韓鵬，盧俊道，王曉麗

(中國洛陽電子裝備試驗中心，河南 孟州 454750)

0 引言

雷達干擾資源是現(xiàn)代電子戰(zhàn)中不可或缺的一支重要力量，為了削弱敵方雷達系統(tǒng)的作戰(zhàn)性能，需要運用各種技術手段干擾敵方雷達系統(tǒng)。但是，雷達干擾資源是有限的，如何快速合理地分配干擾資源，已成為一個決定電子戰(zhàn)成敗的重要問題。

干擾資源的優(yōu)化分配問題屬于非確定多項式難題[1]，為此，眾多學者提出了許多有效算法，如基于貼近度算法[2]、模擬退火算法[3-4]、協(xié)同拍賣算法[5]、蟻群算法[6]、遺傳算法[7]等，但是利用博弈論來研究干擾資源分配問題的不多。

博弈論[8-11]是研究最優(yōu)化問題的一種有效理論工具，其研究的是在同一無線環(huán)境中若干個利益沖突者進行決策來滿足自身利益的問題。在近年來的研究中，博弈論作為與傳統(tǒng)優(yōu)化理論并列的一個理論工具被廣泛用于無線通信等領域[12-13]，取得了很多研究成果，但是在雷達有源干擾資源分配方面研究的不多。

本文基于博弈論理論探討如何根據(jù)已探測到的敵方各雷達信息，對我方多部干擾資源進行合理分配，充分發(fā)揮作戰(zhàn)效能，對敵方威脅目標造成最大干擾壓制效果。

1 干擾效果評估指標

假定雷達干擾分隊下屬有N部干擾機，現(xiàn)有M個敵目標雷達正在對我方的通信指揮機進行監(jiān)測，如圖1所示。假設干擾機i最多可同時干擾Ki部雷達，各雷達的威脅系數(shù)為λj，j=1,…,M。

在干擾機的基本工作參數(shù)滿足威脅雷達條件的基礎之上，本文基于通信指揮機、干擾機和雷達位置分別提出干擾位置、干擾正對度以及干擾效果程度3個干擾效果評價指標，并給出了量化公式[14-15]。

1.1 干擾位置

干擾機與雷達之間的距離是影響干擾效果。因此，采用干擾位置評價指標Elij從距離上評估干擾機干擾效果。

如圖2所示，干擾機的部署位置距離雷達越近，Elij越大，干擾效果越好。

1.2 干擾正對度

在對雷達進行干擾時，干擾效果受干擾機對雷達輻射主瓣的瞄準程度的影響。因此，采用干擾正對度指標Eaij從角度上評價干擾效果。

定義正對度函數(shù)為

1.3 干擾效果程度

定義干擾效果程度指標Edij，由雷達威脅半徑和位置以及通信指揮機位置決定。Edij越大，干擾機的干擾效果越好。

式中：υij為干擾機i對雷達j的干擾程度，其范圍是(0,1)；lj為雷達j未受干擾前的探測半徑；d為雷達j到通信指揮機的距離

式中：(xj,yj)為雷達j的位置坐標；(xl,yl)為通信指揮機的位置坐標。

由以上分析可知，各個干擾機對雷達j的干擾效果評估矩陣為

j=1,2,…,M.

定義向量Ω=(ω1,ω2,ω3)為干擾效果指標權重，且有ω1+ω2+ω3=1。則雷達j受到干擾機干擾的效益為

Qj=Ω×Ej=(ω1,ω2,ω3)×

(q1j,q2j,…,qNj),

(6)

則雷達總體干擾效益矩陣

式中：qij表示干擾機i干擾雷達j獲得的效益。

定義雷達干擾資源分配的目標函數(shù)：

(8)

2 干擾資源分配博弈模型

本文以最大化所有干擾機收益為目標，因此干擾策略選擇的競爭最優(yōu)問題可以用式(10)表示為

(10)

式中：R-i表示除了干擾機i之外所有干擾機的干擾策略；Co1表示干擾機i同時最多干擾Ki部雷達。

不滿足Co1限制的干擾策略不會被選擇，然而干擾機很難提前知道哪些干擾策略不滿足Co1限制，所以不能直接采用U作為干擾機的收益函數(shù)。為此，定義每個干擾機的收益函數(shù)為

從博弈論的觀點來看，N個干擾機構成博弈參與者，干擾策略集構成純策略空間，干擾機的收益函數(shù)構成博弈參與者的收益函數(shù)，則干擾機干擾策略選擇行為可以被看作是一個博弈GE。

GE=[N,{Ri}i∈N,{ui}i∈N]，

(12)

式中：N為干擾機的集合；Ri為干擾機的純策略空間；ui為干擾機i的收益。

設up定義為

則可以得到以下結論。

結論1. GE是一個勢博弈，其勢函數(shù)為up。

在公式(14)中，用Φ代替up，則博弈GE滿足文獻[16]對勢博弈的定義：

(15)

因此，GE是一個勢博弈，Φ=up是它相應的勢函數(shù)。

由于存在Co1限制，不是每一個納什均衡解都滿足Co1限制，因此需要分析納什均衡的可行性。

結論2. 如果存在一個ξK滿足條件

那么不滿足Co1限制的干擾策略不會是博弈GE的純策略納什均衡。其中

(17)

對于任意一個干擾策略Ri≠0，

當Ri=0時，

ui(0,R-i)=U(0,R-i)+ξKΘ(Kj)=U(0,R-i).

(19)

從式(18)到(20)可得

(21)

由式(16)，(17)可知，ui(Ri,R-i)-ui(0,R-i)<0，即ui(Ri,R-i)

下面分析納什均衡的存在性。

設GC的定義為

則顯然不會存在另一個干擾策略組合{Ri}i∈N?{Ri}i∈N使得

(24)

結論4. 博弈GE最少具有一個可行的純策略納什均衡。

3 算法設計

3.1 迭代干擾策略選擇算法

本文基于最佳動態(tài)反應設計一個低復雜度的迭代干擾策略選擇算法(iterative jamming strategy selection,IJSS)來求解所設計博弈的純策略納什均衡，具體描述如圖3所示。

因此，該算法的迭代過程是一個非遞減的過程，一定會經(jīng)過有限次的迭代后收斂。

3.2 算法復雜度分析

下面我們分析IJSS算法的復雜度，并與窮舉法進行對比。

隨著干擾機和雷達數(shù)量的增加，IJSS算法和窮舉法復雜度對比如表1所示(t=4)，其中A(N;M;Ki)表示系統(tǒng)中由N個干擾機，M個雷達，干擾機i可以同時干擾Ki部雷達。從表1可以看出，IJSS算法復雜度隨著N，M的增加成線性增長，而窮舉法則隨著N，M的增加成指數(shù)變化。因此，與窮舉法相比，IJSS算法能夠顯著地降低計算復雜度，避免計算時造成大量的內存溢出，尤其是當系統(tǒng)中干擾機和雷達數(shù)目較大時。

表1 算法復雜度對比(t=4)Table 1 Comparison of algorithm complexities (t=4)

4 仿真與分析

假設系統(tǒng)中有12部雷達，隨機分布在以(100，0)，(300，0)，(100，150)，(300，150) km為頂點的矩形區(qū)域內。有5部干擾機，隨機分布在以(100，300)，(400，300)，(100，450)，(400，450) km為頂點的矩形區(qū)域內，雷達的威脅系數(shù)分別為0.898 8，0.273 4，0.646 3，0.131 3，0.725 9，0.437 1，0.540 0，0.124 4，0.310 8，0.519 5，0.310 8，0.519 5。每個干擾機最多能同時干擾3部雷達。通信指揮機的坐標為(200，600)，Ω=(0.3，0.4，0.3)。

圖4為干擾機和雷達數(shù)量不同時，IJSS算法收斂速度的對比。從圖中可以看出，IJSS算法具有很好的收斂性，當干擾機和雷達數(shù)量較少時，只需迭代兩三次即可收斂，收斂速度很快。

表2 干擾機干擾策略選擇過程 (A(4;10;3))Table 2 Process of jamming strategy selection (A(4;10;3))

圖5為不同干擾機數(shù)量情況下不同算法的性能對比，其中“隨機選擇算法”是指干擾機隨機選擇干擾策略。從圖5中可以觀察到，不論雷達數(shù)量多少，IJSS算法性能遠優(yōu)于隨機選擇算法，且非常接近窮舉法。之所以IJSS算法的性能不如窮舉法，主要原因是本文利用博弈論求解的納什均衡解是帕累托最優(yōu)解，不是全局最優(yōu)解。通過圖4，5說明IJSS算法在低復雜度前提下具有較好的性能。

5 結束語

本文利用博弈論研究了雷達有源干擾資源分配問題，提出了迭代干擾策略選擇算法，為求解雷達干擾資源分配數(shù)學模型提供了新的思路。盡管迭代干擾策略選擇算法與窮舉法相比性能有所下降，但是考慮到該算法的復雜度較低，并且有很快的收斂速度，在電子對抗干擾資源分配上有很好的適用性。因此，該分配算法在電子對抗實時決策系統(tǒng)中具有一定的應用價值。