黃銀色

[摘 要] 高元認(rèn)知能力者解決問題的能力明顯高于低元認(rèn)知能力者，在數(shù)學(xué)解題上則表現(xiàn)得更為突出. 解題教學(xué)的目的不是純粹為了教會(huì)學(xué)生解幾道題或幾類題，而是要讓學(xué)生在解題的實(shí)踐中獲得題感，再從題感中提煉和升華數(shù)學(xué)思想方法，最終內(nèi)化成學(xué)生的一種元認(rèn)知能力.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)解題；元認(rèn)知能力；調(diào)節(jié)；監(jiān)控；完善

數(shù)學(xué)元認(rèn)知能力是指學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，特別是在數(shù)學(xué)解題活動(dòng)過程中，對(duì)數(shù)學(xué)認(rèn)知過程的自我意識(shí)、自我監(jiān)控、自我調(diào)節(jié)的能力. 它以元認(rèn)知知識(shí)和元認(rèn)知體驗(yàn)為基礎(chǔ)，并在數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)過程中起指導(dǎo)、支配、決策、監(jiān)控、調(diào)節(jié)的作用.

元認(rèn)知理論告訴我們，有較強(qiáng)數(shù)學(xué)元認(rèn)知能力的學(xué)生，在數(shù)學(xué)解題時(shí)，一方面能充分認(rèn)識(shí)自身的知識(shí)水平、能力水平、智力水平、認(rèn)知方式等，能對(duì)當(dāng)前數(shù)學(xué)問題的結(jié)構(gòu)特征、呈現(xiàn)方式、知識(shí)要求、任務(wù)目標(biāo)等有較清晰的認(rèn)識(shí)和預(yù)見，另一方面又懂得根據(jù)當(dāng)前數(shù)學(xué)問題隨機(jī)應(yīng)變，自主計(jì)劃、主動(dòng)監(jiān)控、自如調(diào)節(jié)，以最優(yōu)化的思路、方法、路徑去實(shí)現(xiàn)解題目標(biāo). 有研究資料表明，高元認(rèn)知能力者解決問題的能力明顯高于低元認(rèn)知能力者，在數(shù)學(xué)解題上則表現(xiàn)得更為突出.

根據(jù)波利亞的《怎樣解題》，數(shù)學(xué)解題的一般步驟為：弄清問題、擬訂計(jì)劃、實(shí)施計(jì)劃、回顧解題. 本文將通過例題，淺談在解題的各個(gè)階段中該如何培養(yǎng)學(xué)生的元認(rèn)知能力.

案例

如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC， AM⊥BC，垂足為M，AN⊥DC，垂足為N. 若∠BAD=∠BCD， AM=AN，求證四邊形ABCD是菱形.

1. 弄清問題

學(xué)生讀題后，教師提示：

（1）題目的條件和目標(biāo)分別是什么？

（2）根據(jù)每一個(gè)條件思考給出此條件的目的是什么？

（3）是否明確了要完成的任務(wù)？

若老師能經(jīng)常用這些提示語啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生思考并逐漸將這些知識(shí)內(nèi)化為學(xué)生的自覺行動(dòng)，幫助學(xué)生養(yǎng)成了元認(rèn)知習(xí)慣，往往能打破思維的僵局，找到解決問題的切入點(diǎn)或突破口.

2. 擬訂計(jì)劃

提示1：要實(shí)現(xiàn)目標(biāo)，有幾種解決目標(biāo)的方法？它們都是什么？

要證明一個(gè)四邊形是菱形，學(xué)生必須在頭腦中構(gòu)建一個(gè)菱形判定方法的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)：

（1）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；

（2）四條邊都相等的四邊形是菱形；

（3）對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形；

（4）對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是菱形.

提示2：這些方法能用來解決本問題的有哪些？怎樣尋找思路？

提示3：是否在幾種思路中優(yōu)先考慮最優(yōu)思路？

學(xué)生們通過分析對(duì)比，發(fā)現(xiàn)本題特殊之處在于：已知一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角相等，所以優(yōu)先考慮“一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形”來證明，其他方法的證明都不可取.

方法1：因?yàn)锳D∥BC，所以∠BAD+∠B=180°. 因?yàn)椤螧AD=∠BCD，所以∠BCD+∠B=180°，所以AB∥DC，所以四邊形ABCD是平行四邊形. 所以∠B=∠D. 因?yàn)锳M=AN，AM⊥BC，AN⊥DC，所以Rt△ABM≌Rt△ADN. 所以AB=AD，所以平行四邊形ABCD是菱形.

方法2：如圖2，連接BD，因?yàn)锳D∥BC，所以∠ADB=∠DBC. 因?yàn)椤螧AD=∠BCD， BD=BD，所以△ABD≌△CDB，所以AD=BC. 所以四邊形ABCD是平行四邊形，所以∠ABC=∠ADC. 因?yàn)锳M=AN，AM⊥BC，AN⊥DC，所以Rt△ABM≌Rt△ADN，所以AB=AD. 所以平行四邊形ABCD是菱形.

方法3：如圖3，連接AC，因?yàn)锳M=AN，AC=AC，AM⊥BC，AN⊥DC，所以Rt△ACM≌Rt△ACN，所以∠ACB=∠ACD. 因?yàn)锳D∥BC，所以∠ACB=∠CAD，所以∠ACD=∠CAD，所以DC=AD. 因?yàn)椤螧AD=∠BCD，所以∠BAC=∠ACD，所以AB∥DC，所以四邊形ABCD是平行四邊形，所以平行四邊形ABCD是菱形.

通過以上的提示，學(xué)生的數(shù)學(xué)元認(rèn)知知識(shí)對(duì)問題解決有目標(biāo)導(dǎo)向作用，在頭腦中建立一個(gè)解決該問題的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，從中尋找解決問題的最佳方法，最后形成穩(wěn)定、有效、可控制的元認(rèn)知技能，從而促進(jìn)學(xué)生解決問題能力的提高和思維方式的遷移.

3. 實(shí)施計(jì)劃

當(dāng)學(xué)生找到解題思路后，教師繼續(xù)提示：

（1）你充分地進(jìn)行雙向推理了嗎？

（2）你選擇的方法需要添加必要的輔助線嗎？

通過提示，讓學(xué)生理清了雙向推理的證明思路. 例如第一種方法（不需添加輔助線）的分析過程：

①要證四邊形ABCD是菱形四邊形ABCD是平行四邊形（要證），AB=AD（要證）；

②要證四邊形ABCD是平行四邊形？圯AD∥BC（已知），AB∥DC（要證）；

③要證AB∥DC？圯AD平行BC（已知）？圯∠BAD+∠B=180° ∠BAD=∠BAC？圯∠BAC+∠B=180°（證平行）；

④要證AB=AD？圯△ABM≌△ADN？圯AM⊥BC，AN⊥DC，∠B=∠C，AM=AN.

幾何證明題關(guān)鍵在于分析推理，在分析的過程中教師要通過一些提示語，教會(huì)學(xué)生如何從問題找條件來分析推理，或從條件推結(jié)論分析推理，使學(xué)生能展示思考分析過程. 這樣學(xué)生的思維才能得到有效訓(xùn)練，慢慢積累元認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，形成元認(rèn)知習(xí)慣，提高元認(rèn)知能力.

4. 回顧解題

解完題目之后，教師引導(dǎo)學(xué)生思考：（1）本題的思路特點(diǎn)是什么？（2）這個(gè)思路還可以用來解決什么問題？學(xué)生據(jù)此展開討論.

解題后，引導(dǎo)學(xué)生再現(xiàn)解題的經(jīng)歷，抽取解決問題的關(guān)鍵，總結(jié)解題過程的經(jīng)驗(yàn)與教訓(xùn)，反思解題過程的成敗得失及其原因，從思維策略的高度對(duì)解題過程進(jìn)行總結(jié)，從中概括出一般性規(guī)律，概括出點(diǎn)點(diǎn)滴滴的新經(jīng)驗(yàn)、新見解、新體會(huì)，以及對(duì)問題進(jìn)行推廣、深化，可以有效培養(yǎng)學(xué)生評(píng)價(jià)、調(diào)節(jié)、監(jiān)控、完善等元認(rèn)知能力.

結(jié)束語

在解題教學(xué)中，數(shù)學(xué)元認(rèn)知的監(jiān)控、調(diào)節(jié)作用能幫助學(xué)生正確解題，所以必須注重培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成良好的認(rèn)知方法和思維策略.

1. 對(duì)于復(fù)雜的題目，應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生建立一個(gè)有層次的目標(biāo)體系，即把問題的解決分成幾個(gè)有序的階段，建立階段目標(biāo)，一步一步地逼近整個(gè)問題的解決. 這樣可以在整個(gè)解題過程中都能清楚地認(rèn)識(shí)自己目前所處的位置，養(yǎng)成優(yōu)質(zhì)的元認(rèn)知經(jīng)驗(yàn).

2. 在解題中注重對(duì)學(xué)生解題思維的訓(xùn)練，利用一些在數(shù)學(xué)解題過程中常用的思維方法，指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)問題的特點(diǎn)和要求靈活和綜合運(yùn)用數(shù)形轉(zhuǎn)換、分類討論、歸納猜想、類比聯(lián)想等常用的數(shù)學(xué)解題策略去分析問題和解決問題. 還應(yīng)著重強(qiáng)調(diào)這些策略使用的條件，使策略成為“條件化的知識(shí)”，最后形成穩(wěn)定而有效的、可控的元認(rèn)知技能.

3. 不斷引領(lǐng)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)過程及其結(jié)果、學(xué)習(xí)策略及其效果進(jìn)行監(jiān)控、評(píng)價(jià)，充分發(fā)揮元認(rèn)知本身所具有的監(jiān)控、調(diào)節(jié)特點(diǎn)，加強(qiáng)元認(rèn)知體驗(yàn)訓(xùn)練，使學(xué)生的元認(rèn)知能力得到充分的發(fā)展.

總之，解題教學(xué)的目的不是純粹為了教會(huì)學(xué)生解幾道題或幾類題，而是要讓學(xué)生“既看到樹木，又見到森林”. 要在解題的實(shí)踐中讓學(xué)生獲得題感，再從題感中提煉和升華數(shù)學(xué)思想方法，最終內(nèi)化成為學(xué)生的一種元認(rèn)知能力.