張友聰

【摘要】用分類(lèi)討論法解答的數(shù)學(xué)題目，往往具有較強(qiáng)的邏輯性、綜合性和探索性，既能全面考查學(xué)生的數(shù)學(xué)能力又能考查學(xué)生的思維能力，分類(lèi)討論問(wèn)題充滿(mǎn)了數(shù)學(xué)辨證思想，它是邏輯劃分思想在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)的具體運(yùn)用。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué) 分類(lèi)討論解題

初中數(shù)學(xué)中的分類(lèi)討論問(wèn)題往往是學(xué)生不容易掌握好的一類(lèi)問(wèn)題，在研究幾何問(wèn)題時(shí)，由于圖形的變化（圖形位置不確定或形狀不確定）引起幾何問(wèn)題結(jié)果有多種可能，就需要分類(lèi)討論，在這里對(duì)常見(jiàn)的幾種情況進(jìn)行歸納：

一、高

方法一：由于三角形的高可在三角形的內(nèi)部、外部或與邊重合，所以在解決問(wèn)題時(shí)常常將三角形分成銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形。

例1為了美化環(huán)境，計(jì)劃在小區(qū)內(nèi)用120m2的草皮鋪設(shè)一塊一邊長(zhǎng)為20的等腰三角形綠地，請(qǐng)求出這個(gè)三角形的另兩條邊長(zhǎng)。

分析：由題中已知一邊長(zhǎng)20m的等腰三角形，可分為底邊長(zhǎng)為20m或腰長(zhǎng)為20m兩種情況，如圖1由底邊長(zhǎng)為 20m和面積為由腰長(zhǎng)為20m和面積為120m2分析時(shí)難度較大，需考慮將三角形分成銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，直角三角形的情況不成立，可分別得到圖2和圖3兩種情況來(lái)研究。

方法二：比例尺畫(huà)圖法

例2小剛玩拼圖游戲，所拼成的圖形是一個(gè)三角形，量得兩邊長(zhǎng)分別為20cm、25cm，第三邊上的高為15cm，請(qǐng)你幫助他計(jì)算這個(gè)圖形的面積。

在教學(xué)中我不僅要求學(xué)生掌握這種分類(lèi)方法，同時(shí)還要求學(xué)生按條件用比例尺畫(huà)圖，并深入思考畫(huà)圖的步驟，使學(xué)生不僅從表面上明白畫(huà)兩種情況的圖形，還能分析出為什么要畫(huà)兩種情況，讓學(xué)生思考可否先畫(huà)一條直線上的高長(zhǎng)為15cm，然后用刻度尺在高的同側(cè)及異側(cè)畫(huà)出長(zhǎng)度為20cm和25cm的線段，這樣的圖形準(zhǔn)確無(wú)誤更利于學(xué)生進(jìn)一步的思考。

例3有一塊梯形菜地，上底、下底不能直接測(cè)量，但可測(cè)量梯形的高為12m，梯形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為15m和20m，試求這塊地的面積。

此題相對(duì)上題難度更大一些，我引領(lǐng)學(xué)生不要急于解決問(wèn)題，而是思考怎樣才能畫(huà)出符合條件的圖形，由于有了上題的提示學(xué)生能有一些嘗試，已經(jīng)學(xué)會(huì)了這種分析問(wèn)題的方法，我引導(dǎo)學(xué)生可否先畫(huà)出距離為12的兩條平行線，分別在高的同側(cè)和異側(cè)畫(huà)出兩條對(duì)角線，同學(xué)們紛紛動(dòng)手畫(huà)圖，研究問(wèn)題的氛圍非常濃厚，我想這才是我們要達(dá)到的目的。

二、截圖問(wèn)題

題型相對(duì)簡(jiǎn)單，考查知識(shí)點(diǎn)為相似三角形的性質(zhì)及相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比等、常見(jiàn)題型有：

1.直角三角內(nèi)截等邊三角形

例4在ABC中，∠C=90°，BC=15，AC = 20，以C為頂點(diǎn)，作一個(gè)等邊三角形，其他兩個(gè)頂點(diǎn)在ΔABC的邊上，求這個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)。

2.直角三角形內(nèi)截正方形

例5在△ABC中，∠C=90°，BC=15，AC=20，作一個(gè)正方形，使它的四個(gè)頂點(diǎn)都上三角形的邊上，求正方形的邊長(zhǎng)。

3.直角三角形內(nèi)截矩形

例6為了節(jié)省資金，小明的爺爺將一塊兩直角邊長(zhǎng)分別為30cm和40cm的直角三角形廢鏡片割成一塊長(zhǎng)與寬的比為3：2的小長(zhǎng)方形鏡片，為小明做了一個(gè)精美的小鏡子，（要求長(zhǎng)方形的各個(gè)頂點(diǎn)均在直角三角形的邊上），請(qǐng)你計(jì)算一下長(zhǎng)方形鏡片的長(zhǎng)與寬各為多少厘米？

4.正方形內(nèi)截直角三角形

例7正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E、F分別在正方形的邊上（點(diǎn)E、F不與頂點(diǎn)重合），△AEF是斜邊等于5的直角三角形，且∠EAF≠90°，求BE的長(zhǎng)。

5.正方形內(nèi)截等腰梯形

例8在邊長(zhǎng)為了8的正方形內(nèi)截一個(gè)上底為4，下底為6的等腰梯形，其各頂點(diǎn)在正方形的邊上，求截得的等腰梯形的面積。

6.矩形內(nèi)截等腰三角形

例9矩形ABCD中，AB=8，BC=25，點(diǎn)O在BC邊上，BO=7，點(diǎn)M在線段OC上且OM=8，以O(shè)M為一邊作等腰△OMP，使點(diǎn)P在矩形的一邊上，求AP的長(zhǎng)。

7.梯形內(nèi)截等腰三角形

例10（2008.黑龍江）有一底角為60°的直角梯形，上底長(zhǎng)為10cm，與底垂直的腰長(zhǎng)為10cm，以上底或與底垂直的腰為一邊作三角形，使三角形的另一邊長(zhǎng)為15cm，第三個(gè)頂點(diǎn)落在下底上，請(qǐng)計(jì)算所作的三角形的面積。

在解題時(shí)，我抓住畫(huà)圖是解題的關(guān)鍵這一特點(diǎn)，讓學(xué)生掌握內(nèi)部截等邊三角形時(shí)分別以現(xiàn)有圖形的各邊為作等邊三角形，內(nèi)部截正方形時(shí)分別以直角邊和斜邊為邊作正方形，內(nèi)部截等腰梯形時(shí)要考慮它的軸對(duì)稱(chēng)性分別在邊和對(duì)角線上研究。

三、外拼問(wèn)題：

1.等邊三角形外拼等腰三角形

例11張大爺家的耕地為四邊形ABCD，∠BAD=105°，AB=20m，若張大爺沿對(duì)角線AC把地分給兩個(gè)兒子，其中耕地ABC恰好為等邊三角形，另一塊耕地△ ADC恰好為等腰三角形，求耕地ADC的面積。

2.等腰直角三角形外拼等腰直角三角形

例12（2010.黑龍江）RtΔABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC為一邊，在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，則線段BD的長(zhǎng)為多少？

3.直角三角形外拼直角三角形構(gòu)成等腰三角形

例13（2009.黑龍江）有一塊直角三角形的綠地，量得兩直角邊長(zhǎng)分別為6m、8m，現(xiàn)在要將綠地?cái)U(kuò)建成等腰三角形，且擴(kuò)充部分是以8m為直角邊的直角三角形，求擴(kuò)建后，等腰三角形綠地的周長(zhǎng)。

4.直角三角形外拼直角三角形構(gòu)成相似圖形

例14有一塊直角三角形綠地，它的兩條直角邊長(zhǎng)分別為3m和4m，現(xiàn)要將其擴(kuò)充成四邊形，擴(kuò)充部分是以4m為一邊的直角三角形，且與原直角三角形相似，試求擴(kuò)充后的四邊形的面積。

數(shù)學(xué)中的分類(lèi)討論思想是一種比較重要的數(shù)學(xué)思想，通過(guò)加強(qiáng)數(shù)學(xué)分類(lèi)討論思想的訓(xùn)練，有利于提高學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性、填密性、科學(xué)性，這種優(yōu)良的思維品質(zhì)對(duì)學(xué)生的未來(lái)必將產(chǎn)生深刻和久遠(yuǎn)的影響。