李言欽， 關(guān)雪豐， 王軍雷

(鄭州大學(xué) 化工與能源學(xué)院 河南 鄭州 450001)

0 引言

鈍體繞流是流體力學(xué)中的復(fù)雜問(wèn)題.流體繞流鈍體時(shí)，在尾流兩側(cè)會(huì)產(chǎn)生交替旋渦，即卡門渦街.卡門渦街中的旋渦脫落作用會(huì)對(duì)鈍體產(chǎn)生周期性、脈動(dòng)性作用力，如果鈍體本身具有彈性或者彈性安裝，當(dāng)流體力作用在鈍體上時(shí)，鈍體會(huì)發(fā)生周期性的振動(dòng)，稱為流致振動(dòng).通常認(rèn)為流致振動(dòng)是一種只有害現(xiàn)象，因?yàn)楫?dāng)旋渦脫落的頻率接近鈍體的固有頻率時(shí)，會(huì)使鈍體振動(dòng)大幅增強(qiáng)，鈍體結(jié)構(gòu)容易產(chǎn)生破壞.然而隨著微能源技術(shù)的飛速發(fā)展，研究發(fā)現(xiàn)渦激振動(dòng)可作為一種能量轉(zhuǎn)換過(guò)程，具有實(shí)現(xiàn)能量收集的可能性.目前，人們發(fā)現(xiàn)的實(shí)現(xiàn)振動(dòng)機(jī)械能到電能的轉(zhuǎn)化方式主要有靜電式[1]、電磁式[2]和壓電式[3].而流致振動(dòng)進(jìn)行微能量收集方法屬于利用壓電材料的正壓電效應(yīng)實(shí)現(xiàn)了振動(dòng)機(jī)械能到電能的轉(zhuǎn)化.

為了對(duì)渦激振動(dòng)能量進(jìn)行高效的收集，國(guó)內(nèi)外相繼發(fā)展了尾流振子模型、二階彈簧-振子模型、統(tǒng)計(jì)模型以及多項(xiàng)伽遼金求解模型[4]等數(shù)學(xué)模型.尾流振子模型[5]由于具有較為明確、合理的物理意義以及較高的計(jì)算精度，因此得到了廣泛的采用.文獻(xiàn)[6]最早提出了尾流振子模型及其完整的數(shù)學(xué)表達(dá)式.文獻(xiàn)[7]研究了尾流振子模型的動(dòng)力特性，發(fā)現(xiàn)位移和速度耦合預(yù)測(cè)升力相位關(guān)系不夠準(zhǔn)確，位移耦合無(wú)法對(duì)鎖定區(qū)升力的大小進(jìn)行有效的判斷.文獻(xiàn)[8]針對(duì)張緊梁提出了用雙耦合尾流振子模型來(lái)模擬2個(gè)方向上的脈動(dòng)作用力.文獻(xiàn)[9]提出了對(duì)彈性的圓柱體適用的Skop-Griffin模型，且計(jì)算出i階振型的數(shù)學(xué)表達(dá)式.自從微能量收集問(wèn)題進(jìn)入學(xué)者的視線以來(lái)，尾流振子模型大都只停留在對(duì)圓柱體渦激振動(dòng)的研究上，而忽略了尾流振子本身對(duì)渦激振動(dòng)的增強(qiáng)作用.本文采用壓電懸臂梁結(jié)構(gòu)，結(jié)合流機(jī)電三物理場(chǎng)耦合方程對(duì)尾流振子渦激振動(dòng)的能量收集特性進(jìn)行分析，采用數(shù)值方法研究了不同雷諾數(shù)(5 000≤Re≤15 000)下尾流振子模型的工況.詳細(xì)分析了尾跡振子的升力系數(shù)、振幅率及收集到的電壓隨時(shí)間的變化規(guī)律，探討了各種因素對(duì)于尾流振子能量收集系統(tǒng)的影響，并將相同雷諾數(shù)下不同尾流振子兩柱間距工況進(jìn)行對(duì)比，以選擇出最合適的間距.

1 物理模型

直接對(duì)物體流致振動(dòng)進(jìn)行研究很抽象，可以將尾跡振子的運(yùn)動(dòng)形象地用質(zhì)量彈簧阻尼系統(tǒng)來(lái)模擬，這樣尾跡振子在渦激振動(dòng)的脈動(dòng)力作用效果等同于在彈簧彈性力的作用效果.考慮到圓柱體流致振動(dòng)沿流動(dòng)方向的振幅遠(yuǎn)小于橫向振幅，為了求解方便，忽略了流動(dòng)方向振動(dòng).本文采用光滑圓柱面，尾流振子物理模型如圖1所示.取柱體直徑D=0.01 m，柱體質(zhì)量為0.093 4 kg，尾流振子間距為X，彈簧彈性系數(shù)K=678 N/m，系統(tǒng)阻尼C=0.107 N·s/m.

表1 尾流振子工況參數(shù)

將尾流振子模型置于流場(chǎng)中，假設(shè)為無(wú)邊界流場(chǎng)，設(shè)計(jì)的尾流振子能量收集系統(tǒng)如圖2所示.假設(shè)尾流振子處于1.2 m×1.0 m×0.4 m且溫度恒定為20 ℃的水流場(chǎng)中，工況參數(shù)如表1所示，其中Ur為折減速度.流速取0.8 m/s，圓柱直徑為D，長(zhǎng)L為1 m，尾流振子間距為11D，尾流振子材料選擇密度為1 190 kg/m3的鋁合金材料.

圖1 尾流振子物理模型Fig.1 Wake oscillator physical model

圖2 尾流振子能量收集系統(tǒng)Fig.2 Wake oscillator energy harvesting system

單自由度M-C-K系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)控制方程可以由二階彈簧-振子方程表示為

(1)

式中：M為系統(tǒng)的總質(zhì)量；C為系統(tǒng)阻尼；K為彈性系數(shù)；y為尾部柱體的位移；Fy表示垂直于來(lái)流方向的單位體積的流場(chǎng)力.

將系統(tǒng)阻尼和臨界阻尼的比值設(shè)為系統(tǒng)的阻尼系數(shù)ζ，定義式為

(2)

設(shè)系統(tǒng)頻率為ωn，定義式為

(3)

折減速度Ur可以表示為

柱體渦激振動(dòng)力等效為壓電懸臂梁模型中質(zhì)量塊的重力，設(shè)尾跡振子的位移為y，結(jié)合M-C-K方程和壓電懸臂梁機(jī)構(gòu)電路圖，可以得到尾流振子渦激振動(dòng)能量收集的機(jī)電耦合控制方程組為

(4)

(5)

式中：參數(shù)θ為機(jī)電耦合系數(shù)；Cp為等效電容.

引入渦激振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)形式方程為

y=ymaxsin(ωnt+φ).

(6)

2 數(shù)值方法

格子Boltzmann方法是本文的一個(gè)核心計(jì)算方法，它是從分子動(dòng)理論學(xué)說(shuō)出發(fā)，基于微觀粒子運(yùn)動(dòng)，在介觀層次對(duì)粒子建立了離散速度模型、時(shí)間和空間離散模型.再根據(jù)質(zhì)量、動(dòng)量和能量守恒分別建立密度、速度、內(nèi)能的方程，求出粒子分布函數(shù)，然后用統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法得到宏觀的壓力、流速等參數(shù).

建立離散速度模型，只考慮單組分氣體，然后設(shè)速度分布函數(shù)為f，f的值與空間位置矢量r(x，y，z)、分子速度矢量ξ(ξx，ξy，ξz)及時(shí)間t有關(guān).粒子分布函數(shù)n即為t時(shí)刻r處單位體積內(nèi)的分子數(shù)，也稱數(shù)密度.

速度分布函數(shù)f的改變，可能是由分子的運(yùn)動(dòng)或分子的碰撞引起的.由鋼球碰撞理論可得

(7)

從Boltzmann方法到Boltzmann-BGK方程，就是用一個(gè)簡(jiǎn)單的算子Ω來(lái)替代碰撞項(xiàng)，從而達(dá)到簡(jiǎn)化Boltzmann方程的目的.Ω代替了Boltzmann方程右側(cè)的碰撞項(xiàng)，得出了BGK近似:

Ωf=ν[feq(r,ξ,t)-f(r,ξ,t)].

(8)

圖3 D2Q9模型Fig.3 D2Q9 model

BGK近似使得Boltzmann方程線性化，大大簡(jiǎn)化了方程的求解.引入碰撞時(shí)間τ0，它是粒子平均每?jī)纱闻鲎驳臅r(shí)間間隔，也稱弛豫時(shí)間，可以表示為τ0=1/ν.

簡(jiǎn)化后的Boltzmann-BGK方程可以表示為

(9)

從Boltzmann-BGK方程到格子Boltzmann方程是速度離散、時(shí)間離散、空間離散的過(guò)程.

本文采用D2Q9模型，如圖3所示.由格子Boltzmann方法得平衡態(tài)分布函數(shù)為

(10)

式中：wi為權(quán)系數(shù).

3 結(jié)果與討論

采用基于格子Boltzmann方法的XFlow軟件對(duì)尾流振子流致振動(dòng)進(jìn)行數(shù)值模擬，該方法應(yīng)用范圍廣、效率高，無(wú)須網(wǎng)格，邊界條件易于處理，模擬精度較高.內(nèi)部求解器適合完整的流固耦合分析，計(jì)算域如圖4所示.

對(duì)于有外接電阻R的情況，采用XFlow軟件和OpenModelica進(jìn)行流機(jī)電耦合計(jì)算，由XFlow軟件得到尾跡振子的升力隨時(shí)間變化的數(shù)據(jù)，再將數(shù)據(jù)輸入到OpenModelica中，通過(guò)對(duì)方程(4)、(5)的求解可得到尾流振子的振幅隨時(shí)間的變化值和渦激振動(dòng)產(chǎn)生的電壓隨時(shí)間的變化值.能量收集計(jì)算中，系統(tǒng)機(jī)電耦合系數(shù)θ=0.000 202 2 V/N，等效電容Cp=61.3 nF，引入無(wú)量綱參數(shù)Ur使計(jì)算更具有普遍性，通過(guò)改變來(lái)流速度(即流體雷諾數(shù)Re)和兩柱間距來(lái)討論隨之改變的渦激振動(dòng)參數(shù)及其產(chǎn)生的電壓值，以確定最適合能量收集的流體參數(shù)和兩柱間距.

3.1 不同雷諾數(shù)下尾流振子流致振動(dòng)

振幅隨速度的變化如圖5所示.尾流振子在速度為0.5～0.7 m/s，即Re為5 000～7 000的條件下，流致振動(dòng)的振幅和電壓的振蕩幅值都比較穩(wěn)定，即為渦激振動(dòng)的初始分支.而當(dāng)Re為7 000～12 000時(shí)振幅顯著提升，電壓振蕩幅值變化較大，即達(dá)到渦激振動(dòng)的鎖振范圍，用折減速度Ur表示的范圍為5.16～8.84.其中Re為8 000時(shí)達(dá)到峰值，因此尾流振子的能量收集最好能保持在雷諾數(shù)為8 000時(shí).在Re大于13 000后，振幅隨雷諾數(shù)的變化逐漸趨于穩(wěn)定，但電壓的振蕩幅值更明顯.此外，隨著雷諾數(shù)的增大，尾跡振子的振動(dòng)頻率從5 Hz逐漸增大到15 Hz，而系統(tǒng)的固有頻率為13 Hz，可知當(dāng)尾流振子的振動(dòng)頻率接近系統(tǒng)的固有頻率時(shí)，系統(tǒng)進(jìn)入鎖振區(qū)域.

圖4 計(jì)算域(單位：m)Fig.4 Computational domain(unit:m)

圖5 振幅隨速度的變化Fig.5 The changes of amplitude with velocity

圖6 Re為8 000時(shí)尾流振子尾跡旋渦形態(tài)Fig.6 Vortex shape in wake of Re=8 000 wake oscillator

3.2 不同兩柱間距下尾流振子流致振動(dòng)

當(dāng)Re為8 000時(shí)，改變兩柱間距，對(duì)尾流振子的流致振動(dòng)特性進(jìn)行分析，某時(shí)刻尾流振子尾跡旋渦形態(tài)如圖6所示，不同間距與振幅的關(guān)系如圖7所示.可以看出，尾流振子尾跡旋渦形態(tài)影響著間距與振幅的關(guān)系，當(dāng)兩列尾跡旋渦錯(cuò)開(kāi)時(shí)，尾跡振子的振幅偏大；而當(dāng)兩列尾跡旋渦在Y軸方向相交時(shí)，2個(gè)渦的升力相互抵消，時(shí)間發(fā)展至此刻時(shí)，其振幅偏小.間距為0.11 m時(shí)電壓隨時(shí)間的變化見(jiàn)圖8.如圖7、圖8所示，在間距為0.03、0.06、0.11 m時(shí)其振幅達(dá)到峰值，間距大于0.08 m時(shí)振幅幅值較為穩(wěn)定，且間距為0.11 m時(shí)可以得到幅值穩(wěn)定為38 V的電壓，因此理想間距為0.11 m.由圖6可知，尾流振子在渦激振動(dòng)能量收集過(guò)程中，平行于Y軸方向不被相反升力抵消的力只有一個(gè)，此時(shí)振幅最大，最適合能量收集.

圖7 不同間距與振幅的關(guān)系Fig.7 The relation of different spacing and amplitude

圖8 間距為0.11 m時(shí)電壓隨時(shí)間的變化Fig.8 Voltage versus time at 0.11 m spacing

4 結(jié)論

選擇壓電懸臂梁結(jié)構(gòu)構(gòu)成尾流振子模型，為得到更多的壓電電壓，應(yīng)使尾流振子模型在鎖振區(qū)域內(nèi)進(jìn)行能量收集，當(dāng)Re為7 000～12 000時(shí)，對(duì)應(yīng)折減速度的范圍為5.16～8.84.尾流振子渦激振動(dòng)能量收集的最佳兩柱間距為0.11 m，可以得到38 V的穩(wěn)定電壓，在電阻不變的情況下，其得到的功率也為最大值.