蔣建東

[摘 要] “以問導(dǎo)學(xué)”是一種以解決問題為中心組織教學(xué)的模式，旨在讓學(xué)生體會(huì)提出問題、分析問題、解決問題的過程，經(jīng)歷師生共同探索、發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造，完成數(shù)學(xué)知識(shí)的自建構(gòu)，以獲取數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)能力.

[關(guān)鍵詞] 以問導(dǎo)學(xué)；勾股定理；實(shí)際問題

學(xué)貴有疑，學(xué)生要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)、發(fā)展數(shù)學(xué)解題能力，要經(jīng)過“觀察模仿、自發(fā)領(lǐng)悟、自覺分析、形成能力”階段，要讓學(xué)生形成解決問題的能力，教師的首要任務(wù)是質(zhì)疑. 波利亞的《怎樣解題》可以認(rèn)為是比較早的以解決問題為主要任務(wù)的教學(xué)模式，書中的精髓“怎樣解題表”激發(fā)了無數(shù)師生的數(shù)學(xué)潛能. “怎樣解題表”雖不是萬能方法，當(dāng)然也不存在萬能方法，但它給我們提供了一種如何去解決問題的參照. 即“以問導(dǎo)學(xué)”模式的基本流程：創(chuàng)設(shè)情境，提出問題→師生合作，分析問題→解決問題，得出結(jié)論→運(yùn)用新知，鞏固提高. 教師的教學(xué)過程以一個(gè)個(gè)精心設(shè)置的“問題”呈現(xiàn)出來，層層設(shè)疑，步步推進(jìn)，啟發(fā)學(xué)生沿著教學(xué)目標(biāo)前進(jìn).

蘇教版八年級(jí)上冊(cè)“勾股定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用”是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，利用勾股定理進(jìn)行直角三角形邊長的計(jì)算在幾何計(jì)算中應(yīng)用極其廣泛. “勾股定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用”的教學(xué)目標(biāo)是“能熟練運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，會(huì)用勾股定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題”. 在本節(jié)課中，“以問導(dǎo)學(xué)”可以讓學(xué)生更深刻地掌握勾股定理的內(nèi)容和計(jì)算方法，更熟練地學(xué)會(huì)用勾股定理知識(shí)解決實(shí)際問題. 下面以這節(jié)課為例，進(jìn)行闡述.

以問啟航，溫故而激趣

興趣永遠(yuǎn)是最好的老師. 在課堂教學(xué)中，通過溫故舊知識(shí)的方法同樣可以激發(fā)學(xué)生參與課堂的興趣. 比如，教學(xué)時(shí)，教師提出問題：上節(jié)課我們已經(jīng)掌握了勾股定理的內(nèi)容及公式的變形，那么你認(rèn)為勾股定理在實(shí)際問題的解決中有什么作用呢？

生1：在直角三角形中可以由已知兩邊的長求出第三邊的長.

生2：在特殊的直角三角形（如含有30°角的直角三角形和等腰直角三角形）中，已知一邊的長度可以求出另外兩邊的長度.

師：通過上節(jié)課的學(xué)習(xí)，大家都已掌握勾股定理的內(nèi)容及簡(jiǎn)單運(yùn)用，其實(shí)勾股定理在生活中也有廣泛的運(yùn)用.

熟悉的知識(shí)會(huì)讓學(xué)生對(duì)今天的學(xué)習(xí)倍感興趣、充滿好奇，學(xué)習(xí)的興趣由此而發(fā)，思維之門也為學(xué)習(xí)敞開.

以問啟思，探究而啟智

探究是思維的靈魂所在，其在關(guān)注學(xué)生深度學(xué)習(xí)、提升學(xué)生學(xué)科能力的培養(yǎng)中起到了至關(guān)重要的作用. 教師用問題啟發(fā)學(xué)生的探究思維、引領(lǐng)探究方向、啟迪探究智慧，能讓學(xué)生在問題中真正參與到深入探究的歷程中.

探究1一個(gè)門框的尺寸如圖1所示，一塊長為3 m、寬為2.2 m的薄木板能不能從門框內(nèi)通過？為什么？

思考：（1）薄木板怎樣通過？（生：斜過來即可）

（2）在長方形ABCD中，誰是斜著能通過的最大長度？（生：對(duì)角線AC的長）

（3）薄木板能否通過，關(guān)鍵是比較誰與誰的長短？（生：比較AC的長度與木板的寬度）

解：（3）在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得AC2=AB2+BC2=12+22=5，所以AC=≈2.24. 因?yàn)锳C>2.2，所以木板能從門框內(nèi)通過.

設(shè)計(jì)意圖 該問題作為本課所學(xué)內(nèi)容的起始問題，難度較低，基本適宜所有能力層次的學(xué)生，有利于提高學(xué)生的課堂參與度，給學(xué)生充分的信心；另一方面，以生活中較為常見的實(shí)際問題為例，能讓學(xué)生深刻體會(huì)數(shù)學(xué)與生活的密切關(guān)系，從而對(duì)本節(jié)課的內(nèi)容產(chǎn)生興趣.

探究2 如圖2，一架3 m長的梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上，這時(shí)AO的長為2.5 m. 如果梯子的頂端A沿墻下滑0.5 m，那么梯子的底端B也外移0.5 m嗎？

思考：（1）梯子底端B隨著梯子頂端A下滑而外移到點(diǎn)D，那么誰的長度就是梯子外移的距離？（生：BD的長度）

（2）BD等于什么？要求BD的長，關(guān)鍵是要求出誰和誰的長？（生：BD=OD-OB，要求BD的長，關(guān)鍵是要求出OD和OB的長）

（3）梯子在下滑的過程中，哪個(gè)量保持不變？（生：梯子的長度保持不變）

（4）如何求OD和OB？你能板書出來嗎？

生：（4）在Rt△AOB中，

OB===，

在Rt△COD中，OD===，所以BD=OD-OB=-≈0.58（m）. 所以梯子的底端B向外移動(dòng)了約0.58 m.

設(shè)計(jì)意圖 此問題比上一個(gè)問題難度稍高，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生得出“梯子在下滑的過程中本身的長度保持不變”是解決問題的關(guān)鍵. 教師在此過程中的任務(wù)是設(shè)置好具有梯度的問題，教會(huì)學(xué)生由淺入深、由表及里地觀察問題和分析問題，為解決問題做好準(zhǔn)備.

小結(jié) 利用問題的形式啟發(fā)學(xué)生對(duì)本節(jié)課所使用的方法與思想進(jìn)行總結(jié)，能啟迪學(xué)生站在歸納、總結(jié)的角度啟發(fā)學(xué)生思考，促進(jìn)學(xué)生思維增長，以此真正促進(jìn)學(xué)生智慧生長.

師：你覺得用勾股定理解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是什么？

生1：我覺得關(guān)鍵是找到直角三角形.

生2：我認(rèn)為關(guān)鍵是審清題意，明確已知什么，求什么.

師：你們總結(jié)得都很好，數(shù)學(xué)中的任何實(shí)際問題都要在審清題意的前提下構(gòu)造我們所熟悉的數(shù)學(xué)模型，即運(yùn)用勾股定理解決實(shí)際問題的思路是“實(shí)際問題→數(shù)學(xué)問題”.

以問啟訓(xùn)，實(shí)訓(xùn)而致用

知識(shí)與技能只有得到實(shí)實(shí)在在的訓(xùn)練才能知道我們掌握了多少，而這種應(yīng)用只有置身于實(shí)際的生產(chǎn)、生活、社會(huì)情境之中，才能彰顯其學(xué)科價(jià)值. 為此，實(shí)戰(zhàn)式的訓(xùn)練能非常有效地促進(jìn)知識(shí)與技能的鞏固，能促進(jìn)方法與思想的生長.

問題1 如圖3，有兩棵樹，一棵高10 m，另一棵高4 m，兩樹相距8 m，一只小鳥要從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，那小鳥至少要飛行多少米？

問題2 小東拿著一根長竹竿進(jìn)入一個(gè)寬3 m的城門，他先橫著，結(jié)果拿不進(jìn)去，又豎起來拿，結(jié)果竿比城門高1 m，當(dāng)他把竿斜著時(shí)，兩端正好頂著城門的對(duì)角，問竿長幾米.

（方式：學(xué)生獨(dú)立完成后小組交流，然后全班展示）

師：你們是如何解決上述兩個(gè)問題的呢？

生1：對(duì)于問題1，我們小組的做法和答案都是一致的，由“兩點(diǎn)之間，線段最短”，可知小鳥飛行的最短距離是兩個(gè)樹梢（分別記為A，C）之間線段的長，可建立如圖4所示的直角三角形，利用勾股定理即可求出AC的長.

生2：對(duì)于問題2，我們小組的答案是一致的，都是5 m. 我認(rèn)為問題2和探究1中的木板能否通過門框的問題相似，不同之處在于已知條件. 問題2沒有告知門高和竹竿的長度，但由“竿比城門高1 m”可設(shè)未知數(shù)，得出竿的長度和城門的高度，再利用勾股定理建立方程即可.

師：剛才大家通過自己的努力分析問題、解決問題，互幫互助，掌握了用勾股定理解決實(shí)際問題的方法，“竹竿入門”是一個(gè)平面問題，如果將平面上升為空間，大家是不是也能解決呢？

問題3 如圖5，能否將一根長70 cm的木棒放入長、寬、高分別為40 cm、30 cm、50 cm的長方體盒子中？

師：在這個(gè)問題中，我們應(yīng)該比較木棒和哪條線段的長度？你能找到這里的數(shù)學(xué)模型并畫出圖形嗎？

（方式：學(xué)生共同交流后全班展示）

生：將長方體沿平面ABB′A′切開，切面即是一個(gè)長方形（如圖6），該問題即可化歸為平面問題，求出A′B的長后與竹竿長進(jìn)行比較即可.

從平面到空間，由易到難，該問題不僅能鞏固學(xué)生對(duì)勾股定理在實(shí)際問題中應(yīng)用的能力，而且能提高學(xué)生的空間想象能力，讓學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用化歸思想.

以問回顧，總結(jié)而致遠(yuǎn)

在課堂教學(xué)活動(dòng)中，啟發(fā)學(xué)生站在本節(jié)課的學(xué)習(xí)歷程中，分析課堂的得與失、知識(shí)與技能、方法與思想，讓思維與經(jīng)歷碰撞，將收獲與智慧并存，這樣的教學(xué)會(huì)有效地達(dá)到“授之以漁，啟之欲漁”的效果，這也是學(xué)生可持續(xù)發(fā)展的有效保障.

師：通過本節(jié)課的努力，你學(xué)會(huì)了什么？你覺得本節(jié)課的重點(diǎn)是什么？

生1：我學(xué)會(huì)了用勾股定理求直角三角形中邊的長.

生2：我學(xué)會(huì)了用勾股定理解決生活中的實(shí)際問題.

生3：我學(xué)會(huì)了方程思想、化歸思想的運(yùn)用.

生4：我覺得在用勾股定理解決實(shí)際問題時(shí)，最重要的是找準(zhǔn)直角三角形.

生5：我認(rèn)為勾股定理的計(jì)算同樣重要.

……

師：很好，大家在這節(jié)課中的表現(xiàn)都很出色，且收獲頗豐，相信大家遇到更深層次的問題時(shí)也能迎刃而解.

教師自問，反思而共進(jìn)

教師的教學(xué)反思是促進(jìn)教師專業(yè)成長最為有效的教學(xué)策略和教學(xué)機(jī)智，這種策略需要教師落實(shí)到點(diǎn)點(diǎn)滴滴的教學(xué)行為之中，以此達(dá)到真正的教學(xué)相長. 就本節(jié)課而言，筆者的反思、總結(jié)有以下幾點(diǎn).

（1）勾股定理的第二課時(shí)以勾股定理的實(shí)際應(yīng)用為主，學(xué)生需要學(xué)會(huì)的是如何用勾股定理解決實(shí)際問題，難度較低，因此在教學(xué)過程中以問導(dǎo)學(xué)，讓學(xué)生經(jīng)歷問題解決的過程，教會(huì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的方法，對(duì)促進(jìn)本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)的完成和學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提高均有積極作用.

（2）數(shù)學(xué)教學(xué)中有多種教學(xué)模式，“以問導(dǎo)學(xué)”只是其中一種，并非適合所有課型，我們只有在設(shè)計(jì)教學(xué)時(shí)認(rèn)真思考，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和類型選擇合適的教學(xué)模式，才能有效地提高教學(xué)效率.

（3）在教學(xué)實(shí)施過程中，教師最具創(chuàng)造性的工作是設(shè)計(jì)能引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與的教學(xué)環(huán)境，即設(shè)計(jì)問題時(shí)，好的問題除了貼合本課時(shí)的教學(xué)內(nèi)容外，還應(yīng)符合學(xué)生的能力特征，能激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，難度適宜，具有一定的開放性. 在教學(xué)過程中，教師不能一味地根據(jù)教案中的問題逐個(gè)提問，而應(yīng)該以學(xué)生為主，根據(jù)學(xué)生的具體情況和教學(xué)進(jìn)程隨時(shí)調(diào)整問題.

（4）“以問導(dǎo)學(xué)”是一種能力教學(xué)，在教學(xué)中可以給學(xué)生提供一個(gè)發(fā)現(xiàn)、質(zhì)疑、創(chuàng)新的平臺(tái)，為教師提供一條培養(yǎng)學(xué)生解題能力、自控能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)能力的有效途徑，以問題促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)他們的可持續(xù)發(fā)展能力，為他們的成長奠定基礎(chǔ)，開啟智慧之門.