高 杰 笪 誠 朱仁義

（巢湖學院，安徽 合肥 236148）

1 引言

歐拉公式在《復變函數(shù)與積分變換》[1]課程中具有十分重要的地位，在定義復指數(shù)函數(shù)后，應用歐拉公式直接給出對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)以及反三角函數(shù)的定義，從而將初等函數(shù)從實數(shù)域擴展到復數(shù)域。但在給出復指數(shù)函數(shù)定義之前，并沒有說明為什么f（z）=ex（cosy+isiny）就是復數(shù)域上的指數(shù)函數(shù)。與此同時，在歐拉公式：eiθcosθ+isinθ中，等式的左邊是復指數(shù)函數(shù)，等式的右邊是余弦函數(shù)和正弦函數(shù)；復指數(shù)函數(shù)怎么會和余弦函數(shù)與正弦函數(shù)之間存在關系？這是學生在學習過程中一定會有的疑惑，也是教師在教學過程中必須要說明的問題。

正因為在教學過程中，復指數(shù)函數(shù)的定義交代不夠清楚，導致學生在理解上存在偏差，給復變函數(shù)后續(xù)章節(jié)以及其他課程的學習帶來一定的障礙。

2 復指數(shù)函數(shù)定義

眾所周知，在實數(shù)域中指數(shù)函數(shù)被定義為y=ax（其中a＞0且a≠1一切實數(shù)），當a取值為自然數(shù)e時，我們得到工程中常用的指數(shù)函數(shù)y=ex（本文中提到的指數(shù)函數(shù)，如不加說明均是以e為底），該指數(shù)函數(shù)滿足以下幾個條件：

i.定義域內(nèi)是連續(xù)函數(shù)

ii.（ex）′=ex，e0=1

iii.ex滿足指數(shù)律：

若能構(gòu)造一個復函數(shù) f（z） =u（x，y） +i（x，y），其中 z=x+iy 為復數(shù)，使其滿足以下條件：

iv.f（z）在復平面上處處解析

v.f′（z）=f（z），f（0） =1

vi.f（z）滿足指數(shù)律： f（z1+z2） =f（z1） f（z2）即

vii.當 Im（z）=0 時，f（z）=ex

那么這個函數(shù)f（z）就可以定義為是復變量z的指數(shù)函數(shù)，并把它記作：f（z）=ez，下面我們試圖找到能夠滿足題設條件iv-vii的函數(shù)f（z）。

首先由條件 iv，假設定義在復平面上的解析函數(shù) f（z） =u（x，y） +i（x，y）（其中 z=x+iy），則由解析函數(shù)的充要條件知：

由條件v和（1）式，可得以下微分方程組：

由方程中①和②不妨設方程組（2）的通解為：

其中的φ（y）和φ（y）是關于y的實函數(shù)，代入③和④中，解得：

代入初始條件 f（0）=1，得：

即有：

則滿足條件iv和v的解析函數(shù)（1）的表達式應為：

下面驗證（3）式是否滿足條件vi和vii？

首先，設有兩個復變數(shù)： z1＝ x1+iy1，z2＝ x2+iy2，則由（3）式可得：

可知 f（z）滿足條件 vi。

其次，當Im（z）=0即y=0，則（3）式退化為實數(shù)域的指數(shù)函數(shù)：

可知 f（z） =ex滿足條件 vii。

因此，（3）式即可作為指數(shù)函數(shù)從實數(shù)域推廣到復數(shù)域后的定義，記為：

需要指出兩點：第一，定義式中第一個等式也可以寫成exp（z），ez沒有冪的意義，是一個數(shù)學符號，為了與實數(shù)域中的指數(shù)函數(shù)表達方式統(tǒng)一并簡化表達式和運算，其中的e嚴格意義上并不代表實數(shù)域中的自然數(shù)；第二，復指數(shù)函數(shù)除了有iv—vii的性質(zhì)外，同時也具備在實數(shù)域中沒有的性質(zhì)，比如：周期性，周期為2kπi（其中：k∈Z）。至此，在不引入復分析概念的情況下，從已知的實數(shù)域指數(shù)函數(shù)的定義和性質(zhì)出發(fā)，給出復指數(shù)函數(shù)為何具有如此形式的定義式。

3 歐拉公式的可視化

其中 z為任意的復數(shù)[7]。由（5）式，以純虛數(shù)為例，分別考察 eπi和 e2πi，可得：

圖1 eπi數(shù)值逼近過程

圖2 e2πi逼近過程

由（5）式的逼近過程可知：eiθ可代表復平面單位圓周上的任意一點，θ即為該點與實軸正半軸的夾角。由表達式（4），若假設z為純虛數(shù)iθ，則有：

表達式（6）即為歐拉公式。其圖像如圖3所示：

圖3 歐拉公式的可視化描述

在復平面上，單位圓周上的任一點A，其位置可以用虛指數(shù)函數(shù)eiθ來表示，其中θ為A的輻角主值，可以看出與上述數(shù)值模擬的逼近過程一致。

進一步，推廣到整個復平面，對于復平面上任意一點z=x+iy，可以表示為：

分別對應于復數(shù)的指數(shù)和三角形式，其中r為z的模，θ為z的輻角

至此，對于任意復指數(shù)函數(shù)f（z）＝az（其中a＞0且a≠ 1一切實數(shù)，z為一切復數(shù)），有：

其對應復平面上模為ax，輻角主值為ylna的點。

4 教學探討

由于教材中直接給出復指數(shù)函數(shù)定義式，進而引入歐拉公式，沒有指出定義的來歷，很大程度上影響學生對復變函數(shù)及歐拉公式的理解。鑒于以上情況，建議在教學過程中從以下幾個方面加以展開：

4.1 還原知識發(fā)現(xiàn)的過程

歐拉通過嚴格的推導發(fā)現(xiàn)了eiθ=cosθ+isinθ的關系，要知道在歐拉的時代，還沒有復數(shù)概念，這不能不說是歐拉的偉大所在。隨著數(shù)的范圍由實數(shù)擴展到復數(shù)后，特別是高斯等人將復數(shù)與復平面上的點對應起來，有關的復變函數(shù)理論才得以建立。在理論建立的過程中，人們自然要提出一個問題：實數(shù)域的初等函數(shù)，如：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等，推廣到復數(shù)域后是什么？本著樸實、簡單的數(shù)學思維，自然希望上述函數(shù)推廣到復數(shù)域后，仍然有和實數(shù)域中類似甚至一樣的運算性質(zhì)。本文即按照這一思路，從運算性質(zhì)入手，給出復指數(shù)函數(shù)應該被定義成何種表達式。

4.2 尊重知識的認知過程

學生開始接觸復指數(shù)函數(shù)，對于復數(shù)的指數(shù)冪在理解上存在一些困難，特別是對于eiθ，受到實數(shù)域中指數(shù)函數(shù)定義的影響，首先想到的是這個指數(shù)冪的值是多少？此時，需要向?qū)W生們明確兩點：首先，此處的eiθ之所以寫成e的指數(shù)冪的形式，是為了與實數(shù)域的指數(shù)函數(shù)在表達式上統(tǒng)一，是一個記號，并沒有冪的意義；其次，這也是正是歐拉公式的意義所在，通過歐拉公式建立了虛指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)之間的聯(lián)系，讓復指數(shù)的運算成為可能，并具有和實數(shù)域指數(shù)函數(shù)有近乎一樣的運算性質(zhì)。

4.3 注重新舊知識的融會貫通

引導學生回顧《高等數(shù)學》中的重要極限，由e的定義出發(fā)，通過數(shù)值模擬的方法，直觀的給出eiθ在復平面上的圖像；同時，也可以利用級數(shù)展開知識，分別將eiθ，cosθ，sinθ展開成泰勒級數(shù)形式，他們之間也是滿足：eiθ=cosθ+isinθ。