鄧勝興, 霍燕坤

(1.廣東省湛江市第十中學 524001；2.廣東省湛江市嶺南師范學院基礎教育研究所 524048 )

一、數(shù)學抽象思維的內(nèi)涵

高中三年是數(shù)學思維發(fā)展的重要時期，沒有思維參與學習活動的教學是無效或低效的.長期由應試教育影響，部分教師采取短、平，快的教學方式，教學過程采取告知和灌輸式，學生被動接授，忽視數(shù)學知識的形成過程，學生只能記題型，找套路，在繁瑣的解題訓練之中，苦不堪言，對數(shù)學產(chǎn)生了厭煩，阻礙了數(shù)學思維的發(fā)展，弱化了數(shù)學教育應有的價值，加重了學生的負擔.

數(shù)學抽象思維是以空間圖形和數(shù)量關系的具體背景為基礎，舍去事物的一切物理屬性，抽象出內(nèi)在本質(zhì)的屬性和特征的思維活動過程.核心素養(yǎng)的培養(yǎng)就是著眼學生的未來發(fā)展和推動社會發(fā)展的能力培養(yǎng)，在數(shù)學教學過程中，根據(jù)學生的認知結(jié)構(gòu)和抽象概括能力等情況，有意識地進行抽象思維培養(yǎng)的滲透，尋求抽象思維創(chuàng)新培養(yǎng)的有效策略與方法是每個數(shù)學工作者義不容辭的責任.

二、學科背景下抽象思維創(chuàng)新培養(yǎng)的認識

數(shù)學抽象創(chuàng)新能力為思維的發(fā)展不斷注入新的活力，加深對數(shù)學本質(zhì)的理解和個體數(shù)學知識信息的生成，在培養(yǎng)現(xiàn)代公民素養(yǎng)方面是不可或缺的.數(shù)學抽象思維的創(chuàng)新培養(yǎng)就是通過數(shù)學分析、抽象和概括思維活動，獨立思考，嚴謹細致求證，理解數(shù)學知識的內(nèi)涵和本質(zhì)，構(gòu)建知識體系，并能巧用知識處理數(shù)學問題，具備創(chuàng)新發(fā)展的能力和終生發(fā)展的思維品格，成為創(chuàng)新學習的主人.

1.抽象思維創(chuàng)新培養(yǎng)應關注層次性

抽象思維創(chuàng)新培養(yǎng)遵循由易到難、層次遞進，不斷完善的發(fā)展順序.因此，在教學過程中，根據(jù)學生的認知情況，精心設計適合學生思維發(fā)展的教學內(nèi)容，為學生抽象思維發(fā)展搭建腳手架，一步一個臺階，適時點撥和指引，引導學生主動參與討論和進行思維碰撞，才能保證思維不斷向縱深處發(fā)展.

2.抽象思維創(chuàng)新培養(yǎng)應關注生成性

波利亞說：“學習任何知識的最佳途徑都是由自己去發(fā)現(xiàn)，因為這種發(fā)現(xiàn)理解是最深刻，也最容易掌握其內(nèi)在規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系.”遺憾的是，為了騰出時間進行高考復習，兩年授完所有課程，剩下一年進行總復習，教師為了趕進度，講授得多，學生被動接授，參與得少，對知識點理解不深、不透，一到考試則無從下手，畏懼數(shù)學.數(shù)學知識是數(shù)學核心素養(yǎng)成長的沃土，知識的生成需要時間思考和體會，因此，在抽象思維的培養(yǎng)過程中，教師要放慢腳步，讓學生有充足的時間對知識的理解和運用，通過自主學習和豐富數(shù)學抽象活動，積累相關抽象思維能力有關知識，提高學生數(shù)學抽象概括能力，使教與學能夠相互貫通.

3.抽象思維創(chuàng)新培養(yǎng)應關注系統(tǒng)性

數(shù)學抽象教學關注的是思維和知識的體系完整.學生的認知發(fā)展是逐步有層次上升的，但在這個期間是反復的、變化的.進行抽象思維創(chuàng)新培養(yǎng)，講究的是動靜結(jié)合，學生個體與班級交流互動有機聯(lián)系.由于每個學生的知識儲備和思維方式的差異，看待問題也有不同的看法，甚至表現(xiàn)為思路紊亂，陳述前后矛盾，知識相互割裂、相互孤立，缺乏條理性和整體性等.教師若能從學科的整體性，系統(tǒng)性考慮，穿針引線，將零散、雜亂的知識形成一個有機整體，實現(xiàn)點、線、面的結(jié)合，就會提高學生的概括能力和駕馭知識的能力.

三、學科素養(yǎng)背景下抽象思維創(chuàng)新培養(yǎng)的策略

數(shù)學是科學的皇冠，現(xiàn)代科技創(chuàng)新離不開數(shù)學.抽象思維在中學生的發(fā)展階段起主導地位，數(shù)學抽象思維的創(chuàng)新培養(yǎng)需要以生為本，循序漸進，通過問題的情境化，洞察錯因，有的放矢，構(gòu)造模型，整體考慮，深化理解，提升素養(yǎng).

1.在函數(shù)的單調(diào)性概念中進行抽象教學，層層深入，注重生成

數(shù)學概念反映的是數(shù)學本質(zhì)和特征.理解數(shù)學，就必須掌握數(shù)學概念.

在概念教學中，教師應緊緊圍繞核心知識，借助舊知，創(chuàng)設問題情境，引導學生對已知的信息和研究對象進行多方位、多維度的考慮，循序漸進，層層深入地進行探索和總結(jié)，歸納，得出正確的結(jié)論，形成概念.

例1 下圖是某城市2016年某天24小時內(nèi)的氣溫變化情況，從這張氣溫變化圖獲取相關數(shù)學信息.

師：請描述這一天氣溫隨時間增大的變化情況？

生：零時至4時，氣溫逐漸下降，4時至14時氣溫逐漸升高，18時后開始逐漸下降.

師：畫出y=x2的圖象，結(jié)合圖象說出函數(shù)y=x2在區(qū)間(0,+∞)上函數(shù)值y隨自變量x的逐漸增大怎樣變化？在區(qū)間(-∞,0)上，函數(shù)值y隨自變量x的逐漸增大又怎樣變化？

生：y=x2在(0,+∞)上隨自變量x的逐漸增大，函數(shù)值y也增大；在(-∞,0)上隨自變量x的逐漸增大，函數(shù)值y反而減小.

師：請結(jié)合y=x2的圖象給函數(shù)的增減性下定義.

生：由y=x2圖象可以得出：y=x2在(-∞,0)上函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小，故稱y=x2在(-∞,0)為減函數(shù)；類似地，y=x2在(0，+∞)上y隨x的增大而增大，故稱y=x2在(0,+∞)為增函數(shù).

師：請同學們完成下表并比較f(-1),f(2),f(3),f(4)的大小.

x-1234…f(x)=x2

生：f(-1)

師：由f(-1)

生：不能.

師：為什么？

生：由y=x2圖象可知，y=x2在(-∞,0)遞減，y=x2在遞(0,+∞)增，因此在(-1，4)不是遞增函數(shù).

師：如果函數(shù)y=f(x)在(a,b)是減函數(shù)，在(b,c)是減函數(shù)，則在(a,c)上是減函數(shù)嗎？

生：是減函數(shù).

(有許多學生表情表現(xiàn)出困惑)

師：從上面的回答得到，說明函數(shù)的增減性，可以由圖象直觀得到，數(shù)學講求的是嚴謹性，判斷函數(shù)的單調(diào)性需要從函數(shù)的單調(diào)性定義加以論證，下面我們?nèi)绾巫C明y=x2在(0,+∞)是遞增.

生：從上面可知，只要在區(qū)間(0,+∞)上，任取兩個自變量x1、x2，當x1

師：如何證明f(x1)

因為0

掌握數(shù)學，從理解數(shù)學概念開始.本節(jié)教學圍繞函數(shù)單調(diào)性定義這個中心目標，設計步步深入，引導學生自主探究，逐步學會運用邏輯思維解決數(shù)學實際問題，用數(shù)學的語言來描述社會生活，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識.

2.在基本不等式中進行抽象教學，創(chuàng)設問題情境，強化應用意識

數(shù)學與生活相互交融、相互影響.為了培養(yǎng)學生的抽象性思維，教師應結(jié)合學生的認知結(jié)構(gòu)和教學內(nèi)容為他們創(chuàng)造不同的問題情境，讓他們積極融入有趣的數(shù)學課堂中.

例2 結(jié)合學生的生活實際，創(chuàng)設問題情境，抽象出基本不等式的定理和推論.

問題(2)某藥店有一個兩臂長度各不相等的天平，藥店老板稱量物體時，將物品放在左、右兩個托盤中各稱一遍，隨后再把稱量結(jié)果相加后除以2就是物體的實際重量.同學們，你們認為這種方法正確嗎？

師：問題(1)中兩種促銷活動哪些會更實惠些？

師：若a=b，兩種關系如何？

生3 ∵(a-b)2≥2,∴a2+b2≥2ab,

∴a2+b2+2ab≥4ab,

數(shù)學本質(zhì)就是以簡馭繁，用基本不等式的性質(zhì)和推理解釋打折問題和物理中的力矩平衡問題情境，培養(yǎng)應用意識，讓學生思維的火花燃燒于課堂，愉悅的精神與融洽的學習氛圍有利于學生啟動思維積極探索，學會學習，提高解決實際問題的能力，增長智慧.

3.在三視圖教學中進行抽象教學，建構(gòu)圖形，整體把握

心理學認為人類觀察事物的意識印象就是顯示出事物的整體性，整體把握就是在認知的過程中把客觀對象當成一個整體看待.在空間立體幾何中，三視圖是培養(yǎng)學生空間想象能力的重要組成部分.高考對三視圖知識的考查很重視，而考查的幾何圖形位置比較復雜，不容易把握，得分率特低，學生有畏懼心理.我們知道，復雜的圖形來源于簡單圖形的演變，在空間幾何中，長方體(或圓柱)是我們最熟悉的圖形，三棱錐(或圓錐)、四棱錐、六棱錐等都可以由它切割生成.因此在高三數(shù)學教學中可以多方聯(lián)系和想象，拓展思維，構(gòu)建立體交叉圖形的知識體系.

例3 已知空間圖形的三視圖如圖2所示，求這個幾何體的全面積.

師：從圖形分析，可以判斷所求幾何體是什么圖形？

生：正視、側(cè)視和俯視圖都是三角形，可以判斷所求的幾何體是四面體.

師：四面體一般放在什么圖形中思考？

從圖形的特征出發(fā)，將復雜的圖形鑲嵌在長方體或圓柱中考慮，通過觀察、實驗并運用計算機等媒體手段，尋找問題的關聯(lián)點，掌握圖形變化的規(guī)律，化難為易 ，化繁為簡，以不變應萬變，馳騁想象，發(fā)展智力.

4.在直線與圓的位置關系中進行抽象教學，一題多變，觸類旁通

人的思維是依次發(fā)展，不斷完善的.善于學習的人，往往都是善于歸納的，思維也是很活躍的，善于從復雜的事物中找出具有規(guī)律性的東西.因此，教師要把主動權(quán)還給學生，引導學生從問題的多個方面進行探究，在數(shù)學探究的同時學會知識，理解知識，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，總結(jié)規(guī)律，并善于利用規(guī)律解決問題，從而促進抽象思維可持續(xù)性發(fā)展.

變式3：已知點P(x0,y0)是圓x2+y2=R2上一點，求經(jīng)過點P的切線方程.

變式4：已知點P(x0,y0)是圓(x-a)2+(y-b)2=R2上一點，求經(jīng)過點P的切線方程.

從一題出發(fā)，實施變式訓練，引導學生多角度思考或?qū)ν粋€問題的不同層面進行探究，就能抓住問題的本質(zhì)，提煉方法，觸類旁通，形成能力.

5.在數(shù)列教學中進行抽象教學，釋疑糾錯，內(nèi)化提升

“試錯”是通往成功的墊腳石，錯誤的本身更可以讓我們了解到自己存在的不足.每一個知識點的學習總是伴隨著從錯誤中走來，在錯誤中不斷完善和建構(gòu).在學生出現(xiàn)錯誤時，教師應耐心點撥學生自己尋找錯誤的源頭，究竟問題錯在哪里？通過剖析和反思，發(fā)現(xiàn)自己對知識內(nèi)容理解不夠全面和透徹，找到自己薄弱環(huán)節(jié)，進行加強鞏固，主動建構(gòu)和完善知識網(wǎng)絡.

師：這兩種求解方法具有代表性，請同學們說一說，議一議，分析錯誤的原因.

師：如何改正？

師：生3從等差數(shù)列前n和公式的本質(zhì)特征出發(fā)，找到問題的所在，還有其他方法嗎？

生4：利用性質(zhì)：若m+n=p+q，則am+an=ap+aq來解決.

師：生4從等差數(shù)列的性質(zhì)出發(fā)，非常高效，還有其它種方法嗎？

師：生5的解法回到求和公式，思路自然，但需要很強的解題運算能力和堅韌的精神.

思維開始于疑惑和矛盾.當學生出現(xiàn)知識性錯誤時，教師要指出存在問題的地方，引導、啟發(fā)學生進行思考，積極討論和闡述自己做題的思路與想法，弄清知識背后隱藏的內(nèi)涵，尋求解決的方案.在教學中盡可能啟發(fā)學生尋找錯誤的原因，幫助學生糾正錯誤，并在糾錯中得到體悟，在體悟中獲得生成，在生成中求得真知.

抽象思維的培養(yǎng)重要陣地就在課堂，學生在數(shù)學學習過程中對數(shù)學知識不斷概括、重組，再造，促進了抽象思維的深度發(fā)展.因此，數(shù)學抽象思維的創(chuàng)新培養(yǎng)應從學科系統(tǒng)上整體設計，著眼于學生未來發(fā)展需要，從細節(jié)抓起，關注思維個體差異，一步一個腳印地進行培育，為學生將來的全面發(fā)展打下堅實的根基.