韓鵬，盧俊道，王曉麗

(中國(guó)洛陽(yáng)電子裝備試驗(yàn)中心，河南 孟州 454750)

0 引言

雷達(dá)干擾資源是現(xiàn)代電子戰(zhàn)中不可或缺的一支重要力量，為了削弱敵方雷達(dá)系統(tǒng)的作戰(zhàn)性能，需要運(yùn)用各種技術(shù)手段干擾敵方雷達(dá)系統(tǒng)。但是，雷達(dá)干擾資源是有限的，如何快速合理地分配干擾資源，已成為一個(gè)決定電子戰(zhàn)成敗的重要問(wèn)題。

干擾資源的優(yōu)化分配問(wèn)題屬于非確定多項(xiàng)式難題[1]，為此，眾多學(xué)者提出了許多有效算法，如基于貼近度算法[2]、模擬退火算法[3-4]、協(xié)同拍賣(mài)算法[5]、蟻群算法[6]、遺傳算法[7]等，但是利用博弈論來(lái)研究干擾資源分配問(wèn)題的不多。

博弈論[8-11]是研究最優(yōu)化問(wèn)題的一種有效理論工具，其研究的是在同一無(wú)線環(huán)境中若干個(gè)利益沖突者進(jìn)行決策來(lái)滿足自身利益的問(wèn)題。在近年來(lái)的研究中，博弈論作為與傳統(tǒng)優(yōu)化理論并列的一個(gè)理論工具被廣泛用于無(wú)線通信等領(lǐng)域[12-13]，取得了很多研究成果，但是在雷達(dá)有源干擾資源分配方面研究的不多。

本文基于博弈論理論探討如何根據(jù)已探測(cè)到的敵方各雷達(dá)信息，對(duì)我方多部干擾資源進(jìn)行合理分配，充分發(fā)揮作戰(zhàn)效能，對(duì)敵方威脅目標(biāo)造成最大干擾壓制效果。

1 干擾效果評(píng)估指標(biāo)

假定雷達(dá)干擾分隊(duì)下屬有N部干擾機(jī)，現(xiàn)有M個(gè)敵目標(biāo)雷達(dá)正在對(duì)我方的通信指揮機(jī)進(jìn)行監(jiān)測(cè)，如圖1所示。假設(shè)干擾機(jī)i最多可同時(shí)干擾Ki部雷達(dá)，各雷達(dá)的威脅系數(shù)為λj，j=1,…,M。

在干擾機(jī)的基本工作參數(shù)滿足威脅雷達(dá)條件的基礎(chǔ)之上，本文基于通信指揮機(jī)、干擾機(jī)和雷達(dá)位置分別提出干擾位置、干擾正對(duì)度以及干擾效果程度3個(gè)干擾效果評(píng)價(jià)指標(biāo)，并給出了量化公式[14-15]。

1.1 干擾位置

干擾機(jī)與雷達(dá)之間的距離是影響干擾效果。因此，采用干擾位置評(píng)價(jià)指標(biāo)Elij從距離上評(píng)估干擾機(jī)干擾效果。

如圖2所示，干擾機(jī)的部署位置距離雷達(dá)越近，Elij越大，干擾效果越好。

1.2 干擾正對(duì)度

在對(duì)雷達(dá)進(jìn)行干擾時(shí)，干擾效果受干擾機(jī)對(duì)雷達(dá)輻射主瓣的瞄準(zhǔn)程度的影響。因此，采用干擾正對(duì)度指標(biāo)Eaij從角度上評(píng)價(jià)干擾效果。

定義正對(duì)度函數(shù)為

1.3 干擾效果程度

定義干擾效果程度指標(biāo)Edij，由雷達(dá)威脅半徑和位置以及通信指揮機(jī)位置決定。Edij越大，干擾機(jī)的干擾效果越好。

式中：υij為干擾機(jī)i對(duì)雷達(dá)j的干擾程度，其范圍是(0,1)；lj為雷達(dá)j未受干擾前的探測(cè)半徑；d為雷達(dá)j到通信指揮機(jī)的距離

式中：(xj,yj)為雷達(dá)j的位置坐標(biāo)；(xl,yl)為通信指揮機(jī)的位置坐標(biāo)。

由以上分析可知，各個(gè)干擾機(jī)對(duì)雷達(dá)j的干擾效果評(píng)估矩陣為

j=1,2,…,M.

定義向量Ω=(ω1,ω2,ω3)為干擾效果指標(biāo)權(quán)重，且有ω1+ω2+ω3=1。則雷達(dá)j受到干擾機(jī)干擾的效益為

Qj=Ω×Ej=(ω1,ω2,ω3)×

(q1j,q2j,…,qNj),

(6)

則雷達(dá)總體干擾效益矩陣

式中：qij表示干擾機(jī)i干擾雷達(dá)j獲得的效益。

定義雷達(dá)干擾資源分配的目標(biāo)函數(shù)：

(8)

2 干擾資源分配博弈模型

本文以最大化所有干擾機(jī)收益為目標(biāo)，因此干擾策略選擇的競(jìng)爭(zhēng)最優(yōu)問(wèn)題可以用式(10)表示為

(10)

式中：R-i表示除了干擾機(jī)i之外所有干擾機(jī)的干擾策略；Co1表示干擾機(jī)i同時(shí)最多干擾Ki部雷達(dá)。

不滿足Co1限制的干擾策略不會(huì)被選擇，然而干擾機(jī)很難提前知道哪些干擾策略不滿足Co1限制，所以不能直接采用U作為干擾機(jī)的收益函數(shù)。為此，定義每個(gè)干擾機(jī)的收益函數(shù)為

從博弈論的觀點(diǎn)來(lái)看，N個(gè)干擾機(jī)構(gòu)成博弈參與者，干擾策略集構(gòu)成純策略空間，干擾機(jī)的收益函數(shù)構(gòu)成博弈參與者的收益函數(shù)，則干擾機(jī)干擾策略選擇行為可以被看作是一個(gè)博弈GE。

GE=[N,{Ri}i∈N,{ui}i∈N]，

(12)

式中：N為干擾機(jī)的集合；Ri為干擾機(jī)的純策略空間；ui為干擾機(jī)i的收益。

設(shè)up定義為

則可以得到以下結(jié)論。

結(jié)論1. GE是一個(gè)勢(shì)博弈，其勢(shì)函數(shù)為up。

在公式(14)中，用Φ代替up，則博弈GE滿足文獻(xiàn)[16]對(duì)勢(shì)博弈的定義：

(15)

因此，GE是一個(gè)勢(shì)博弈，Φ=up是它相應(yīng)的勢(shì)函數(shù)。

由于存在Co1限制，不是每一個(gè)納什均衡解都滿足Co1限制，因此需要分析納什均衡的可行性。

結(jié)論2. 如果存在一個(gè)ξK滿足條件

那么不滿足Co1限制的干擾策略不會(huì)是博弈GE的純策略納什均衡。其中

(17)

對(duì)于任意一個(gè)干擾策略Ri≠0，

當(dāng)Ri=0時(shí)，

ui(0,R-i)=U(0,R-i)+ξKΘ(Kj)=U(0,R-i).

(19)

從式(18)到(20)可得

(21)

由式(16)，(17)可知，ui(Ri,R-i)-ui(0,R-i)<0，即ui(Ri,R-i)

下面分析納什均衡的存在性。

設(shè)GC的定義為

則顯然不會(huì)存在另一個(gè)干擾策略組合{Ri}i∈N?{Ri}i∈N使得

(24)

結(jié)論4. 博弈GE最少具有一個(gè)可行的純策略納什均衡。

3 算法設(shè)計(jì)

3.1 迭代干擾策略選擇算法

本文基于最佳動(dòng)態(tài)反應(yīng)設(shè)計(jì)一個(gè)低復(fù)雜度的迭代干擾策略選擇算法(iterative jamming strategy selection,IJSS)來(lái)求解所設(shè)計(jì)博弈的純策略納什均衡，具體描述如圖3所示。

因此，該算法的迭代過(guò)程是一個(gè)非遞減的過(guò)程，一定會(huì)經(jīng)過(guò)有限次的迭代后收斂。

3.2 算法復(fù)雜度分析

下面我們分析IJSS算法的復(fù)雜度，并與窮舉法進(jìn)行對(duì)比。

隨著干擾機(jī)和雷達(dá)數(shù)量的增加，IJSS算法和窮舉法復(fù)雜度對(duì)比如表1所示(t=4)，其中A(N;M;Ki)表示系統(tǒng)中由N個(gè)干擾機(jī)，M個(gè)雷達(dá)，干擾機(jī)i可以同時(shí)干擾Ki部雷達(dá)。從表1可以看出，IJSS算法復(fù)雜度隨著N，M的增加成線性增長(zhǎng)，而窮舉法則隨著N，M的增加成指數(shù)變化。因此，與窮舉法相比，IJSS算法能夠顯著地降低計(jì)算復(fù)雜度，避免計(jì)算時(shí)造成大量的內(nèi)存溢出，尤其是當(dāng)系統(tǒng)中干擾機(jī)和雷達(dá)數(shù)目較大時(shí)。

表1 算法復(fù)雜度對(duì)比(t=4)Table 1 Comparison of algorithm complexities (t=4)

4 仿真與分析

假設(shè)系統(tǒng)中有12部雷達(dá)，隨機(jī)分布在以(100，0)，(300，0)，(100，150)，(300，150) km為頂點(diǎn)的矩形區(qū)域內(nèi)。有5部干擾機(jī)，隨機(jī)分布在以(100，300)，(400，300)，(100，450)，(400，450) km為頂點(diǎn)的矩形區(qū)域內(nèi)，雷達(dá)的威脅系數(shù)分別為0.898 8，0.273 4，0.646 3，0.131 3，0.725 9，0.437 1，0.540 0，0.124 4，0.310 8，0.519 5，0.310 8，0.519 5。每個(gè)干擾機(jī)最多能同時(shí)干擾3部雷達(dá)。通信指揮機(jī)的坐標(biāo)為(200，600)，Ω=(0.3，0.4，0.3)。

圖4為干擾機(jī)和雷達(dá)數(shù)量不同時(shí)，IJSS算法收斂速度的對(duì)比。從圖中可以看出，IJSS算法具有很好的收斂性，當(dāng)干擾機(jī)和雷達(dá)數(shù)量較少時(shí)，只需迭代兩三次即可收斂，收斂速度很快。

表2 干擾機(jī)干擾策略選擇過(guò)程 (A(4;10;3))Table 2 Process of jamming strategy selection (A(4;10;3))

圖5為不同干擾機(jī)數(shù)量情況下不同算法的性能對(duì)比，其中“隨機(jī)選擇算法”是指干擾機(jī)隨機(jī)選擇干擾策略。從圖5中可以觀察到，不論雷達(dá)數(shù)量多少，IJSS算法性能遠(yuǎn)優(yōu)于隨機(jī)選擇算法，且非常接近窮舉法。之所以IJSS算法的性能不如窮舉法，主要原因是本文利用博弈論求解的納什均衡解是帕累托最優(yōu)解，不是全局最優(yōu)解。通過(guò)圖4，5說(shuō)明IJSS算法在低復(fù)雜度前提下具有較好的性能。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文利用博弈論研究了雷達(dá)有源干擾資源分配問(wèn)題，提出了迭代干擾策略選擇算法，為求解雷達(dá)干擾資源分配數(shù)學(xué)模型提供了新的思路。盡管迭代干擾策略選擇算法與窮舉法相比性能有所下降，但是考慮到該算法的復(fù)雜度較低，并且有很快的收斂速度，在電子對(duì)抗干擾資源分配上有很好的適用性。因此，該分配算法在電子對(duì)抗實(shí)時(shí)決策系統(tǒng)中具有一定的應(yīng)用價(jià)值。