賀加來

（合肥職業(yè)技術(shù)學院，安徽 巢湖 238000）

1 引言

特征值與特征向量是高等代數(shù)中的兩個重要概念，大多數(shù)教材中介紹其如何求法，對特征值與特征向量的關系沒有深入介紹。通過兩者的概念深入研究兩者的關系，得到有關的結(jié)論，為讀者提供有益的幫助。

2 特征值與特征向量的關系研究

假定 λ1，λ2，…λm是 A 的 m 個不同特征值，X1，X2，…Xm是分別與它們對應的特征向量，即

這些特征向量彼此之間的關系如何呢？

假定 c1X1+c2X2+…+cmXm=0

用矩陣A去左乘，再用（1）式代入即得：λ1c1X1+λ2c2X2+… +λmcmXm=0

同樣再用A左乘，用（1）式代入繼續(xù)這樣做，一般得：

于是有m個向量的齊次線性方程組：

所以D≠0，引用克萊姆法則得到：ciXi=0

但Xi是A的特征向量，所以Xi≠0，因此ci=0，這就證明了下面的定理：

定理1：對應于矩陣A的不同的特征值的任一組特征向量是線性無關的。

對于特征值λ1的所有特征向量和零向量都是齊次方程組

的解向量，所有這些解向量形成n維空間Rn的一個k維子空間S，稱之為A對于λ1的特征子空間，這時（λ1E－A）的秩是 n-k。

現(xiàn)假設 X1（1），X2（1），…Xk（1）是（3）的一組線性無關的解向量，當然，

再選取 n-k 個向量

成為 Rn的一組基，作 n 階矩陣 P= （X1（1），X2（1），…Xk（1），Xk+1…Xn）其中第一、第二，……第 n 列向量順序是（4）中的向量，于是P是滿秩的，根據(jù)矩陣乘法規(guī)則，得：

但 AXi（1）= λ1Xi（1），因此 P－1AXi（1）= λ1P－1AXi（1）i=1，2，…k

又由于 E ＝ P－1P= （P－1X1（1），P－1X2（1）… P－1Xk（1），P－1Xk＋1，…P－1Xn）

即得 P－1Xi（1）是單位陣 E 的第 i列，所有（5）式可以寫成

式中的B1是n-k階矩陣，O是（n-k）×k矩陣，*表示k×（n-k）矩陣，由拉普拉斯定理得：

但

所以

這就是說λ1至少是A的k重特征根，因此得到并證明了下面定理：

定理2：矩陣A對應特征根λ1的特征子空間的維數(shù)不超過λ1在△A（λ）中的重數(shù)。特別又得到了：

推論：矩陣A的特征多項式的單根所對應的特征子空間的維數(shù)等于1。

那么

但

所以

這就是說，mA（B） ＝ 0 式中 B=P－1AP，因之 mB（λ） /mA（λ）

同理 mA（λ） /mB（λ），所以 mA（λ）＝ mB（λ），于是得到了：

定理3：相似矩陣有相同的特征多項式和相同的最小多項式，因而有相同的特征值和相同的跡，即

在研究有相同的特征多項式的矩陣時，進一步研究一個問題，那就是AB和BA的特征多項式問題。

假如A、B中有一個是滿秩，如A是滿秩，由于BA=A-1ABA，所以AB和BA相似，因此有定理3得知AB和BA有相同的特征多項式。

更一般情形，因A至多有n個不同的特征值，所以有一個實數(shù)t0存在，使凡適合t＞t0的t都有即A-tE是滿秩的，于是（A-tE）和B（A-tE）有相同的特征多項式，即

對于任何 t＞ t0都成立，把（6）改寫成

兩邊對每個固定的λ值是兩個關于變量t的多項式，當時t＞t0，它們的值相等，于是這兩個t的多項式是恒等的，因之以t=0代入即得：

定理4：假定A、B是兩個n階矩陣，那么AB和BA有相同的特征多項式，因此有相同的特征值和跡，即 tr（AB） =tr（BA）。

3 結(jié)論的應用

已知 A 與 B 相似。（1）求 a與 b；（2）求可逆矩陣 P 使 P－1AP=B。

解：由定理3得：

由 fA（λ） =fB（λ）得

即 a-b=2，-a-4=b-2，

解得a=0，b=-2

（2）由于A與B相似，所以A的特征值與B的特征值相同，就是B的對角元，λ1=-1，λ2=2，λ3=-2，再求出對應于這些特征值的特征向量分別是：

則有P-1AP=B。

解題過程表明，此解法優(yōu)于傳統(tǒng)方法。