夏良宇 王奎 徐小紅

摘 要：根據(jù)二維CT系統(tǒng)參數(shù)標(biāo)定問(wèn)題，建立了參數(shù)計(jì)算模型。以橢圓圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，短軸長(zhǎng)為x軸建立二維直角坐標(biāo)系。通過(guò)對(duì)圖像上特殊位置的處理，求解出探測(cè)器單元之間的距離為8/29mm。轉(zhuǎn)動(dòng)的起始方向?yàn)榕cx軸正向成30°，每次旋轉(zhuǎn)的角度為1°，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180次。建立旋轉(zhuǎn)點(diǎn)位置優(yōu)化模型，利用探測(cè)器上三點(diǎn)在三個(gè)不同旋轉(zhuǎn)狀態(tài)下的位置和三點(diǎn)定圓心理論計(jì)算出旋轉(zhuǎn)中心，以三個(gè)旋轉(zhuǎn)中心間的距離最小為目標(biāo)函數(shù)，采用全局搜索算法得到旋轉(zhuǎn)中心的位置為（-9.5004，6.3437）。

關(guān)鍵詞：CT系統(tǒng)；參數(shù)標(biāo)定；全局搜索

中圖分類號(hào)：TB 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：Adoi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2018.16.098

1 前言

CT系統(tǒng)是利用樣品對(duì)射線的吸收能力對(duì)樣品進(jìn)行斷層成像，從而獲得樣品的內(nèi)部構(gòu)造等信息。已知一種典型的二維CT系統(tǒng)，每個(gè)等距排列的探測(cè)器單元都可以看作一個(gè)接收點(diǎn)，而平行入射的x射線垂直于探測(cè)器平面，x射線的發(fā)射器和探測(cè)器相對(duì)位置固定不變，整個(gè)發(fā)射-接收系統(tǒng)繞某固定的旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180次。對(duì)于每一個(gè)x射線方向，在具有512個(gè)等距單元的探測(cè)器上測(cè)量，經(jīng)過(guò)位置固定不變的二維待檢測(cè)介質(zhì)吸收衰減后的射線能量，并經(jīng)過(guò)增益等處理后得到180組接收信息。但CT系統(tǒng)安裝時(shí)往往存在誤差，從而對(duì)成像打的質(zhì)量有所影響，所以需要對(duì)安裝好的CT系統(tǒng)進(jìn)行參數(shù)標(biāo)定，借助已知結(jié)構(gòu)的模板標(biāo)定CT系統(tǒng)的參數(shù)并據(jù)此對(duì)未知結(jié)構(gòu)的樣品進(jìn)行成像。參數(shù)標(biāo)定包括探測(cè)器單元之間的距離、CT系統(tǒng)使用的x射線的180個(gè)方向以及CT系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)中心。

2 求解探測(cè)器單元之間的距離

通過(guò)觀察動(dòng)態(tài)圖像中特殊位置的值來(lái)確定探測(cè)器上各單元之間的距離，由上數(shù)據(jù)分析可得到在影像上兩物體的峰值重合時(shí)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)占探測(cè)器的長(zhǎng)度，又由幾何圖知其的幾何長(zhǎng)度進(jìn)而可求出探測(cè)器單元之間的距離。

利用matlab軟件對(duì)180組數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，將數(shù)據(jù)做成一個(gè)從某個(gè)起始點(diǎn)出發(fā)繞某個(gè)原點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)圖像如圖1所示。觀察下圖，當(dāng)兩個(gè)物體的峰值重合在一起的時(shí)候，探測(cè)器上橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)占nmax個(gè)探測(cè)器單元，而由題意可得到橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為a，也即是橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)對(duì)應(yīng)著探測(cè)器上的nmax個(gè)單元，而各單元間的距離是等距的，故探測(cè)器單元之間的距離l為：l1=anmax。求解出探測(cè)器單元之間的距離為8/29mm。

3 確定x射線的180方向

找到動(dòng)態(tài)圖像中兩物體的峰值重合時(shí)和在影像上兩物體的峰值達(dá)到最高時(shí)這兩個(gè)特殊位置的幀數(shù)以及所在的特殊位置來(lái)進(jìn)行求解。

以橢圓的圓心為圓點(diǎn)，短軸所在直線為x軸，橢圓的長(zhǎng)軸所在直線為y軸建立二維坐標(biāo)系。通過(guò)觀察動(dòng)態(tài)圖可以看到在第61幀時(shí)，橢圓短軸所在直線x軸與CT系統(tǒng)中發(fā)出的x射線的平行，如圖2、圖3所示。

通過(guò)動(dòng)態(tài)圖的觀察在第151幀的時(shí)候，此時(shí)CT系統(tǒng)中發(fā)出的x射線橢圓短軸所在的x軸垂直，如圖4、圖5。

由上的觀察可得到在第61幀到151幀其間轉(zhuǎn)動(dòng)的90幀時(shí)，CT系統(tǒng)中發(fā)出的x射線轉(zhuǎn)動(dòng)了90°，可以理解為每一次的轉(zhuǎn)動(dòng)度數(shù)為1°。由此可得當(dāng)當(dāng)圖像為第61幀的時(shí)候?qū)?yīng)的x射線的角度為90°，當(dāng)圖像為第151幀的時(shí)候?qū)?yīng)的角度為180°，所以可以推出來(lái)當(dāng)圖像為 第1幀的時(shí)候，其對(duì)應(yīng)的角度為：

90°-61-1=30°180°-151-1=30°

該CT系統(tǒng)使用的x射線的180個(gè)方向?yàn)椋阂詸E圓原點(diǎn)為圓心，短軸所在直線為x軸，長(zhǎng)軸所在直線為y軸建立二維直角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)動(dòng)的起始方向?yàn)橐詘軸正方向成30°角，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180次，每次旋轉(zhuǎn)的角度為1°，轉(zhuǎn)動(dòng)角的范圍與x軸正方向成30°-210°。

4 旋轉(zhuǎn)中心的求解

可以利用發(fā)射的x射線與接收器的相對(duì)位置不變這一個(gè)條件來(lái)考慮三點(diǎn)定圓，取三次不同旋轉(zhuǎn)角度下探測(cè)器上同一位置的點(diǎn)，由此可以確定一個(gè)圓心，為了減少誤差使算出的結(jié)果正準(zhǔn)確，取三個(gè)這樣的點(diǎn)經(jīng)過(guò)三次不同的旋轉(zhuǎn)就可以確定三個(gè)圓心。由于光源與探測(cè)器的距離未知，故設(shè)探測(cè)器與橢圓中心的距離為di，通過(guò)調(diào)節(jié)探測(cè)器與橢圓中心的距離使得三個(gè)圓心重合，此時(shí)重合的圓心即為旋轉(zhuǎn)中心。

以橢圓中心為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，當(dāng)情況在第一種位置時(shí)，探測(cè)器與橢圓中心的距離設(shè)為d1，由橢圓中心對(duì)應(yīng)著第235個(gè)探測(cè)單元，由上求得的探測(cè)器上的單元之間的距離為l，由此可得到探測(cè)器上A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)。

當(dāng)情況在第二種位置時(shí)，探測(cè)器與橢圓中心得距離設(shè)為d2，由上得橢圓中心對(duì)應(yīng)著第223個(gè)探測(cè)單元，探測(cè)器上的單元之間的距離為l，由此求得的探測(cè)器上A′、B′、C′三點(diǎn)的坐標(biāo)。

在第三種情況下，探測(cè)器與橢圓中心得距離設(shè)為d3，求得橢圓中心對(duì)應(yīng)著第111個(gè)探測(cè)單元發(fā)出的射線剛好與橢圓和圓內(nèi)切，此時(shí)該直線的方程為y=k1x+b1，通過(guò)計(jì)算得到探測(cè)器所在的直線為y=k2x+b2，兩直線相交點(diǎn)的坐標(biāo)為（k3，b3），又已知該點(diǎn)是探測(cè)器上的第111個(gè)探測(cè)單元，由此情況可以求得A″、B″、C″三點(diǎn)的坐標(biāo)。三種情況下的幾何圖如圖6所示。

根據(jù)A、A′、A″所確定的圓心為O1（x1，y1）；根據(jù)B、B′、B″所確定的圓心為O2（x2，y2）；根據(jù)C、C′、C″所確定的圓心為O3（x3，y3）；三個(gè)圓心之間的距離為d=f（d1，d2，d3）。利用matlab全局搜索d1、d2、d3的取值使得d的值最小，并且使三個(gè)圓的圓心相同。最終求解出來(lái)的圓心坐標(biāo)為O1，O2，也即是CT系統(tǒng)在正方形托盤中的旋轉(zhuǎn)中心。利用matlab全局搜索算法得到旋轉(zhuǎn)中心的位置為-9.5004，6.3437。

5 結(jié)語(yǔ)

本文建立的基于圖像求解參數(shù)的模型，對(duì)CT參數(shù)標(biāo)定類的問(wèn)題具有較好的實(shí)用性。同時(shí)，建立的CT系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)中心位置點(diǎn)的優(yōu)化模型對(duì)于求解各類問(wèn)題中的旋轉(zhuǎn)中心也適用。在計(jì)算結(jié)果以及作圖時(shí)，本文利用MATLAB軟件進(jìn)行求解，使得計(jì)算結(jié)果更加準(zhǔn)確。

參考文獻(xiàn)

[1]2017全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽A題[EB/OL].http：//www.mcm.edu.cn/html_cn/block/8579f5fce999cdc896f78bca5d4f823 7.html.

[2]張朋，張慧滔，趙云松.X射線CT成像的數(shù)學(xué)模型及其有關(guān)問(wèn)題[J].數(shù)學(xué)建模及其應(yīng)用，2012，1（01）：1-12.

[3]切斯切特（Mark M.Meerschaert）著，劉來(lái)福等譯.數(shù)學(xué)建模方法與分析（原書第3版）[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2009.