馬志良

【摘 要】通過對三角函數(shù)在一般單調(diào)區(qū)間上求反函數(shù)，得出了反三角函數(shù)在一般單調(diào)區(qū)間上的解析式，并應(yīng)用對應(yīng)的反三角恒等式對反三角求值問題進(jìn)行了求解。

【關(guān)鍵詞】反函數(shù)；反三角恒等式；反三角恒等式的推廣式

1.反三角恒等式

通常所說的反三角恒等式是指以下三個等式：

arc sin（sin x）=x x∈[-■，■]

arc cos（cos x）=x x∈[0，π]

arc tan（tan x）=x x∈[-■，■]

應(yīng)用這組恒等式求解問題要求x必須屬于上述特殊單調(diào)區(qū)間，但是很多時候x不屬于該區(qū)間。一種可行的辦法就是把上述恒等式在一般單調(diào)區(qū)間上進(jìn)行推廣，進(jìn)而得到一般區(qū)間的反三角恒等式。

2.反三角恒等式的推廣

由于反三角恒等式是把三角函數(shù)限制在特殊單調(diào)區(qū)間上求反函數(shù)并做代換得到的一類等式。那么推廣式也應(yīng)是把三角函數(shù)限制在一般單調(diào)區(qū)間上求反函數(shù)并做代換得到的等式。下面是三個反三角恒等式具體推導(dǎo)過程。

（1）arc sin（sin x）在一般區(qū)間上的恒等式

下面求y=sin x在[kπ-■，kπ+■]的反函數(shù)。

令x=t+kπ，則t∈[-■，■]，y=sin（t+kπ）=sin t cos kπ+cos t sin kπ=（-1）■sin t故t=arc sin[（-1）■y]=（-1）■arc sin y

所以y=sin x在[kπ-■，kπ+■]的反函數(shù)為x= kπ+（-1）■arc sin y

把y=sin x代入上式，得恒等式arc sin（sin x）=（-1）■（x-kπ）

（2）arc cos（cos x）在一般區(qū)間上的恒等式

下面求y=cos x在[kπ，（k+1）π]的反函數(shù)。

令x=t+kπ，則t∈[0，π]，y=cos（（t+kπ）=cos t cos kπ-sin t sin kπ=（-1）■cos t故。t=arc cos[（-1）■y]=■-（-1）■（■-arc cos y）=■[1-（-1）■]+（-1）■arc cos y

所以y=cos x在[kπ-■，kπ+■]的反函數(shù)為x=kπ+■[1-（-1）■]+（-1）■arc cos y

把y=cos x代入上式，得恒等式arc cos（cos x）=（-1）■（x-kπ）+■[1-（-1）■]

（3）arc tan（tan x）在一般區(qū)間上的恒等式

下面求y=tan x在[kπ-■，kπ+■]的反函數(shù)。

令x=t+kπ，則t∈[-■，■]，y=tan（t+kπ）=■=tan t

t=arc tan y x-kπ=arc tan y x=kπ+arc tan y

所以y=tan x在[kπ-■，kπ+■]的反函數(shù)為x=kπ+arc tan y

把y=tan x代入上式，得恒等式arc tan（tan x）=x-kπ

3.反三角恒等式推廣式的應(yīng)用

有了在一般單調(diào)區(qū)間上的反三角恒等式，對于反三角的求值問題可以通過先確定的取值，再代入對應(yīng)的恒等式即可求解。

例1求arc cos[cos（-■π）]的值

解：因?yàn)楫?dāng)x∈[kπ，（k+1）π]時，arc cos（cos x）=（-1）■（x-kπ）+■[1-（-1）■]

由于-3π<-■π<-2π，所以k=-3

arc cos[cos（-■π）]=（-1）■[（-■π）-（-3）π]+■[1-（-1）■]=■π

例2求arc tan[tan（-■π）]的值

解：因?yàn)楫?dāng)x∈[kπ-■，kπ+■]時，arc tan（tan x）=x-kπ

由于-3π-■<-■π<-3π+■，所以k=-3

arc tan[tan（-■π）]=（-■π）-（-3π）=■π

【參考文獻(xiàn)】

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