李建利，陳麗珍

(1.太原學(xué)院 基礎(chǔ)部，山西 太原 030032；2.山西財經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，山西 太原 030006)

0 引言

考慮如下Klein-Gordon-Maxwell-Poisson 系統(tǒng)

(1)

其中ω>0是實常數(shù)，φ,ψ:R3→R.該系統(tǒng)有著豐富的數(shù)學(xué)物理背景，例如，在量子電動力學(xué)中用于描述帶電粒子和電磁場的相互作用.同時在半導(dǎo)體理論以及等離子物理中也有應(yīng)用[1，2].自從Benci和Fortunato的開創(chuàng)性文獻(xiàn)[1]，大量的文獻(xiàn)研究了系統(tǒng)(1)解的存在性和多重性，參見文獻(xiàn)[3-5]及其參考文獻(xiàn)Ding 和 Li 在文獻(xiàn)[5]中考慮了非線性Klein-Gordon-Maxwell系統(tǒng)行波解的存在性和多重性，其中勢函數(shù)V滿足

(V2) 對任意的常數(shù)M>0，有m{x∈R3:V(x)≤M}<.

受上述文獻(xiàn)的啟發(fā)，本文將在更一般的條件下討論問題(1)解的存在性.

本文中，假設(shè)：

(V)V∈C(R3,R) 并且V(x)有界對所有的x∈R3成立.

λk<0<λk+1.

(2)

(f1)f∈C(R3×R,R)，且存在常數(shù)C>0，p∈(2,6)使得對任意的(x,t)∈R3×R，成立|f(x,t)|≤C(1+|t|p-1).

(f2)當(dāng)t→0，f(x,t)=o(t)成立，對任意的x∈R3.

(f4)存在0

本文的主要結(jié)論是

定理1.1假設(shè)條件(V)和(f1)～(f4)成立.則系統(tǒng)(1)至少存在一個非平凡解.

1 預(yù)備知識

本節(jié)主要介紹一些基本定義、符號及引理.

運用文獻(xiàn)[8]中的Lax-Milgram定理，對任意的u∈H1(R3)，存在唯一ψu∈D1,2(R3)使得

即ψu滿足泊松方程-Δψu=u2

這里ψu具有以下積分形式[9]

并且滿足以下性質(zhì)[10-11]

引理2.1對u∈H1(R3)，以下結(jié)論成立.

(ii)ψu≥0.

(iii)若un在H1(R3)中弱收斂到u，則ψun在D1,2(R3)弱收斂到ψu.

引理2.2[12]對給定的u∈H1(R3)，存在唯一的φ=φu∈D1,2(R3)，滿足方程

-Δφ+u2φ=-ωu2.

映射 Φ:u∈H1(R3)→φu∈D1,2(R3)是連續(xù)可導(dǎo)的，且

(i)在集合{x:u(x)≠0}上，-ω≤φu≤0,

命題2.3 下面是兩個等價的命題

(i)u∈H1(R3)是泛函J的一個臨界點，且φ=φu,ψ=ψu.

(ii)(u,φu,ψu)∈H1(R3)×D1,2(R3)×D1,2(R3)是問題(1)的解.

2 定理1.1的證明

令Y1是特征值小于λ對應(yīng)的特征向量張成的函數(shù)空間.令{α1,α2,…,αn,…}是空間Y1的一組正交基，Y2是Y1在空間X=H1(R3)的直交補空間，令{β1,β2,…,βn,…}是空間Y2的一組正交基.對任意給定的n∈N，定義

Xn=span{α1,α2,…,αn,β1,β2,…,βn}，Jn=J|Xn是泛函J在Xn上的限制.

證 首先，證明對任意給定的n，Jn是強制并且有下界的.

對任意的u∈Xn,定義

因為空間Xn是有限維的，故存在正常數(shù)An,Bn,Cn,Dn使得

‖u‖1≥An‖u‖, ‖u‖2≤Bn‖u‖，‖u‖3≤Cn‖u‖，‖u‖4≥Dn‖u‖,?u∈Xn.

(3)

F(x,t)≤M1|t|4,?t∈R；F(x,t)≤M2|t|4,|t|>L.

(4)

由條件(V)，存在常數(shù)D>0，使得

?u∈Xn.

(5)

結(jié)合(3)～(5)式，對任意的u∈Xn，有

另一方面，算子-Δ+V的負(fù)特征值空間Y-是有限維的，所以存在N0>0使得n>N0時，成立Y-?Xn.根據(jù)條件(V)，存在α>0使得對任意的u∈Y-，有

(6)

(7)

結(jié)合引理2.1和(5)～(7)式可得當(dāng)n>N0時，

引理3.2設(shè){un}∈Xn是引理3.1中的極小化序列，則{un}在空間H1(R3)中有界.

證 采用反證法.若存在序列{un}?X滿足‖un‖→.根據(jù)引理3.1可知，un是泛函Jn的臨界點，即注意到un∈Xn，故Jn(un)=J(un)，

(8)

因為h<λ，所以存在使得?{λi|1≤i<+}.根據(jù)(8)式可知，

結(jié)合(8)式可推出

(9)

因此v-≠0，v≠0.

根據(jù)Fatou引理可推出

(10)

由條件(f3)可得，對任意給定的ε>0，存在Rε>0使得

F(x,t)≤εt4，|t|>Rε.

(11)

又根據(jù)條件(f2)可知，存在Cε>0，使得

F(x,t)≤Cεt2，|t|≤Rε.

(12)

結(jié)合(11)和(12)式，有

從而，

(13)

又因為，

在上式兩邊同乘以‖un‖-4，并令n→，結(jié)合(10)-(13)式有

這是矛盾的.故序列{un}?X是有界的.

(14)

因此，u是能量泛函J的一個臨界點.

定理1.1的證明 根據(jù)引理3.2，3.3，3.4可知，定理1.1的結(jié)論成立.