宋娟 游麗霞

摘要：?jiǎn)握{(diào)動(dòng)力系統(tǒng)是一類在生物、物理、化學(xué)等方面運(yùn)用非常廣泛的常微分方程。本文主要闡述如何應(yīng)用單調(diào)方法和穩(wěn)定性理論進(jìn)一步分析一系列三維動(dòng)力系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為，從而將這些三維動(dòng)力系統(tǒng)加以應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：?jiǎn)握{(diào)動(dòng)力系統(tǒng)；數(shù)學(xué)模型

單調(diào)動(dòng)力系統(tǒng)是一類特殊的動(dòng)力系統(tǒng)，它是單調(diào)方法與動(dòng)力系統(tǒng)觀點(diǎn)相結(jié)合的產(chǎn)物。十九世紀(jì)末，Poincaré等人在研究經(jīng)典力學(xué)和微分方程定性理論時(shí)，提出了動(dòng)力系統(tǒng)的概念。在二十世紀(jì)六十年代，這套理論形成了基本的框架。這之后的幾十年里，動(dòng)力系統(tǒng)的研究取得了重大的進(jìn)展并展示了廣泛的應(yīng)用前景。研究動(dòng)力系統(tǒng)的方法理論多種多樣，它的一個(gè)核心問(wèn)題就是軌線的漸近性態(tài)或拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。

單調(diào)方法在微分方程中的應(yīng)用，也有非常悠久的歷史。早在二十世紀(jì)二、三十年代，Kamke[1]和Müller[2]在考慮常微分方程關(guān)于初值問(wèn)題的最大解與最小解時(shí)，發(fā)現(xiàn)方程的解所對(duì)應(yīng)的半流關(guān)于初值存在一個(gè)保序關(guān)系，并且給出了保持這一序關(guān)系的充分條件，在這時(shí)他們已經(jīng)將單調(diào)方法運(yùn)用于常微分方程了。之后，krasnoselskii[3]關(guān)于這個(gè)問(wèn)題的研究也做了大量的工作。不過(guò)，最終把單調(diào)方法和動(dòng)力系統(tǒng)的觀點(diǎn)相結(jié)合并且形成系統(tǒng)理論的是Hirsch[4]。

首先，我們應(yīng)該提到Smale[5]，他有力的反駁了當(dāng)時(shí)生物數(shù)學(xué)界"競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)的漸近性態(tài)是簡(jiǎn)單的"的論調(diào)，Smale表明n-維合作或者競(jìng)爭(zhēng)常微分方程系統(tǒng)的漸近性態(tài)并不比（n-1）-維一般常微分方程系統(tǒng)簡(jiǎn)單。反過(guò)來(lái)，n-維合作或者競(jìng)爭(zhēng)常微分方程系統(tǒng)的漸近性態(tài)是否比（n-1）-維常微分方程系統(tǒng)復(fù)雜呢？在Hirsch的論文[4]中給與了回答，同時(shí)也激發(fā)了他的一系列著名的工作。他的一系列文章里都得出了單調(diào)合作不可約的常微分方程的普通解都收斂到平衡點(diǎn)集的結(jié)論，進(jìn)而得到了n-維合作或者競(jìng)爭(zhēng)的單調(diào)常微分方程的緊極限集上的流與（n-1）-維常微分方程限制在一個(gè)緊不變集上的流是拓?fù)渫瑯?gòu)的。作為特例，Poincaré-Bendixson定理為三維單調(diào)動(dòng)力系統(tǒng)提供了這方面的理論基礎(chǔ)。在單調(diào)動(dòng)力系統(tǒng)這套理論建立和完善的過(guò)程中，還有一些重要的工作是Smith[6]和Thieme做的，他們修正了Hirsch[7]中關(guān)于強(qiáng)單調(diào)半流的正極限集二分性的證明過(guò)程，得出了強(qiáng)保序半流仍然具有相應(yīng)的極限集二分性原理，在這基礎(chǔ)上證明了序列極限集三分性原理及其相關(guān)性質(zhì)。由此，Matano證明了存在一個(gè)開(kāi)的稠密子集使得從其出發(fā)的軌道都收斂于平衡點(diǎn)集。

在應(yīng)用方面，近年來(lái)Ortega和Sánchez[8]研究了關(guān)于圓錐的合作與競(jìng)爭(zhēng)的常微分方程系統(tǒng)，隨后Sánchez將其應(yīng)用在電路模型[9]以及Chua系統(tǒng)[10]、Lorenz系統(tǒng)[11]等單調(diào)動(dòng)力系統(tǒng)中。另外在生物系統(tǒng)中也有應(yīng)用，比如Zhao[12]就將單調(diào)方法運(yùn)用到常見(jiàn)的Lotka-Volterra競(jìng)爭(zhēng)模型中。

對(duì)于一般的三維自治動(dòng)力系統(tǒng)，如果我們假定它導(dǎo)出的流在某錐下是過(guò)去單調(diào)的，Hirsch證明了它的導(dǎo)出流的緊極限集是均衡的，并且這個(gè)緊極限集是拓?fù)涞葍r(jià)于平面上的緊不變子集。我們把這個(gè)結(jié)果應(yīng)用到其他動(dòng)力系統(tǒng)上，我們就可以尋找使得這些三維動(dòng)力系統(tǒng)成為競(jìng)爭(zhēng)動(dòng)力系統(tǒng)的參數(shù)條件，讓這些三維系統(tǒng)的導(dǎo)出流的極限集拓?fù)涞葍r(jià)于平面上的緊不變集。然后利用Dulac準(zhǔn)則在平面上尋找使得導(dǎo)出流最終是收斂到平衡點(diǎn)的參數(shù)條件。

比如，有許多文章是研究三維動(dòng)力系統(tǒng)Chen系統(tǒng)的混沌性，也有些文章是研究Chen系統(tǒng)的穩(wěn)定性和分支。周天壽與陳關(guān)榮老師發(fā)現(xiàn)當(dāng)c

再比如，Belousov化學(xué)反應(yīng)，它是由Belousov在1951年發(fā)現(xiàn)的，并且他在1959年的俄國(guó)醫(yī)學(xué)大會(huì)上發(fā)表了一篇簡(jiǎn)短的文章說(shuō)明這個(gè)反應(yīng)。盡管Belousov-Zhabotinskii反應(yīng)中有許多的化學(xué)反應(yīng)在發(fā)生作用，然而它們可以減化為五個(gè)關(guān)鍵的反應(yīng)。這五個(gè)化學(xué)反應(yīng)可以被表示為一個(gè)三維化學(xué)系統(tǒng)。這個(gè)模型是1974年由Field和Noyes建立起來(lái)的，也就是著名的FN模型。有一些文章比較關(guān)注于用實(shí)驗(yàn)來(lái)研究這個(gè)化學(xué)反應(yīng)的振蕩性，也有些文章考慮這個(gè)化學(xué)反應(yīng)的周期軌的存在性，相對(duì)于上面的結(jié)論，我們比較感興趣的是找出系統(tǒng)的一些參數(shù)區(qū)域，使得系統(tǒng)的軌道不發(fā)生振蕩，也不產(chǎn)生周期軌。換句話說(shuō)，我們可以利用上述單調(diào)方法給出FN系統(tǒng)在某個(gè)正不變集內(nèi)每個(gè)正半軌都收斂到平衡點(diǎn)的充分條件。

今后，希望將單調(diào)方法更大程度地應(yīng)用到其他模型里，得到一些更好的結(jié)論。

參考文獻(xiàn)：

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[12]Sze-Bi hsu and Xiao-Qiang Zhao， A Lotka–Volterra competition model with seasonal succession， J. Math. Biol.， 64（2012）， 109-130.

課題：2018年湖北省教育廳科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目，課題名稱：三維單調(diào)動(dòng)力系統(tǒng)的應(yīng)用

項(xiàng)目編號(hào)：B2018123

作者簡(jiǎn)介：宋娟（1981-02），女，漢族，湖北武漢人，講師，博士，主要從事數(shù)學(xué)教育研究。

游麗霞（1980-05），女，漢族，湖北武漢人，講師，碩士，主要從事微分方程邊值問(wèn)題的研究。