅰ，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ，在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分別記為p1、p2、p3，則( )

A.p3

C．p3

區(qū)域Ⅱ的面積為SⅡ=3S2-SⅢ

所以SⅢ

圖5

例2 如圖5，△AOB為等邊三角形，G為AB中點(diǎn)，四邊形BGOF為平行四邊形.弧AEB是以G為圓心，AB為直徑的半圓，弧ADB是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧.圖中四邊形BGOF圍成的區(qū)域記為Ⅰ，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ，在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分別記為p1、p2、p3，則( )

A.p3

C.p3p2=p3

所以SⅡ

評(píng)注 由上述計(jì)算發(fā)現(xiàn)例2中三個(gè)平面區(qū)域的面積大小不等.事實(shí)上，希波克拉底曾發(fā)現(xiàn)：當(dāng)例2中△AOB為等腰直角三角形，即∠AOB=90°時(shí)，有SⅠ=SⅡ，即圖中月牙圖形也可找到一多邊形與之面積相等.(有興趣的讀者可自行證明，此處略.)

5 結(jié)束語(yǔ)

事實(shí)上，希波克拉底曾先將月牙定理中的一般直角三角形改成等腰直角三角形(如圖2)，得到結(jié)論：正方形邊上的兩個(gè)月牙形面積之和等于該正方形面積之和的一半，這顯然正確.但他未加證明“想當(dāng)然”地將圓內(nèi)接正方形的結(jié)論“推廣”到圓內(nèi)接正六邊形(如圖4)：正六邊形三邊上的月牙形面積之和等于正六邊形的一半.這顯然是錯(cuò)誤的，而他在此基礎(chǔ)上引出了更錯(cuò)誤的結(jié)論：圓可以化為方.由此看來(lái)，盡管希波克拉底給人們提供了天才般的視覺(jué)和解法，但他在對(duì)待命題結(jié)論的“想當(dāng)然”也值得我們反思.